鄭 金

(凌源市職教中心　遼寧 朝陽　122500)

瞬態(tài)變量的初始值f(0)=x0、穩(wěn)態(tài)值f(∞)=x∞和時間常數(shù)τ是瞬態(tài)過程的三要素，解答這類問題關(guān)鍵是應用物理規(guī)律推導出某個變量的微分方程的標準形式，再利用瞬態(tài)過程的三要素寫出微分方程的通解即瞬態(tài)過程的物理量隨時間變化的表達式.下面以物體在線性力作用下的直線運動問題為例進行分析.

1　物體只受線性力的作用

這表明，速度變化量跟位移成正比，即速度隨位移均勻變化，把這種運動稱為另類勻變速運動.

如果物體受到的線性力為動力，那么速度隨時間如何變化呢？下面推導關(guān)系式.

設(shè)速度v=v0+Ax，則加速度

由牛頓第二定律有

由此得微分方程的標準形式

圖1

可得x=x0eAt.當t=0時x=x0，不為零.這表明當t=0時物體已經(jīng)發(fā)生了位移，因此運動物體的計時起點與位移起點不重合.如果選擇運動物體的計時起點與位移起點重合，那么v≠Ax，即不存在速度跟位移成正比的運動，這是因為v=v0eAt中的初速度v0不能為零，則v=v0+Ax中的v0不能為零，所以v≠Ax.雖然由v=Ax在數(shù)學上也可推出v=v0eAt，但不合實際.

圖2

只要物體受到的作用力跟速度成正比，而且是阻力，做減速運動，就是瞬態(tài)過程，因此速度隨時間變化的圖像存在水平漸近線.對于這種瞬態(tài)過程，速度隨位移均勻變化，而不是成正比.

【例1】如圖3所示，光滑U型導軌PQMN固定在水平面上，處于豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度為B，導軌寬度為L，QM之間接有電阻為R，其余部分電阻不計.一質(zhì)量為m，電阻也為R的金屬棒ab垂直放在導軌上，給棒一個水平向右的初速度v0使之開始滑行，最后停在導軌上，對此過程，求：

(1)在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；

(2)通過電阻R的電荷量和ab棒運動的位移；

(3)位移隨時間變化的關(guān)系式.

圖3　例1題圖

2　物體受恒力與線性阻力共同作用

如果物體同時受到恒力與線性阻力的作用而做直線運動，則運動過程為瞬態(tài)過程.物體受到的合力與速度關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系，從數(shù)學角度而言，仍然屬于線性關(guān)系.

【例2】在無風的情況下，一個質(zhì)量為m的雨滴由初速度v0開始在豎直方向自由下落.受到空氣的阻力與速度的一次方成正比，即f=kv，求其運動過程的速度、加速度和位移隨時間變化的規(guī)律是什么？(雨滴在運動過程中的質(zhì)量變化忽略不計)

解析:雨滴所受重力為恒力F=mg，受空氣阻力為f=kv，由牛頓第二定律列出關(guān)于速度的一階線性微分方程為

變形為

取導數(shù)可得加速度為

速度圖像如圖4(a)所示，加速度圖像如圖4(b)所示，都存在水平漸近線，這種加速運動過程是瞬態(tài)過程.

圖4

由此可得位移隨時間變化的關(guān)系式為

考慮到圖2(a)中的凹邊梯形與圖4(a)中的凹邊梯形相似，那么對于圖4(a)，速度圖線與時間軸圍成的凸邊梯形面積等于對應的矩形面積S1=v∞t與凹邊梯形面積S2=Δv·τ之差.其中

只要物體受到線性阻力f=kv的作用做減速運動，或者物體在恒力F和線性阻力f共同作用下做減速直線運動或加速直線運動，物體將趨于停止或趨于勻速運動，有關(guān)物理量隨時間變化的過程是瞬態(tài)過程.