周　強(qiáng)， 張瑞瑞， 陳　晗

(陜西科技大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院， 陜西 西安　710021)

0　引言

電力系統(tǒng)中諧波是影響電能質(zhì)量的重要因素，諧波使得電網(wǎng)電能的有效含量降低，使電氣設(shè)備過熱、產(chǎn)生振動和噪聲，縮短用電設(shè)備的使用壽命等[1].因此，對諧波的研究以及治理已成為了一個具有重要意義的課題.

治理電力系統(tǒng)諧波的前提是實(shí)時、準(zhǔn)確的分析出諧波中不同成分的種類和含量.由于電力系統(tǒng)諧波常常是一個時變信號，同時電網(wǎng)中含有大量的具有非平穩(wěn)隨機(jī)特性的噪聲干擾，目前廣泛使用的傅里葉變換不能準(zhǔn)確地在噪聲干擾中提取諧波信號，更重要的是傅里葉變換是將整個時間域上的信號投影到頻率域，它不具有時間分辨率，無法及時地反映發(fā)生時變的諧波成分.

針對這一問題，本文利用小波變換、小波包變換和短時傅里葉變換分析等同時具有時間和頻率分析能力的時-頻分析方法，將含有噪聲且具有時變性的電力諧波映射到“時間-頻率-幅值”的三維空間進(jìn)行分析，從這些分析方法的準(zhǔn)確性、時-頻分辨率、抗噪能力等幾個方面展開研究對比，探索分析電力系統(tǒng)諧波的最佳方法.研究表明：短時傅里葉變換在分析電力系統(tǒng)諧波時具有優(yōu)越性，可以成為實(shí)踐中分析電力系統(tǒng)諧波的有效方法.

1　電網(wǎng)諧波及噪聲成分

隨著越來越多的非線性用電設(shè)備的使用，電網(wǎng)中諧波的種類和含量越來越多，對電力系統(tǒng)造成的危害也不斷加大，其中電力系統(tǒng)中諧波主要包括整次諧波、間次諧波和分?jǐn)?shù)諧波等，它們主要由發(fā)電設(shè)備、輸配電設(shè)備和電力系統(tǒng)非線性負(fù)載三方面引起.由于發(fā)電機(jī)沿轉(zhuǎn)子與定子之間氣隙的磁通分布曲線不是完善的正弦波，導(dǎo)致發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電壓波形不可能是完全不失真的正弦波，特別是轉(zhuǎn)子與定子之間的氣隙未能調(diào)整對稱時，其輸出的電壓波形更會嚴(yán)重畸變[2].輸配電設(shè)備的諧波主要來源于電力變壓器，其鐵芯大多工作于非線性的飽和狀態(tài)，使得工作時的磁化電流為尖頂波形，從而產(chǎn)生奇次諧波.除此以外，電力系統(tǒng)中以電力電子裝置為代表的非線性負(fù)載的使用所產(chǎn)生的諧波也占有越來越大的比重[3]，如晶閘管整流設(shè)備的廣泛使用在對電信號變換的同時給電網(wǎng)中留下大量的諧波分量[4].此外變頻裝置因大多是靠相位控制，諧波成分比較復(fù)雜，除了整次諧波之外，還會產(chǎn)生一定含量的分?jǐn)?shù)諧波，對電網(wǎng)諧波的影響也越來越大.

針對此問題，國家在國標(biāo)《GB14549-93電能質(zhì)量 公用電網(wǎng)諧波》中規(guī)定了電網(wǎng)中50 Hz工頻及其2～25次諧波以內(nèi)的諧波電流允許值，并明確指出測量諧波含量時一般注重第2到第19次諧波含量，為電力系統(tǒng)諧波分析的著重點(diǎn)指明方向.

對于復(fù)雜周期信號，當(dāng)其幅值變化1%、頻率變化0.5 Hz或相位改變0.1π%時稱該信號發(fā)生時變.電力系統(tǒng)中電力變壓器和電力電子裝置工作參數(shù)的時變性，會造成電力系統(tǒng)主要諧波成分的時變.此外在分析電網(wǎng)中諧波含量時由于電網(wǎng)中含有大量高頻噪聲干擾，高頻噪聲頻率大多指在200 KHz以下疊加在電力系統(tǒng)的相線、中性線或信號線中的噪聲，這些都增加了對電網(wǎng)諧波成分準(zhǔn)確分析及諧波時頻分辨的難度.

