戚向濤，顧亞平*，張　曼，方斯喆

(1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；2.中國科學(xué)院 聲學(xué)研究所，北京 100190)

引　言

激光信號具有遠(yuǎn)高于電信號傳輸速率的特點(diǎn)，更適合于未來高速率的傳輸網(wǎng)絡(luò)[1-3]。激光器作為光纖通信系統(tǒng)的核心器件是系統(tǒng)仿真中考慮的一個(gè)重要因素。垂直腔面發(fā)射激光器(vertical cavity surface emitting laser,VCSEL)具有使用簡單、功耗較低等特點(diǎn)，目前廣泛應(yīng)用于光纖通信和光信號處理領(lǐng)域[4-5]。VCSEL激光器輸出的光功率與器件的溫度相關(guān)，當(dāng)器件溫度改變后，激光器輸出的光功率也會相應(yīng)發(fā)生變化[6-8]。準(zhǔn)確地分析激光器的溫度特性可以保證激光器在合理的外界環(huán)境溫度范圍內(nèi)使用[9]。

國內(nèi)外很多學(xué)者研究仿真溫度對VCSEL性能的影響，并建立了大量的模型。NAKWASKI建立了2維熱效應(yīng)模型[10-11]。YU等人建立用于單模模擬的VCSEL的速率方程模型[12]。MOROZOV等人考慮多模行為的速率方程模型[13]。SU等人建立的靜態(tài)熱特性模擬的溫度相關(guān)模型[14]。

本文中通過建立光功率與工作電流關(guān)系(P-I)模型，并簡化模型參量及引入電壓電流關(guān)系(U-I)特性曲線來優(yōu)化分析模型。使用Levenberg-Marquardt(LM)算法來實(shí)現(xiàn)模型的求解。對比分析20℃下的測量數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的相似度，進(jìn)一步來預(yù)測不同溫度下的P-I特性曲線，并分析用戶可正常使用網(wǎng)絡(luò)的溫度范圍。

1　VCSEL的P-I模型及優(yōu)化

1.1　P-I模型建立

VCSEL的輸出光功率P0和外部驅(qū)動電流I滿足可以用下式來表示,這里P0與I的建模關(guān)系稱為P-I建模[15]:

P0=η(T)[I-Ith(N,T)]

(1)

式中,P0表示激光器輸出的光功率；I表示注入到激光器的外部驅(qū)動電流，包含外部加載的偏置電流Ib和信號電流，在沒有信號輸入時(shí)驅(qū)動電流為偏置電流Ib；η(T)是P-I曲線的斜率，其大小與溫度T相關(guān)，從能量轉(zhuǎn)換角度看，斜率相當(dāng)于轉(zhuǎn)換效率：斜率越高，相同電流I對應(yīng)的輸出光功率越高，那么相同電能可轉(zhuǎn)換的光能越多;Ith(N,T)表示閾值電流，其大小主要和載流子數(shù)N及溫度T相關(guān)。

為簡化(1)式的表達(dá)，可以假設(shè)轉(zhuǎn)換效率η(T)受溫度影響較小[16]，即η(T)近似于常數(shù)η。同時(shí)假設(shè)忽略空間燒孔效應(yīng)的影響。閾值電流可以表示為只與溫度相關(guān)的函數(shù)[14]，如下式所示：

Ith(N,T)=Ith,0+Ioff(T)

(2)

式中，Ith,0為常數(shù)，Ioff(T)是與溫度相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)熱偏置電流，該電流隨激光器的變化而變化。Ioff(T)可以由溫度的多項(xiàng)式表示：

(3)

式中，an是多項(xiàng)式的參量，n表示階數(shù)。

此時(shí)(1)式可以表示為：

(4)

式中，η(T)表示轉(zhuǎn)換效率，是P-I曲線的斜率。本文中假設(shè)η(T)受溫度影響較小，η(T)近似于常數(shù)η，模型求解中，η同樣為待求參量。溫度T受環(huán)境溫度T0以及自身的溫度影響，自身的溫度與器件產(chǎn)生的瞬時(shí)功率Pi相關(guān)，瞬時(shí)功率Pi=UI，即受U-I(電壓-電流)特性影響：

(5)

式中，Rth表示VCSEL熱阻抗；τth表示熱時(shí)間常數(shù)；T0代表環(huán)境溫度；此處I為偏置電流Ib，U表示輸入電壓。

假設(shè)溫度不發(fā)生變化時(shí)，(5)式后面微分項(xiàng)可忽略不計(jì)。結(jié)合(2)式～(5)式可以得到P0和I的隱式關(guān)系：

P0=η{I-Ith，0-

(6)

1.2　P-I模型參量的優(yōu)化

模型的參量多少決定該模型整體的運(yùn)行速度。參量太多會使得模型計(jì)算量增大，并且容易產(chǎn)生過擬。所以適當(dāng)?shù)貎?yōu)化參量個(gè)數(shù)在優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的同時(shí)會提高模型的計(jì)算精度。

