何玉婷

摘 要：數(shù)學(xué)要走向生活，新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征正是強(qiáng)調(diào)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。就初等數(shù)學(xué)而言，我們很容易看到數(shù)學(xué)的抽象特征，例如分?jǐn)?shù)。此類抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容正是學(xué)生費(fèi)解難懂的地方。而怎樣處理分?jǐn)?shù)這類抽象的問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)由抽象轉(zhuǎn)為直觀，便于學(xué)生理解掌握，提高學(xué)習(xí)的正確率正是我們要研究的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)挝?；分?jǐn)?shù)單位；錯(cuò)題

分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)并不難，難在于分子、分母、單位基數(shù)等的變化和應(yīng)用。這個(gè)階段是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算和數(shù)量表達(dá)的一個(gè)新的認(rèn)知階段。在起初的學(xué)習(xí)中對(duì)概念的混淆，以及后續(xù)應(yīng)用中基準(zhǔn)單位的不統(tǒng)一，都會(huì)對(duì)學(xué)生的應(yīng)用造成極大的困擾。那么本文主要針對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行分析，研究學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中容易犯錯(cuò)的點(diǎn)以及原因，并尋找出有效的引導(dǎo)教學(xué)方式。

一、找不到“單位1”

學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)“單位1”時(shí)，能夠很快地理解“單位1”表示數(shù)1，或者幾個(gè)數(shù)，或者一個(gè)整體。讓學(xué)生動(dòng)手將一個(gè)數(shù)或者一個(gè)整體平均分成幾份，或者給一個(gè)直觀圖讓學(xué)生涂色表示幾分之幾，往往不會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。但是變成純文字的題目學(xué)生就不知道B就是“單位1”。在所調(diào)查的《補(bǔ)充習(xí)題》第四單元中，共11道這樣的題型。平均每題有8.5%的學(xué)生找“單位1”找錯(cuò)，最高有18.3%的錯(cuò)誤率。

例1：找出下列各題的“單位1”。

嬰兒每天的睡眠時(shí)間占全天的 ，這類找“單位1”的題型其實(shí)比較簡(jiǎn)單，只要學(xué)生理清，A占B的幾分之幾，“占”字后B就是“單位1”，我們可以記憶口訣，A占B的 。

包扎一盒禮品，用了一根彩帶的 ，像這種格式，用了B的幾分之幾，“是”“消耗”“用了”等等詞就相當(dāng)于“占”，這是一種語(yǔ)法知識(shí)不必細(xì)講，但可以舉例讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

五年級(jí)學(xué)生中，女生占 ，題目不是A占B的幾分之幾這樣的格式，而是A占幾分之幾。這時(shí)可以提問(wèn)A占誰(shuí)的幾分之幾？提醒學(xué)生將格式補(bǔ)充完整。這類題型在新課之后就有，可以讓學(xué)生自己先練，再講解。

例2：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾。

雞有29只，鴨有17只，鵝有42只。雞的只數(shù)是鴨的（ ），鵝的只數(shù)是雞的（ ）。

這類數(shù)形結(jié)合，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的題錯(cuò)誤率很高，因?yàn)閷W(xué)生習(xí)慣了分?jǐn)?shù)的分母比分子大，反過(guò)來(lái)當(dāng)求一個(gè)大的數(shù)是一個(gè)小的數(shù)的幾分之幾時(shí)，學(xué)生往往會(huì)懷疑自己的判斷，完全把分子分母的關(guān)系弄反。在所調(diào)查的習(xí)題中，這類題型共有9題，平均每題有1.3%人判斷錯(cuò)誤，錯(cuò)誤率最高的達(dá)到6.5%。