電力系統(tǒng)中噪聲干擾主要由操作、耦合和地磁引起的干擾、直流和廠用電系統(tǒng)操作引起的干擾以及大規(guī)模集成電路工作室引起的干擾等造成.電力系統(tǒng)噪聲不僅危害巨大，例如由浪涌電壓和高頻振蕩電流產(chǎn)生的噪聲幅值大，易對電子裝置產(chǎn)生噪聲干擾，而由觸電通斷變化瞬間產(chǎn)生的高頻噪聲，經(jīng)導(dǎo)線分布電容和絕緣電阻等侵入數(shù)字邏輯系統(tǒng)，會導(dǎo)致用電設(shè)備系統(tǒng)邏輯紊亂，甚至產(chǎn)生誤動作[5]，而且噪聲的頻率成分豐富且很不穩(wěn)定.

因此，電力系統(tǒng)諧波分析困難，不只因為電力系統(tǒng)中含有各次時變的諧波信號，同時電網(wǎng)隨機(jī)噪聲也增加了電網(wǎng)諧波分析的難度，為此建立電力系統(tǒng)諧波信號為s(t)數(shù)學(xué)模型

s(t)=N(t)+ω(t)+n(t)

(1)

式(1)中：N(t)為電網(wǎng)基波信號,ω(t)為諧波信號，n(t)為電網(wǎng)噪聲信號.N(t)和ω(t)都是時變模型，n(t)是一個非平穩(wěn)的隨機(jī)信號.為了克服數(shù)學(xué)模型時變性和非平穩(wěn)隨機(jī)性造成的分析困難，本文使用時-頻分析的各種方法對電力諧波進(jìn)行實(shí)時分析.

2　電網(wǎng)諧波分析方法

時-頻分析，是處理時變非平穩(wěn)信號的有力工具.本文使用時-頻分析工具將電力系統(tǒng)諧波信號投影到時間-頻率-幅值的三維空間進(jìn)行分析，以克服傳統(tǒng)傅里葉變換的時-頻局限性.

時-頻分析主要包括短時傅里葉變換(STFT)、連續(xù)小波變換、小波包變換、希爾伯特黃金變換、Wigner-Ville變換和S變換以及廣義S變換等，本文主要通過時-頻分析的小波變換、小波包變換和短時傅里葉變換三種方法對電力系統(tǒng)諧波進(jìn)行分析.

2.1　基于小波變換的分析方法

小波變換的本質(zhì)是平穩(wěn)信號的變化給其加上寬度可自行調(diào)節(jié)的窗口[6]，再進(jìn)行變換處理.小波函數(shù)的確切定義為：設(shè)ψ(t)∈L2(R)，L2(R)是一個平方可積空間，若其傅里葉變換ψ(ω)滿足小波函數(shù)的可容許條件:

(2)

則稱ψ(t)為一個基本小波或者小波母函數(shù)[7].

將小波母函數(shù)ψ(t)進(jìn)行伸縮和平移，就可以得到函數(shù)ψα,τ(t):

(3)

式(3)中：α為伸縮因子，τ為平移因子，ψα,τ(t)為依賴于參數(shù)α,τ的小波基函數(shù)[8].

本文利用公式(3)中的母小波，對公式(1)的電力系統(tǒng)模型進(jìn)行連續(xù)小波變換(CWT)，如式(4)所示.

WTs(α,τ) =〈s(t),ψα,τ(t)〉=

WTs_N(α,τ)+WTs_ω(α,τ)+WTs_n(α,τ)

(4)

由公式(2)、(3)可往往見，連續(xù)小波變換與傳統(tǒng)傅里葉變換相比，小波基有兩個參變量：頻率域中的伸縮因子α(=1/f)和時間域中的平移因子τ，電力諧波函數(shù)中的各種成分(基波、諧波和噪聲)在經(jīng)過小波變換時其原來的時間函數(shù)分別投射成了小波變換中的時間、尺度函數(shù)，而α和τ的伸縮平移性保證了該分析過程的時間分辨率和頻率分辨率，所以對時變信號進(jìn)行連續(xù)小波變換能很好地分析其在時間和頻率上的變化[9].但是，由于公式(3)中的母小波可能不具有正交性，ω(t)的小波譜WTs_ω(α,τ)會受到n(t)的小波譜WTs_n(α,τ)干擾，即該方法的抗干擾性略顯不足.