將(4)式中的高次多項(xiàng)式展開可得：

P0=η(I-Ith，0-a0-

a1T-a2T2-a3T3-a4T4-…)

(7)

根據(jù)(7)式可以看出，參量Ith,0(Ith,0為常數(shù)，模型求解中Ith,0為待求參量)和參量a0皆為1階常量，這里可以將這兩個(gè)參量合并為一個(gè)參量,即可以將(3)式優(yōu)化為：

(8)

故而可以在模型的整體計(jì)算上減少一個(gè)參量。隨著n的增大，的值越來越小，并趨于0。這里假設(shè)n>4時(shí)，趨近為0,所以取n=1,2,3,4。

此時(shí)，P0和I的隱式關(guān)系為：

P0=η(I-Ith，0-a1T-a2T2-

a3T3-a4T4)

(9)

式中，T=T0+(UI-P0)Rth。

1.3　VCSEL的U-I特性曲線

溫度T受外界環(huán)境溫度T0和自身的溫度影響，自身的溫度與器件產(chǎn)生的瞬時(shí)功率Pi相關(guān)，瞬時(shí)功率Pi=UI相關(guān)，即受電壓-電流(U-I)特性影響：

T=T0+(UI-P0)Rth

(10)

電壓的變化關(guān)系和VCSEL的特性相關(guān)。為了簡化模型，可以認(rèn)為電壓主要受溫度和電流的影響，即：

U=f(I,T0)

(11)

在實(shí)際應(yīng)用中，電壓會隨著溫度和電流的變化而變化，所以可以用多項(xiàng)式來擬合電壓U的輸出[6]，如下式所示:

(12)

式中，bi和cj為多項(xiàng)式的擬合參量；n，m為多項(xiàng)式的擬合的階數(shù)，0≤i≤n，0≤j≤m。利用(12)式，根據(jù)在20℃的環(huán)境溫度下得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)U及I，擬合其U-I特性曲線。在20℃下，當(dāng)n=2，m=4時(shí),U-I特性曲線與實(shí)測數(shù)據(jù)的對比圖如圖1所示。

Fig.1a—U-Icurve of measurement data and fit data at 20℃b—U-Icurve of different temperature

圖1中的橫坐標(biāo)代表驅(qū)動電流，縱坐標(biāo)代表電壓。圖1a中的實(shí)線是溫度為20℃時(shí)的實(shí)測U-I數(shù)據(jù)，虛線是經(jīng)過(12)式且n=2，m=4時(shí)擬合后的曲線。從圖1a可以看出,擬合的數(shù)據(jù)可以較好地反映實(shí)際數(shù)據(jù)的分布。圖1b為根據(jù)擬合參量求得的在10℃，20℃，30℃，…，90℃溫度下的U-I特性曲線。通過圖1b可以看出：(1)在固定溫度下隨著驅(qū)動電流的增加，電壓也會隨之增加；(2)在固定的驅(qū)動電流下，隨著溫度的增加，電壓也會隨之增加。

此時(shí)，模型整體修正為式：

P0=η(I-Ith,0-a1T-a2T2-

a3T3-a4T4-…)

(13)

式中，

(14)

2　基于LM算法的模型求解

LM算法結(jié)合了Gaussian-Newton法和梯度下降法，利用標(biāo)準(zhǔn)值優(yōu)化初值，是一種快速算法。具有穩(wěn)定性強(qiáng)和快速收斂等優(yōu)點(diǎn)，是快速有效求解目標(biāo)函數(shù)的常用方法[17]。所以選擇LM算法來求解(13)式。

在LM算法中，存在如下關(guān)系式[18]：

uk+1=uk+Δu

(15)

式中，uk為第k次迭代時(shí)的輸入向量，uk+1為第k+1次迭代時(shí)的輸入向量，Δu為兩次迭代時(shí)向量的變化量。此處u=[η,Ith,0,Rth,a1,a2,a3,a4]是7維向量，是所需要求解的參量。

對于牛頓法有：

Δu=-[▽2E(u)]-1▽E(u)

(16)

(17)

式中，E(u)是誤差指數(shù)函數(shù)，▽E(u)為梯度，▽2E(u)為Hessian矩陣，e(u)為期望功率和實(shí)際功率誤差誤差向量，P0為期望輸出功率值，P為實(shí)際輸出功率值。在此處，P是已知的，由(14)式得到關(guān)于未知數(shù)η,Ith,0,Rth,a1,a2,a3,a4的隱函數(shù)關(guān)系式。

對于Hessian矩陣：

▽2E(u)=[A(u)]Te(u)+S(u)

(18)

(19)

式中，A(u)為Jacobian矩陣。當(dāng)目標(biāo)接近極值時(shí)，S(u)很小，可忽略不計(jì)，此時(shí)：

▽2E(u)≈[A(u)]Te(u)

(20)

