程鐵杰

合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009

我國是一個廣大地區(qū)處于季風活動劇烈地帶且洪澇災害頻繁的國家[1]，多數(shù)流域周邊氣候復雜多變，年際降水量變化大且年內分配極不均勻，形成了降水少易旱、有降水易澇、強降水易洪的典型區(qū)域旱澇特征[2]。

洪水災害是水災和澇災的總稱，已成為主要的自然災害之一；治理洪澇災害需通過各種工程措施進行抵御，如興修堤防、整治河道、興建水庫蓄洪滯洪等工程[3]。河道內河流按照以往汛期的最大水流量和河岸的最大承受水量設定的水位為河道汛限水位，一旦河道水位超過汛限水位，便易產生洪災；水庫容積比一段河槽容積大得多，對洪水的調蓄作用也要強于河槽，進入水庫的洪水過程經水庫攔蓄和阻滯作用之后，自水庫下泄至河道下游的洪水過程會大大展平，洪峰被削減，從而達到防止或減輕下游洪水災害的目的[4]。

水庫調洪計算的主要目的是推求下泄洪水過程線、攔蓄洪水的庫容和水庫水量的變化，常用的基本方法包括：列表試算法[5]、半圖解法[6]、簡化控泄法[7]。列表試算法是結合列表計算來試算求水量平衡方程組公共解的方法，半圖解法則通過圖解和計算相結合的方式求解水量平衡方程與蓄泄方程，以上兩種算法需進行大量的計算與試算，還需添加輔助線等較為繁瑣的工作；簡化控泄法在水庫防汛調度中應用最簡單普遍，雖為一種省時且行之有效的計算方式，但其洪水過程不利于庫岸穩(wěn)定，與實際情況差距較大，在實際應用時仍需謹慎選用。近年來，神經網絡法與數(shù)值解析法成為學者們研究的熱點，神經網絡法在水庫防洪調度模型求解方面具有一定優(yōu)勢，但該方法也存在局部搜索能力不足、全局收斂性差等問題[8]，且神經網絡法需要大量的訓練樣本，在工程實踐中尚不具有良好的適用性；數(shù)值解析法在調洪時段縮短時精度較高，且計算結果有利于工程安全[9]，但隨著計算精度的提高，計算量逐步增加且計算過程變得復雜，在指導實際防汛調度工作方面有所欠缺。

由于夏季亞洲季風區(qū)為強大的水汽匯，東亞大陸有較強的水汽輻合中心，導致我國流域降水集中在夏季且局地暴雨頻繁[10]，水庫需要在固定時段內騰空庫容以備攔蓄下一次暴雨產生的洪峰。但以上方法鮮有提及在固定歷時消退洪水騰空庫容的方法和過程，難以定量得出水庫在各時段的下泄水量與進出庫水量；因此，本文基于級數(shù)理論，提出一種水庫在固定歷時對洪水的削峰方法，定量計算水庫進出庫水量及河道下泄水量，為各地流域機構制定防汛調度方案提供一種技術參考。

1 數(shù)學理論

1.1 數(shù)值級數(shù)

數(shù)值級數(shù)的定義如下：設{an}是任意的一個實數(shù)列，n∈N+，稱形如S=a1+a2+a3+… (1)的形式上的無窮和為數(shù)值級數(shù)或簡稱為級數(shù)。

通常使用簡化的記號：或簡化為∑an。這里，在求和號中自然參數(shù)n確定數(shù)列的項的號碼。對于固定的n，對應于它的項an叫做級數(shù)的第n項[11]。

級數(shù)的部分和定義如下：考察由等式

構成新的數(shù)列{Sn}，稱{Sn}為級數(shù)的部分和數(shù)列，它的第n項叫做此級數(shù)的第n部分和。

1.2 等差級數(shù)

如果一個級數(shù)從第2項起，每一項與它的前一項的差為同一個常數(shù)，稱這個級數(shù)為等差級數(shù)，而這個常數(shù)叫做等差級數(shù)的公差，公差常用字母d表示。

等差級數(shù)的通項公式為：

部分和公式為：

1.3 幾何級數(shù)