2.2　基于小波包變換的分析方法

連續(xù)小波變換具有頻率分辨率不均勻的特點(diǎn)(低頻分辨率高，高頻分辨率低)[10].小波分析的方法一般是把低頻系數(shù)分解成兩部分：近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)，之后再將近似系數(shù)進(jìn)一步分解成兩部分，但對細(xì)節(jié)系數(shù)不再進(jìn)行處理，而小波包變換如圖1的小波包二叉樹所示.會同時對細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行細(xì)分處理[11]，因此使用小波包變換在處理一維信號時能產(chǎn)生完整的二叉樹，大大提高了信號時頻的分辨率[12,13].

圖1　小波包變換二叉樹

給出小波包變換的定義：由已知的正交尺度函數(shù)φ(t)和小波函數(shù)ψ(t)有

(5)

(6)

以及圖1小波包二叉樹所示，小波包變換的分解關(guān)系為：

(7)

(8)

式(7)中：hk為正交尺度函數(shù)的濾波器系數(shù).

式(8)中：gk是小波函數(shù)的濾波器系數(shù)[14]，n,k為整數(shù)，Z為整數(shù)集.

當(dāng)n=0時，ω0(t)=φ(t),ω1(t)=ψ(t).以上定義的函數(shù)集合{ωn(t)}n∈z為由正交尺度變換ω0(t)=φ(t)所確定的小波包,即

{ωn(t)}={ω0(t),ω1(t),…,ω2n(t)}=

{φ(t),ψ(t),…,φ(2nt),ψ(2nt)}

(9)

因此小波包{ωn(t)}n∈z是包含尺度函數(shù)ω0(t)和小波母函數(shù)ω1(t)在內(nèi)的具有一定聯(lián)系的函數(shù)的集合[15].本文使用小波包變換分析電力系統(tǒng)諧波信號，如式(10)所示.

WPT{ωn}(α,τ) =〈s(t),{ωn(t)})〉=

WPT{ωn}_N(α,τ)+WPT{ωn}_ω(α,τ)+

WPT{ωn}_n(α,τ)

(10)

與小波變換相比，小波包變換具有相同的時間分辨率和更強(qiáng)的頻率分辨率(其高頻分辨率顯著強(qiáng)于前者)，能有效地分析具有時變性的電力系統(tǒng)諧波信號的時-頻特性.但是由于構(gòu)造的正交尺度函數(shù)的復(fù)雜性，使得該方法的運(yùn)算量巨大.

2.3　短時傅里葉變換的分析方法

短時傅里葉變換是非平穩(wěn)信號分析中使用的最廣泛的方法之一.由于傳統(tǒng)傅里葉變換分析信號時只能假設(shè)原始信號是周期變化的，所以傳統(tǒng)傅里葉變換不能用于對非周期信號或者非平穩(wěn)信號的分析，短時傅里葉變換的思想是對非平穩(wěn)信號進(jìn)行加窗，把信號分解成很多小的時間間隔近似成若干段平穩(wěn)信號的疊加，再分別對每一段近似的平穩(wěn)信號進(jìn)行傅里葉分解[16]，短時傅里葉變換既解決了傳統(tǒng)傅里葉變換沒有時間分辨率的問題，也解決了小波變換在頻域上的混疊問題.

對給定的電力系統(tǒng)諧波信號s(t)，通過窗函數(shù)h(t)定義新的信號st(τ)：

st(τ)=s(τ)h(τ-t)=

[N(τ)+ω(τ)+n(τ)]h(τ-t)

(11)

它是以t為參數(shù)的時段τ的函數(shù)，是原信號在t時刻附近τ時段的成分.對新信號做傅里葉變換，結(jié)果稱為原信號的短時傅里葉變換，即

St(ω)=STFT[s(t)]=Sτ(st(τ))=

STFT[N(t)]+STFT[ω(t)]+STFT[n(t)]

(12)

式(12)中：腳標(biāo)τ表示傅里葉算子F對應(yīng)的積分變量.由于新信號st(τ)突出了原信號s(t)在t時刻附近一個時段的特性，所以新信號的傅里葉變換反映了原信號在該時段的頻率分布狀況[17,18].