對Gaussian-Newton法：

▽2E(u)≈[A(u)]TA(u)

(21)

迭代過程中，對E(u)的Hessian矩陣無法求逆時(shí)，需對E(u)的Hessian矩陣進(jìn)行變形：

▽2E(u)≈[A(u)]TA(u)+μI(u)

(22)

式中，I為單位矩陣；μ為阻尼系數(shù)，且μ>0為常數(shù)。故有：

▽u=-(AkTAk+μI)-1AkTek

(23)

uk+1=uk-(AkTAk+μI)-1AkTek

(24)

上面(15)式～(24)式即為LM算法的表達(dá)式，ek表示e(uk)。每次迭代時(shí)重新計(jì)算誤差函數(shù)E(uk+1)，若其小于E(uk)，則保留此次迭代結(jié)果，減小阻尼系數(shù)μ來提高計(jì)算精度，并繼續(xù)進(jìn)行迭代，令μ=μ/β(β>1，β為大于1的常數(shù))；反之則增大阻尼系數(shù)μ后重新計(jì)算，令μ=μ·β，直到滿足E(uk+1)

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在20℃的環(huán)境溫度下得到的輸出光功率P0和外部驅(qū)動電流I的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)改進(jìn)的P-I模型，使用LM算法來求解模型，擬合P-I模型曲線。并給出不同溫度情況下(10℃，20℃，30℃，…，90℃)P-I曲線的預(yù)測結(jié)果。

模型的初始值和最終模型求解出的參量值如表1所示。

Table 1　The initial value and the solved value of the improved P-I model

3.1　20℃時(shí)P-I曲線

圖2是溫度為20℃時(shí)的實(shí)測數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的P-I曲線結(jié)果對比圖。圖2中橫坐標(biāo)代表驅(qū)動電流，縱坐標(biāo)代表光功率，其中實(shí)線為擬合數(shù)據(jù)、虛線為實(shí)測數(shù)據(jù)。從圖2中可以看出,模型幾乎可以擬合出實(shí)測數(shù)據(jù)的趨勢，并且擬合曲線相對測試曲線更加平滑。

Fig.2　P-I curve of measurement data and fit data at 20℃

3.2　不同溫度下P-I曲線

將模型求解的參量值η,Ith,0,Rth,a1,a2,a3,a4代入(14)式,并求解溫度在10℃，20℃，30℃，…，90℃下的P-I曲線,如圖3所示。圖3a表示完全按照模型擬合出的各P-I曲線，不考慮物理情況下光功率不能小于0。圖3b顯示為光功率大于0 時(shí)的P-I曲線。

由圖3a可以看出,光功率隨著溫度和驅(qū)動電流變化的整體走勢。同樣在固定溫度下，輸出光功率隨著驅(qū)動電流的增加先增后減；在固定的驅(qū)動電流下，輸出光功率隨著溫度增加而減小。因?yàn)楣夤β什豢赡苄∮?，所以光功率小于0時(shí)都強(qiáng)制置為0。從圖3b可以看出,當(dāng)溫度不大于60℃時(shí)才會有光功率輸出。所以想要有光功率輸出，則溫度不能高于60℃。

目前假定電信機(jī)房里VCSEL激光器在直流輸入且輸出的平均光功率低于2mW時(shí)，用戶的光貓無法檢測到信號。分析圖3b，當(dāng)溫度為30℃時(shí),光功率在2mW左右浮動，所以細(xì)分位于30℃附近(24℃～32℃)的P-I曲線圖，近一步精確地推測激光器正常工作的溫度。

Fig.3　P-I curve of fit dataa—10℃～90℃(power unlimited)　b—10℃～60℃(power>0mW)

圖4顯示了24℃～32℃溫度時(shí)的P-I曲線。從圖上可以看出，只有在光功率大于2mW時(shí)才能保證激光器被檢測到，保證用戶正常使用網(wǎng)絡(luò);當(dāng)溫度大于31℃時(shí)，任何驅(qū)動電流下都不會有光功率大于2mW。所以要保證用戶正常上網(wǎng)，電機(jī)房里VCSEL激光器工作的環(huán)境溫度最多不能高于31℃。

Fig.4　P-I curve of fit data at 24℃～32℃

4　結(jié)　論

主要研究了VCSEL的P-I模型的溫度特性。首先通過對P-I模型進(jìn)行建模，并通過簡化參量及引入U(xiǎn)-I特性曲線來優(yōu)化分析模型。模型使用LM算法計(jì)算模型參量。根據(jù)在20℃下的實(shí)測數(shù)據(jù)，計(jì)算出模型的擬合參量,最終在20℃下采用P-I模型擬合P-I曲線效果非常好，與實(shí)測的P-I曲線非常吻合。同時(shí)根據(jù)建立的模型對不同溫度下的P-I曲線進(jìn)行了分析，指出了用戶可正常使用網(wǎng)絡(luò)的溫度范圍。