我們依然要幫助學(xué)生找準(zhǔn)這類題中的“單位1”，A是B的幾分之幾，把B看作“單位1”，口訣就是A是B的 。

例3：在數(shù)軸上填分?jǐn)?shù)。

在數(shù)軸上填分?jǐn)?shù)似乎是小學(xué)生的一項(xiàng)弱項(xiàng)，若是在數(shù)軸上填寫(xiě)分母相同的分?jǐn)?shù)似乎沒(méi)有難度，若是分母不同，且有真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的情況下，就極其容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。一方面需要填的空多了給學(xué)生一種復(fù)雜的感覺(jué)，一方面學(xué)生對(duì)“單位1”的固執(zhí)理解，使得他們面對(duì)數(shù)軸上的2、3、4之類的數(shù)字產(chǎn)生困惑，“單位1”沒(méi)有單位，數(shù)軸上的數(shù)字也沒(méi)有單位，該把哪一段平均分？假分?jǐn)?shù)往哪兒填？在所調(diào)查的題目中，數(shù)軸的題型共有6題，平均每題的錯(cuò)誤人數(shù)為10.8%，其中錯(cuò)誤率最高的為真、假分?jǐn)?shù)，小數(shù)混合填寫(xiě)的題型，有36.6%的學(xué)生做錯(cuò)。

在數(shù)軸上如何找準(zhǔn)“單位1”？首先在教學(xué)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)這一課時(shí)，教師應(yīng)該明確講清楚，數(shù)軸就是把數(shù)字從小到大排列在一條線上，沒(méi)有具體情境的時(shí)候，數(shù)字1就是“單位1”，我們所學(xué)習(xí)的所有真分?jǐn)?shù)都是比1小的數(shù)，在數(shù)軸上應(yīng)該排列在0～1之間。比1大的都是假分?jǐn)?shù)，有的假分?jǐn)?shù)還會(huì)比2大、比3大、比100大……這時(shí)候我們就要把假分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)，甚至小數(shù)。先確定它在哪兩個(gè)相鄰的數(shù)之間，再把這相鄰的兩個(gè)數(shù)之間的那段平均分成分母是幾就是幾份的分?jǐn)?shù)。

數(shù)軸的題型要求學(xué)生的基本功扎實(shí)，還要求學(xué)生細(xì)心、耐心地去讀題寫(xiě)題。這是比較有挑戰(zhàn)性的題型。我們應(yīng)該在此之前先給學(xué)生練習(xí)一些小數(shù)和分?jǐn)?shù)互化、假分?jǐn)?shù)化帶分?jǐn)?shù)、化小數(shù)的練習(xí)，再給學(xué)生填寫(xiě)數(shù)軸。

二、對(duì)分?jǐn)?shù)單位理解錯(cuò)誤

分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一，分母越大，這個(gè)分?jǐn)?shù)就越小，分?jǐn)?shù)單位幾分之一也就越小?？疾榉?jǐn)?shù)單位的題型有多種，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的包括如下幾種：當(dāng)分母發(fā)生變化時(shí)，有些學(xué)生會(huì)認(rèn)為這個(gè)分?jǐn)?shù)單位沒(méi)有變化，也有學(xué)生認(rèn)為分母變大，分?jǐn)?shù)單位是變大的。前者是錯(cuò)把分?jǐn)?shù)的分子當(dāng)作分?jǐn)?shù)單位，后者是對(duì)分?jǐn)?shù)大小的比較方法沒(méi)有掌握。

例1：將一堆物品平均分成幾份，每份是多少，每份占幾分之幾。

學(xué)生做題時(shí)這類答案有很多，但在學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，我們要求學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義來(lái)填空，將A平均分成B份，分?jǐn)?shù)單位是 ，每份是總數(shù)的 ，因?yàn)榇祟愵}目數(shù)據(jù)一旦增多，學(xué)生就會(huì)容易弄混數(shù)量關(guān)系，用這種方法簡(jiǎn)單不易出錯(cuò)。這里又用到了小口訣，需要學(xué)生記憶。在所調(diào)查的習(xí)題中，這類題型共11題，平均每題有11.4%的學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤，錯(cuò)誤率最高的有46.2%。