由公式(12)可知，短時傅里葉變換同樣能夠完成電力系統(tǒng)諧波信號的時頻分析過程，與前兩種時頻分析方法相比，短時傅里葉變換的抗噪能力較為突出，頻率分辨率因其母函數(shù)(正弦函數(shù))與被分析諧波的一致性而較前兩種方法好，只是由于其尺度伸縮性不夠靈活，其時間分辨率略顯不足.本文將通過以下仿真驗證這些結(jié)論.

3　仿真分析

3.1　電網(wǎng)信號模擬

在實(shí)際的電網(wǎng)中，電流成分主要包括包含基波(50 Hz)在內(nèi)的奇次諧波和疊加一些頻率隨時間變化的非平穩(wěn)信號構(gòu)成，同時由于線路傳輸，供電設(shè)備不均衡等造成電網(wǎng)中時刻疊加著大量的高頻噪聲信號.

根據(jù)實(shí)際的電力系統(tǒng)，模擬仿真信號選用基波為50 Hz的正弦波，疊加3、5、7、9、11、15次穩(wěn)態(tài)諧波，在此基礎(chǔ)上增加三個頻率突變時間點(diǎn)，用于檢驗三種分析方法的時間分辨效果，依次為：350 Hz到450 Hz隨時間變化生成的頻率漸變的諧波信號，時間點(diǎn)為0.333 s和0.667 s,與750 Hz突變?yōu)殡S時間增加能量指數(shù)增加的850 Hz諧波信號，突變時間點(diǎn)設(shè)置在0.500 s處，同時疊加基波信號的1/30幅值的白噪聲信號作為高頻噪聲信號.因此，模擬電網(wǎng)信號表達(dá)式為：

s(t)=s1(t)+80s2(t)+80s3(t)+10s4(t)

(13)

其中：

s1(t)=300sin(50*2πt+0.1π)+

150sin(150*2πt+0.2π)+

100sin(250*2πt+0.3π)+

sin(550*2πt+0.1π)+

(14)

(15)

(16)

s4(t)是一幅值為10的高頻噪聲信號.

上述模擬電力系統(tǒng)諧波信號時域的波形圖如圖2所示.

3.2　小波變換對電網(wǎng)諧波分析

進(jìn)行以上分析時，在采樣頻率fs=2 000 Hz，時間為(0 s

由圖3可知，經(jīng)小波變換后，s(t)的時頻特性基本被反映出來.

(a)s(t)經(jīng)小波變換的時頻二維圖

(b)s(t)經(jīng)小波變換的時頻三維圖圖3　電力諧波信號s(t)小波變換效果圖

(1)時間分辨率：圖3(a)中圈出的頻率突變時間點(diǎn)，經(jīng)查證，三個時間點(diǎn)分別是0.334 5 s、0.668 5 s和0.500 5 s,與原信號頻率突變點(diǎn)對比可知小波變換分析電網(wǎng)諧波時基本沒有延遲現(xiàn)象.

(2)頻率分辨率：小波變換是將信號頻率分段劃分，所以不能完全準(zhǔn)確的分析出特定頻率點(diǎn)的信號，小波分析出來的是多個頻率段的信號分量，信號在頻率軸上不能集中在具體的頻率點(diǎn).

(3)抗噪能力：小波變換不能完全去除噪聲的干擾，如圖3(a)、(b)中所示時頻圖存在多條雜波信號的疊加，且小波變換難以解決混疊效應(yīng)，若小波基函數(shù)選取不當(dāng)，則還會產(chǎn)生原始信號中不存在的虛假分量.

3.3　小波包變換對電網(wǎng)諧波分析

類似，對電力系統(tǒng)模擬信號s(t)進(jìn)行小波包變換，同樣選取采樣頻率fs=2 000 Hz、分解層數(shù)level=5、小波包用“db”小波函數(shù)系列的消失矩為45的小波函數(shù)進(jìn)行小波變換分析.

由圖4可知，經(jīng)小波包變換后，s(t)的時頻特性更明顯地反映出來.

(1)時間分辨率：和小波變換一樣，圖4(b)中圈出頻率突變時間點(diǎn)依次為0.338 4 s、0.653 5 s和0.506 5 s，經(jīng)對比原頻率突變點(diǎn)，同樣表明了小波包變換也具有很高的時間分辨率.

(2)頻率分辨率：采樣頻率為fs=2 000 Hz，s(t)經(jīng)小波包變換五層分解之后，每個小波包的范圍是31.25 Hz，足夠分解所有包括50 Hz及其以上的非平穩(wěn)信號的頻率，但也反面說明了小波包變換分解出來的電網(wǎng)諧波信號只是劃分到正確的頻率范圍內(nèi)，并無法實(shí)現(xiàn)具體頻率點(diǎn)的分解.