如果一個級數(shù)每一項均不為0，且從第2項起，每一項與它的前一項之比為同一個常數(shù)，稱這個級數(shù)為幾何級數(shù)，而這個常數(shù)叫做幾何級數(shù)的公比，公比常用字母q表示。

幾何級數(shù)的通項公式為：

部分和公式為：

2 方法應用

2.1 水庫調洪計算原理

調洪過程中的任一時段，進入水庫的水量與出庫水量之差必等于該時段內水庫蓄水變化量，即水庫的水量平衡方程[12]。

式（7）中：為入庫時段平均流量，為出庫時段平均流量，Δt為時間步長，ΔV為水庫蓄水變化量。

當河道來水量不超過河道汛限水量時，水庫不攔蓄來水；在洪峰到來時，將超過下游安全泄量的洪水暫時攔蓄在水庫中，待洪峰過后，再將攔蓄的洪水下泄，在下一次洪水到來之前科學調度調節(jié)庫容以備攔蓄洪峰[13]。

2.2 固定歷時削峰模型

在降水較為集中的時期，水庫必須在固定時段滯洪削峰，并在下一次洪峰到來之前下泄攔蓄洪水，騰出庫容。

基于級數(shù)理論的固定歷時削峰方法如下：

設洪水過程歷時為k個時間步長即kΔt，在該時段內水庫需攔蓄洪水并下泄至河道；在第i個時間步長（1ik,i+≤ ≤ ∈? ），河道上游來水平均流量為河道下泄平均流量為進庫平均流量為出庫平均流量為河道汛限水位對應的流量為Ql；從第p個時間步長到第r個時間步長河道上游來水流量超過河道汛限水位對應流量。

結合水庫調洪計算原理，水庫固定歷時削峰數(shù)學模型如下：

式（8）中：ai為級數(shù)的第i項。

為騰空庫容以備攔蓄下一個洪峰，在k個時間步長形成的時段，河道上游來水總量等于河道下泄總量，即又當1≤i＜p時，由此可得：

由于當p≤i≤r時，將式（9）移項并整理得：

2.3 出庫水量及河道下泄水量計算方法

由式（8）可知，在洪峰過后，河道下泄量呈遞減趨勢，且若由計算出來的出庫平均流量產生負值，則將其換算為進庫流量。

由級數(shù)部分和定義可得：

采用等差級數(shù)計算方式如下：

由式（3）、式（4）可得

由式（11）、式（12）可得：

當r＜i≤k時，結合式（8）與式（13）即可計算出對應時間的出庫水量及河道下泄水量。

采用等差級數(shù)計算時，由于d＜0，當時段過長時計算出來的下泄水量會產生負值，與實際情況不符，故當歷時較長時可采用幾何級數(shù)計算河道下泄水量。

采用幾何級數(shù)計算方法如下：

顯然0＜q＜1，由式（5）、式（6）可得

由式（11）、式（14）可通過列表法、試算法或迭代法計算q的取值。

當r＜i≤k時，結合式（8）即可計算出對應時間的出庫水量及河道下泄水量。

3 算例

某河道上游來水流量如表1所示，已知河道汛限水位對應來水量為176.5 m3/s，河道周邊一水庫用于調蓄洪水，水庫需在7月7日16:00騰空本次蓄水以備攔蓄下一次洪峰，求水庫的蓄泄過程以及河道下泄流量。

表1 河道上游水流量Table 1 The amount of water flowing upstream along river way

采用傳統(tǒng)的簡化控泄法進行計算，Δt=1 h，k=40河道上游來水總量為：則河道平均下泄流量為：相應的水庫調蓄洪水示意圖見圖1。

圖1 簡化控泄法水庫調洪過程Fig.1 Reservoir flood regulation process with simplified controlled discharge method

由圖1可知，采用傳統(tǒng)的簡化控泄法進行調洪計算是將洪水過程簡化為一條直線，洪峰被削減，雖然經水庫調蓄后洪水過程線十分平穩(wěn)，但在工程實踐中采用此方法進行水庫防洪調度時進出庫流量變幅較大，難以實現(xiàn)實時控制，其洪水過程與實際情況有所差距。