一個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位和分子的大小是無(wú)關(guān)的，分母越大，分?jǐn)?shù)單位就是分母分之一，也就越小。做判斷題時(shí)，先寫(xiě)出一個(gè)分?jǐn)?shù) ，它的分?jǐn)?shù)單位是 ，再進(jìn)行判斷。B的值越大，平均分的份數(shù)越多，每份就越少，分?jǐn)?shù)單位 就越小。在三年級(jí)的時(shí)候?qū)W生就有學(xué)習(xí)關(guān)于分?jǐn)?shù)單位大小的比較方法。“把同一個(gè)東西平均分，分的份數(shù)越多，每份就越小”，我們應(yīng)該要求學(xué)生會(huì)背誦這樣的口訣，熟記之后運(yùn)用就會(huì)更簡(jiǎn)單。

例2：“單位1”有具體數(shù)值時(shí)，找出其分?jǐn)?shù)單位。

把3米長(zhǎng)的鋼管平均截成4段，每段占全長(zhǎng)的（ ），每段的長(zhǎng)是（ ）米。

如果“單位1”是一個(gè)有具體數(shù)值的量，那么學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)單位的理解就會(huì)出現(xiàn)困難，最常見(jiàn)的錯(cuò)誤是忽略了分?jǐn)?shù)表示的是兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，是沒(méi)有單位的。這里學(xué)生受到了單位的影響，產(chǎn)生混亂，把“每段占全長(zhǎng)的幾分之幾”誤解為“每段長(zhǎng)多少”。這樣的錯(cuò)誤例子很多。在所調(diào)查的116題中，這類題型共有6題，平均每題有14.9%人判斷錯(cuò)誤，錯(cuò)誤率最高的達(dá)到23.7%。

我們平時(shí)應(yīng)該鍛煉學(xué)生說(shuō)題意的能力，求“每段占全長(zhǎng)的幾分之幾”，仍然是求分?jǐn)?shù)單位，平均成幾份，分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一，每份是總數(shù)的幾分之一。

5筒羽毛球，每筒12只，平均分成6份，每個(gè)年級(jí)分得多少只，多少筒？這題數(shù)據(jù)較多，不單求分?jǐn)?shù)單位，還要求數(shù)量，而且數(shù)量的單位還不同。這就屬于比較復(fù)雜的求分?jǐn)?shù)單位的題型。這對(duì)前面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)單位的掌握程度要求很高。

把兩根1米長(zhǎng)的彩帶平均分成5份，每份有2個(gè) 米，是 米。這種題型比較少，學(xué)生無(wú)論看圖還是看文字都容易出錯(cuò)，容易理解成把2米平均分成10份。這題直接讓學(xué)生求每份多長(zhǎng)，學(xué)生這個(gè)時(shí)候理解困難，思想混亂就會(huì)出錯(cuò)。這仍然是求分?jǐn)?shù)單位的問(wèn)題，要先找“單位1”，平均分成幾份，分母就是幾，分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一。

三、教學(xué)實(shí)踐措施

1.總結(jié)發(fā)現(xiàn)

學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)最容易出錯(cuò)的就是解決一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的實(shí)際問(wèn)題。原因就是對(duì)分?jǐn)?shù)意義概念的不清晰，包括找“單位1”和分?jǐn)?shù)單位。

解決這類問(wèn)題，需要把概念教學(xué)聯(lián)系直觀，在教學(xué)過(guò)程中及時(shí)反饋、學(xué)生質(zhì)疑和小組糾錯(cuò)。教學(xué)以來(lái)發(fā)現(xiàn)，書(shū)上有的概念性的知識(shí)往往學(xué)生不記得，更不用說(shuō)一些規(guī)律性知識(shí)。以往我認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)完全是靠理解力，無(wú)需記憶。現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)非常錯(cuò)誤的觀點(diǎn)。不管學(xué)習(xí)什么，都需要大腦去記憶，才更方便今后運(yùn)用。學(xué)生的學(xué)習(xí)是懵懂的，必須要教師給出明確的要求，學(xué)生才知道要會(huì)運(yùn)用什么、掌握什么、理解什么、了解什么，才知道自己要怎么做。當(dāng)然我們也要給學(xué)生時(shí)間，不要總是指望學(xué)生能自覺(jué)做什么事，小學(xué)生不像成人一樣能合理規(guī)劃好各段時(shí)間的使用，何況某些成年人也不能做到。作為教師要充分利用早讀、課前2分鐘的準(zhǔn)備時(shí)間、課上40分鐘、中自習(xí)等時(shí)間，督促學(xué)生完成各類學(xué)習(xí)任務(wù)。