(3)抗噪能力：s(t)經(jīng)小波包變換之后仍疊加了大量的噪聲信號含量，不具備明顯的抗噪濾波的能力，且小波包函數(shù)的混疊現(xiàn)象并沒有明顯的改善.

(a)s(t)小波包二叉樹分解示意圖

(b)s(t)經(jīng)小波包變換的時頻二維圖

(c)s(t)經(jīng)小波變換的時頻三維圖圖4　電力諧波信號s(t)小波包變換效果圖

3.4　短時傅里葉變換對電網(wǎng)諧波分析

同樣的當(dāng)采用短時傅里葉變換對原始信號s(t)進(jìn)行分析時，選擇采樣頻率fs=2 000 Hz，在時間(0 s

由圖5可知，經(jīng)STFT變換后，s(t)的時頻特性準(zhǔn)確反映了出來.

(1)時間分辨率：圖5(a)中圈出部分在查證后得出的頻率突變時間點(diǎn)依次為0.372 5 s、0.516 s和0.701 5 s,經(jīng)與原始頻率突變點(diǎn)對比可看出STFT對信號頻率的突變不敏感，其時間分辨率不夠，對信號的響應(yīng)速度較低.

(a)s(t)經(jīng)STFT的時頻二維圖

(b)s(t)經(jīng)STFT的時頻三維圖圖5　電力諧波信號s(t) STFT效果圖

(2)頻率分辨率：通過圖5(b)得出，短時傅里葉變換分析出的時頻波形完全集中在設(shè)定的頻率點(diǎn)附近，相比小波變換和小波包變化有很高的頻率分辨率，能準(zhǔn)確的分析出電力系統(tǒng)中的諧波成分.

(3)抗噪能力：通過圖5(a)、(b)可以看出，STFT對信號的濾波特性很好，抗噪能力很強(qiáng)，變換后幾乎不會突出其他噪聲信號時頻.

3.5　仿真結(jié)果分析

仿真表明，小波變換、小波包變換和短時傅里葉變換在分析時變信號時都具有時間和頻率分辨能力.在分析時變信號的時間特性時，經(jīng)對比三種分析方法的頻率突變點(diǎn)的響應(yīng)時間可知，小波變換在分析突變信號時的響應(yīng)時間在0.001 s內(nèi)，對于小波包變換的響應(yīng)時間最大為0.015 s,而短時傅里葉變換的響應(yīng)時間最長則達(dá)到0.392 s,由此可見，小波變換和小波包變換都具有較高的時間分辨率，對電網(wǎng)諧波分析的實(shí)時性較高，而短時傅里葉變換由于其窗函數(shù)不具有尺度變換能力，其時間分辨率稍有不足.

在分析時變信號的頻率特性時，小波變換對時變信號的高頻分辨能力差，小波包變換具有更好的高頻分辨率，但小波變換和小波包變換只能將時變信號識別到一定的范圍之內(nèi)，不能準(zhǔn)確的分析出時變信號的具體頻率成分，而短時傅里葉變換具有最強(qiáng)的頻率分辨率，能精確的分辨時變信號的頻率信息.

對于抗噪能力，由于小波基函數(shù)和小波包基函數(shù)不是正弦函數(shù)，其函數(shù)難以做到正交，而短時傅里葉變換在對原始信號加窗后，使用正弦基作為母函數(shù)對信號進(jìn)行傅里葉變換，而正弦函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)，所以短時傅里葉變換在分析電力系統(tǒng)諧波信號時，其抗干擾性能明顯優(yōu)于小波變換和小波包變換.

4　結(jié)論

本研究通過三種時-頻分析方法對電力系統(tǒng)諧波的分析表明：小波變換、小波包變換和短時傅里葉變換都具有不錯的時-頻分析能力，小波變換和小波包變換雖然具有很高的時間分辨率但頻率分辨性能不強(qiáng)，且抗噪濾波性能一般.對比短時傅里葉變換雖然具有相對稍差的時間分辨率，但其頻率分辨性能和抗噪性能都是最強(qiáng)的.綜合分析得出：短時傅里葉變換是電力系統(tǒng)諧波分析中最優(yōu)秀的方法.