張耀陽

摘 要：七年級(jí)上半學(xué)期，都是教學(xué)生有理數(shù)的運(yùn)算，其中包括五種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方。這幾種運(yùn)算中，又以加減法最為基礎(chǔ)，最難掌握；在課堂教學(xué)中，不是靠文史類的機(jī)械背誦，而是在法則的制約下，在法則熟透于心后，啟發(fā)學(xué)生用自己的思維方法理解加減法法則的內(nèi)在意義，依靠靈動(dòng)思維解決問題。從而將有理數(shù)的加減法的一百多字的法則總結(jié)為六個(gè)字，那就是——“取大，同加異減”。

關(guān)鍵詞：法則；“取大，同加異減”；口訣；零點(diǎn)分段討論

一、有理數(shù)加減法法則新詮釋——“六字”法則

數(shù)學(xué)學(xué)科中，七年級(jí)新生一開始面對(duì)的就是有理數(shù)的認(rèn)識(shí)與有理數(shù)的運(yùn)算。有理數(shù)的認(rèn)識(shí)，只需通過列舉生活中相反意義的量，便可以很快認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)，進(jìn)而較為全面地認(rèn)識(shí)有理數(shù)。而有理數(shù)的運(yùn)算卻不是一蹴而就的，將近半個(gè)學(xué)期都是教學(xué)生有理數(shù)的運(yùn)算，其中包括五種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方。這幾種運(yùn)算中，又以加減法最為基礎(chǔ)、最難掌握。對(duì)有理數(shù)的加減法，是建立在一定法則之上，僅靠盲目的死記硬背來應(yīng)對(duì)冗長(zhǎng)的加減法法則，是不可取的。因此，我在課堂教學(xué)中，不是靠文史類的機(jī)械背誦，而是在法則的制約下，在法則稔熟于心后，啟發(fā)學(xué)生用自己的思維方法理解加減法法則的內(nèi)在意義，依靠靈動(dòng)思維解決問題。從而將有理數(shù)的加減法的一百多字的法則總結(jié)為六個(gè)字，那就是——“取大，同加異減”。詮釋如下：

用法則之前，我們最好將兩數(shù)相加減先寫成代數(shù)和的形式（這點(diǎn)很重要），然后有理數(shù)的加減法法則可以總結(jié)為：

兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大加數(shù)的符號(hào)作為和的符號(hào)，并將兩個(gè)加數(shù)的絕對(duì)值相加作為和的絕對(duì)值（兩數(shù)同號(hào)時(shí)），或?qū)⒔^對(duì)值相減作為和的絕對(duì)值（兩數(shù)異號(hào)時(shí)）。簡(jiǎn)稱“取大，同加異減”。

例1.計(jì)算：（1）-10+8=-（10-8）=-2

分析：按法則，取大，因?yàn)閮杉訑?shù)-10和+8中，-10的絕對(duì)值大，故和的符號(hào)取“-”號(hào)；同加異減，因?yàn)槭钱愄?hào)兩數(shù)的和，所以用較大的絕對(duì)值10減去較小的絕對(duì)值8，可得結(jié)果為-2。

（2）-5-7=-（7+5）=-12

分析：按法則，取大，因?yàn)閮杉訑?shù)-5和-7中，-7的絕對(duì)值大，故和的符號(hào)取“-”號(hào)；同加異減，因?yàn)槭峭?hào)兩數(shù)的和，所以只需將兩加數(shù)的絕對(duì)值5和7加起來，可得結(jié)果為-12。

例2.計(jì)算

（1）-5+5=-（5-5）=0

分析：按法則，取大，因?yàn)閮杉訑?shù)-5和+5中，兩加數(shù)的絕對(duì)值一樣大，故和的符號(hào)取“-”號(hào)或“+”號(hào)均可；同加異減，因?yàn)槭钱愄?hào)兩數(shù)的和，而且兩加數(shù)的絕對(duì)值均為5，絕對(duì)值相減可得結(jié)果為0。