這類概念和運(yùn)算結(jié)合的教學(xué)內(nèi)容是比較困難的。相信攻克這個(gè)難關(guān)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)會(huì)有極大助益。

2.易錯(cuò)題正確思路

通過(guò)上文能夠發(fā)現(xiàn)，關(guān)于分?jǐn)?shù)單位的易錯(cuò)點(diǎn)其實(shí)就是對(duì)單位的不理解。上文主要闡述了關(guān)于易錯(cuò)點(diǎn)的成因和誤區(qū)，那么正確的易錯(cuò)題解題思路是必須的。為了能夠從易錯(cuò)題中總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，教師在例題講解時(shí)應(yīng)該由淺入深，逐步增強(qiáng)學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力。

簡(jiǎn)單例題1：

五年級(jí)一班總共有20個(gè)同學(xué)，其中女生有8個(gè)，請(qǐng)問(wèn)男同學(xué)有多少，占班級(jí)總數(shù)的多少？

解題思路：

教師在引導(dǎo)學(xué)生的時(shí)候，首先是理解題干中的具體要求，求解的是男同學(xué)數(shù)量以及占比。那么首先就應(yīng)該解決男同學(xué)數(shù)量問(wèn)題，這個(gè)簡(jiǎn)單，不多做介紹。重點(diǎn)是占比問(wèn)題。首先教師要幫助學(xué)生理清楚求解的是男生占據(jù)班級(jí)總數(shù)的多少，那么就是男生的總數(shù) ∶ 班級(jí)的總數(shù)。男生的總數(shù)為20-8=12人。占比正確計(jì)算為12比20，簡(jiǎn)化為 。解題的時(shí)候要幫助學(xué)生理清的是哪部分是分子，哪部分是分母。其實(shí)可以總結(jié)為，某1占據(jù)某2的多少就是以最后的某2為分母。當(dāng)然，這樣的小技巧需要教師以更加容易記或者趣味的方式傳達(dá)。

困難例題2：

小明家離學(xué)校總共1000米，在這個(gè)路程中每隔300米種植一棵樹(shù)。請(qǐng)問(wèn)能夠種植的樹(shù)是多少？種植第二課樹(shù)的時(shí)候，距離占據(jù)總數(shù)長(zhǎng)的多少？

解題思路：

在解決這道題的時(shí)候，還是首先分析題干，題干需要求出的能夠種植多少棵樹(shù)？那么按照分?jǐn)?shù)概念來(lái)，就需要了解分?jǐn)?shù)單位是多少？1000米中能夠存在多少個(gè)分?jǐn)?shù)單位。就像上文講的，當(dāng)有具體的數(shù)值的時(shí)候，學(xué)生在抓取“單位1”和分?jǐn)?shù)單位時(shí)會(huì)出現(xiàn)混亂。這個(gè)時(shí)候需要使用到上面總結(jié)的小口訣，需要求證的占比最后位為分母。也就是300分之1000，最多能夠種植3棵。種植第二棵的時(shí)候距離為2×300米=600米。占據(jù)比同理得1000分之600，簡(jiǎn)化得 。

在劃分單位的時(shí)候和計(jì)算占比的時(shí)候，需要明白分?jǐn)?shù)單位是多少，那么分?jǐn)?shù)單位是占比的，可以根據(jù)框架A占B的 來(lái)進(jìn)行記憶。需要求證的為分子，總數(shù)為分母。當(dāng)然在進(jìn)行易錯(cuò)題的計(jì)算時(shí)，還要根據(jù)具體的數(shù)值來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。通過(guò)易錯(cuò)題的分析，總結(jié)容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié)，進(jìn)行重點(diǎn)分析，重在幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位、分子和分母的關(guān)系。

編輯 謝尾合