莊容坤

(惠州學院數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院,廣東惠州516007)

§1　引 言

考慮如下二階中立型雙曲微分方程

其中△ 是Rn中的Laplacian算子,R+=[0,∞),? is Rn中的有界區(qū)域，且其邊界??分段光滑.

記In={1,2,...,n}并總假設下列條件成立.

(C2)fj∈ C(R,R)在(0,∞)是凸的且滿足fj(?u)= ?fj(u)和fj(u)/u≥ Kj＞ 0,u?=0,j∈Im;

(C4) 對每個i∈Il,j∈ Im,k∈ Is,τi,σj,ρk∈ C(R+,R),σj和ρk是非減的,且滿足

記qj(t)=miny∈ˉ?qj(y,t),j∈Im.

關于方程(1),還要考慮如下兩類邊值條件：

其中N是??的單位外法向量,μ(y,t)是??×R+上的非負連續(xù)函數(shù).

定義1.稱函數(shù)u(y,t)∈C(G)是問題(1),(2)的解,如果對每個y∈?,

關于t可微且在區(qū)域G滿足方程(1),且對每個固定的t∈R+,u(y,t)關于y可微并滿足邊值條件(2).關于問題(1),(3)的解按類似方法定義.

定義2.方程(1)的解u(y,t)稱為在區(qū)域G是振動的,如果對每個正數(shù)T,存在點(yT,tT)∈?×[T,∞)使得u(yT,tT)=0.

為建立新型的比較定理，還需考慮如下二階常微分方程

其中P∈C2(R+,(0,+∞)),Q∈C(R+,R+).方程(4)的解x稱為是振動的,如果對每一個T＞0,存在tT∈(T,∞)使得x(tT)=0.

具有偏差變量的偏微分方程,由于其物理背景一直受學者們的關注,見文獻[1]及其所列參考文獻.特別是,關于拋物和雙曲型偏微分方程的振動性已被深入的研究,見文獻[1-6].另一方面,眾所周知,Sturm比較理論在微分方程定性理論特別是常微分方程振動理論研究中扮演著重要的角色,然而就作者所知,到目前為止,從Sturm比較理論的角度研究含偏差變量的雙曲型微分方程的振動性的結果還極少見到.基于此,本文通過建立微分不等式,研究具有偏差變量的中立型雙曲微分方程在二種不同的邊值條件下與相關的線性常微分方程的振動比較定理,本文的結果可以看做常微分方程的Sturm比較理論在含偏差變量的雙曲型微分方程的推廣.

§2　主要結論

在建立比較定理之前,我們需要先建立一些微分不等式.

引理A([8]).假設z(t)∈C2[t0,∞),t0≥0滿足

則對每個0＜γj＜1,存在t1≥t0使得

引理2.1.假設u(y,t)是問題(1),(2)的非振動解.令

則不等式

存在最終正解.

證明.不失一般性,假設u(y,t)＞ 0,u(y,τi(t))＞ 0,u(y,σj(t))＞ 0,u(y,ρk(t))＞ 0,(y,t)∈?×[t1,∞),t1＞t0,i∈Il,j∈Im,k∈Is.對方程(1)關于y在?積分,得：

利用Green公式及邊值條件(2),得：

其中dω是??的面積分元.再由條件(C1),(C3)及Jensen不等式得：

將(7)-(8)應用于(6)得：

將Z(t)代入(9)得：

再由條件(C4),得：

或者

顯然,Z(t)≥ V(t)＞ 0,[p(t)Z′(t)]′＜ 0,且Z′(t)＞ 0,t≥ t2.于是可得：

即Z(t)是(5)的正解.引理2.1證畢.

為研究問題(1),(3)解的振動性,需要用到如下結果[2]：Dirichlet問題

的最小特征值η0是正的,其對應的特征函數(shù)φ(y)在?也是正的.

引理2.2.假設u(y,t)是問題(1),(3)的非振動解.令

則不等式(5)存在最終正解.

證明.不失一般性,假設u(y,t)＞ 0,u(y,τi(t))＞ 0,u(y,σj(t))＞ 0,u(y,ρk(t))＞ 0,(y,t)∈?×[t1,∞),t1＞t0,i∈Il,j∈Im,k∈Is.將方程(1)的兩邊同乘以問題(11)的最小特征值η0所對應的特征函數(shù)φ(y)并在?上對y積分得

由Green公式及邊值條件(3)得：

由條件(C1),(C3)及Jensen不等式,得:

將(13)–(14)應用于(12)得:

將Z(t)代入(15)得:

剩下的證法與引理2.1類似,略去不證.