采用級數(shù)理論進行計算，Δt=1 h，k=40，p=9，r=17，Ql=176.5；由水庫調洪演算基本原理，當1≤i＜9時，來水量不超過河道汛限水量，水庫不攔蓄來水；在9≤i≤17時，將超過汛限水量洪水暫時攔蓄在水庫中，待17＜i≤40時，再將攔蓄的洪水下泄掉，在下一次洪水到來之前科學調度調節(jié)庫容以備攔蓄洪峰。

由式（11）可得：

應用等差級數(shù)計算如下：

由式（13）可得：

結合式（8）計算進出庫流量及河道下泄流量，若計算出來的出庫平均流量產生負值，則將其換算為進庫流量，最終成果如表2所示。

表2 等差級數(shù)理論水庫調洪成果 (單位:萬/m3)Table 2 Reservoir flood regulation achievements based on the theory of arithmetical series(Unit:ten thousand/m3)

經校核，河道上游來水總量4388.2萬m3，與河道下泄總量4388.2萬m3相等；進庫總量522.3萬m3，與出庫總量522.3萬m3相等，符合水量平衡原理；相應水庫調蓄洪水示意圖見圖2。

圖2 等差級數(shù)理論水庫調洪過程Fig.2 Reservoir flood regulation procedures based on the theory of arithmetical series

觀察圖2可知：采用等差級數(shù)理論調蓄洪水，對比來水過程線和下泄洪水過程線，經水庫調蓄，洪峰被削減，洪峰后出庫流量過程線平穩(wěn)有序；水庫最大出庫流量為151.69 m3/h，削峰總量359.7萬m3。

應用幾何級數(shù)計算如下：

由式（14）可得：

解得：q=0.943。

結合式（8）計算進出庫流量及河道下泄流量，方法同上，最終成果如表3所示。

表3 幾何級數(shù)理論水庫調洪成果Table 3 Reservoir flood regulation achievements based on the theory of geometric series

經校核，河道上游來水總量4388.2萬m3，與河道下泄總量4388.2萬m3相等；進庫總量412.5萬m3，與出庫總量412.5萬m3相等，符合水量平衡原理；相應水庫調蓄洪水示意圖見圖3。

圖3 幾何級數(shù)理論水庫調洪過程Fig.3 Reservoir flood regulation procedures based on the theory of geometric series

觀察圖3可知：采用幾何級數(shù)理論調蓄洪水，對比來水過程線和下泄洪水過程線，經水庫調蓄，洪峰被削減，洪峰后出庫流量過程線更為平緩；水庫最大出庫流量為129.86 m3/h，削峰總量359.7萬m3。

綜上：傳統(tǒng)的簡化控泄法計算簡便，但在工程實踐中不易實現(xiàn)，是一種理想化的水庫調洪方式；而本文提出的基于級數(shù)理論的水庫固定歷時削峰方法可以定量得出水庫各時段的進出庫水量，調洪方式更為合理，便于相關部門結合實際情況制定防汛調度的方案，減輕洪水災害對當?shù)氐钠茐?。通過對比等差級數(shù)和幾何級數(shù)兩種計算方法的進出庫水量，可得采用幾何級數(shù)計算出的進出庫總量以及最大出庫流量要少于采用等差級數(shù)計算出的進出庫總量；通過對比表2與表3及圖2與圖3，可知采用幾何級數(shù)計算方法的下泄過程要緩于采用等差級數(shù)計算方法的下泄過程；在實際應用時可依具體情況采用相應的計算方法。

4 結論

本文以數(shù)值級數(shù)理論為切入點，通過建立調洪演算數(shù)學模型，提出了基于等差級數(shù)和幾何級數(shù)兩種計算方法下水庫在固定歷時的削峰過程，定量化研究水庫在各時段的進出庫流量以及河道下泄流量。不僅從理論上闡述了在固定歷時條件下水庫調洪的可行性，并附以實際算例進行驗證。本文所選用的方法可用于水資源規(guī)劃教學、水利工程設計計算中，同時該方法還可以推廣至其他類似工程領域當中，以解決更多工程計算相關問題，具有較強的適用性和可行性。

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