（2）0+（-10）=-（10-0）=-10

分析：按法則，取大，因?yàn)閮杉訑?shù)0和-10中，-10的絕對(duì)值大，故和的符號(hào)取“-”號(hào)；同加異減，因?yàn)槭钱愄?hào)兩數(shù)的和，所以用較大的絕對(duì)值10減去較小的絕對(duì)值0，可得結(jié)果為-10。

二、絕對(duì)值及其化簡(jiǎn)

1.絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。數(shù)a的絕對(duì)值記作a。

2.絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。

3.絕對(duì)值的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0；絕對(duì)值具有非負(fù)性，取絕對(duì)值的結(jié)果總是正數(shù)或0；字母a的絕對(duì)值表示如下：

aa（a≥0）-a（a<0）或者aa（a>0）-a（a≤0）

（一）如何利用數(shù)形結(jié)合思想解決絕對(duì)值化簡(jiǎn)問題，本人總結(jié)的口訣是：“絕對(duì)值，變括號(hào)，正本身，負(fù)相反”。

例1：實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖所示，則代數(shù)式a-a+b+c-a+b-c是下列哪一個(gè)選項(xiàng)。

（A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a

解析：由上圖容易看出，a<0，a+b<0，c-a>0，b-c<0，這就為去掉絕對(duì)值號(hào)掃清了障礙。

解：a-a+b+c-a+b-c

=（ ）-（ ）+（ ）+（ ）（絕對(duì)值，變括號(hào)）

=（ -a ）-（ -a-b ）+（ c-a ）+（ c-b ）

理由：（負(fù)相反）（負(fù)相反）（正本身）（負(fù)相反）

=-a+2c ∴應(yīng)選（C）。

歸納總結(jié)：這類型題是把已知條件標(biāo)注在數(shù)軸上，借助數(shù)軸提供的信息讓學(xué)生去觀察，學(xué)生一定要弄清：（1）零點(diǎn)的左邊都是負(fù)數(shù)，右邊都是正數(shù)。（2）右邊點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊點(diǎn)表示的數(shù)。（3）離原點(diǎn)遠(yuǎn)的點(diǎn)的絕對(duì)值較大，牢記這幾個(gè)要點(diǎn)就能很容易地解決問題了。

（二）采用零點(diǎn)分段討論法

例2：化簡(jiǎn)代數(shù)式2x-2-x+4

解析：該題既沒有條件限制，又沒有數(shù)軸信息，要對(duì)各種情況分類討論，可采用零點(diǎn)分段討論法，本例的難點(diǎn)在于x-2，x+4的正負(fù)不能確定，由于x是不斷變化的，所以它們?yōu)檎樨?fù)、為零都有可能，應(yīng)當(dāng)對(duì)各種情況一一討論。

解：令x-2=0得零點(diǎn)：x=2；令x+4=0得零點(diǎn)：x=-4，把數(shù)軸上的數(shù)分為三個(gè)部分（如下圖）

①當(dāng)x≥2時(shí)，x-2≥0，x+4>0，∴原式=2（x-2）-（x+4）=x-8

②當(dāng)-4≤x<2時(shí)，x-2<0，x+4≥0，∴原式=-2（x-2）-（x+4）=-3x

③當(dāng)x<-4時(shí)，x-2<0，x+4<0，∴原式=-2（x-2）+（x+4）=-x+8

∴2x-2-x+4=-8+x（x≥2）-3x（-4≤x<2）-x+8（x<-4）

歸納總結(jié)：雖然x-2，x+4的正負(fù)不能確定，但在某個(gè)具體的區(qū)段內(nèi)都是確定的，這正是零點(diǎn)分段討論法的優(yōu)點(diǎn)，采用此法的一般步驟是：

1.求零點(diǎn)：分別讓各絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為零，求出零點(diǎn)（不一定是兩個(gè)）。

2.分段：第一步求出零點(diǎn)之后，根據(jù)該零點(diǎn)將數(shù)軸上的點(diǎn)劃分為若干個(gè)區(qū)段，使在各區(qū)段內(nèi)每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的部分的正負(fù)能夠確定。

3.在各區(qū)段內(nèi)分別考查問題。

4.將各區(qū)段內(nèi)的情形綜合起來，得到最終答案。

編輯 魯翠紅