引理2.3.假設u(y,t)問題(1),(3)的非振動解.令

則下面不等式

有最終正解.

證明.重復引理2.2的證明,可得(15).由(15)得:

余下的證明與定理2.1的證明類似,故略去.

引理B.設u(y,t)是問題(1),(2)(或問題(1),(3))的非振動解,Z(t)按引理2.1(或定理2.2)的定義.再定義

其中r∈C([t0,∞),R).則S(t)滿足下面不等式

其中

γj∈ (0,1).

證明.直接對S(t)求導并結合方程(5)、引理A,得:

證畢.

引理C.設u(y,t)是問題(1),(3)的非振動解,Z(t)按引理2.3的定義.再定義

其中r∈C([t0,∞),R).則S(t)滿足下面不等式

其中

其中γk∈(0,1).

引理C的證法與引理B類似,故略去.

引理2.4.設x(t),u(y,t)分別是方程(4)和問題(1),(2)(或問題(1),(3))的非平凡解.Z(t)為引理2.1(或2.2)所定義;S(t)為引理B所定義.若u(y,t)是非振動的,則下面不等式最終成立:

其中Φ(t),Q1(t)的定義同引理B.

證明. 由假設u(y,t)是問題(1),(2)(或問題(1),(3))的非振動解.由引理2.1(或2.2),存在Z(t)＞0使得當t＞t1時(5)成立,從而(20)成立.于是直接求導得并結合方程(4),引理B得：

證畢.

引理2.5.設x(t),u(y,t)分別是方程(4)和問題(1),(3)的非平凡解,Z(t)為引理2.3所定義,S(t)為引理C所定義.若u(y,t)是非振動的,則下面不等式最終成立

其中Φ(t),Q2(t)的定義同引理C.

引理2.5的證法與引理2.4類似,故略去.

利用引理2.4與引理2.5,可得如下比較定理.

定理2.1.設x(t)是方程(4)的振動解,{an}是x(t)的零點序列且當n→∞時an→∞.若對每個充分大的T＞0,存在an＞T及r∈C([t0,∞),R)使得

其中Φ(t),Q1(t)的定義同引理B.則

(I)問題(1),(2)的每個解u(y,t)在G內是振動的.

(II)問題(1),(3)的每個解u(y,t)在G內是振動的.

證明.(I)若不然,不失一般性,假設問題(1),(2)存在非振動解u(y,t),則存在充分大的T ＞ 0使得(y,t)∈ ?×[T,∞)時,u(y,t)＞ 0,u(y,τi(t))＞ 0,u(y,σj(t))＞ 0,u(y,ρk(t))＞ 0,i∈Il,j∈Im,k∈Is.

選取an≥ T,則在?×[an,an+1]內有u(y,t)＞ 0,u(y,τi(t))＞ 0,u(y,σj(t))＞ 0,u(y,ρk(t))＞0,i∈Il,j∈Im,k∈Is,且(25)成立.對(25)式的兩邊從an到an+1積分,得:

由假設知(28)的右端大于零,但(28)式的左端

產(chǎn)生矛盾.從而至少存在tn∈(an,an+1)使得u(y,tn)=0.注意到an+1＞tn＞an≥T,n∈N,于是每一個非平凡解u(y,t)是振動的.

(II)應用引理2.2及引理C,(II)的證明與(I)類似,故略去.定理2.1證畢.

推論2.1.設方程(4)是振動的.若存在r∈C([t0,∞),R)使得

最終成立,且在[t0,∞)的任意子區(qū)間上等號不成立.其中Φ(t),Q1(t)的定義同引理B.則

(I)問題(1),(2)的每個解u(y,t)在G內是振動的.

(II)問題(1),(3)的每個解u(y,t)在G內是振動的.

定理2.2.設x(t)是方程(4)的振動解,{an}是x(t)的零點序列且當n→∞時an→∞.若對每個充分大的T＞0,存在an＞T及r∈C([t0,∞),R)使得

其中Φ(t),Q2(t)的定義同引理C.則問題(1),(3)的每個解u(y,t)在G內是振動的.

定理2.2的證明與定理2.1類似,故略去.

推論2.2.設方程(4)是振動的.若存在r∈C([t0,∞),R)使得

最終成立,且在[t0,∞)的任意子區(qū)間上等號不成立.其中Φ(t),Q2(t)的定義同引理C.則問題(1),(3)的每個解u(y,t)在G內是振動的.