郭竹梅

（安徽科技學(xué)院信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽 鳳陽 233100）

矩陣在線性代數(shù)中具有舉足輕重的地位，矩陣的運算更是當(dāng)代大學(xué)生必須熟練掌握的運算?！昂筒罨e”是抽象矩陣運算中的常用手段，它可以大大簡化抽象矩陣的運算，下面從兩個方面來說明“和差化積”在線性代數(shù)中的應(yīng)用。

1　抽象矩陣的行列式

此類題目經(jīng)常采用矩陣的運算性質(zhì)和某個矩陣左乘或右乘一單位矩陣把“矩陣和差”化為“矩陣乘積”，見下面的例1，例2。

例1[1]設(shè)A，B為3階方陣，且|A|＝3，|B|＝2，|A－1+B|＝2，求：|A+B－1|。

解：由矩陣的運算性質(zhì)可得，A+B－1=A（A－1+B）B－1，

例2[2]設(shè)A為n階方陣，n為奇數(shù)，且AAT=En，|A|＝1 求|A－En|。

解：由于|A－En|＝|A－AAT|=|AEn－AAT|=|A(En-AT)|=|A(EnT-AT)|=|A(En－AT)|=|A|·|(En－A)T|=|A|·|En－A|=|En－A|=|－（A－En）|=（－1）n|A－En|=－|A－En|（n為奇數(shù)），

所以2|A－En|=0，從而|A－En|=0。

二、抽象矩陣的逆矩陣

此類題目經(jīng)常采用“因式分解”或左乘和右乘單位矩陣的技巧把“矩陣和差”化為“矩陣乘積”，見下面的例3，例4。

例3 設(shè)n階矩陣A滿足2A（A－En）=3A3，證明：En－A可逆，并求（En－A）－1。

證明：由2A（A－En）=3A3可得，3A3－2A2＋2A＝0，從而有3A3－2A2＋2A＝（A－En）（3A2＋A＋3En）＋3En=0，即（A-En）（3A2＋A＋3En）＝-3En從而，

所以En－A可逆，且

例4設(shè)n階矩陣A,B,AB－E為可逆矩陣，證明：

（1）A-1－B可逆，并求其逆；（2）（A-1－B）-1+B-1可逆，并求其逆。

上述給出了“和差化積”在抽象矩陣行列式和逆矩陣中的應(yīng)用，事實上，這兩方面的綜合題目也可以用“和差化積”來解決，見下面的例5，例6。

例5 設(shè)n階矩陣A和B滿足A2=En，B2=En，|A|＋|B|＝0證明：|A＋B|＝0。

證明：由A2=En，B2=En，|A|＋|B|＝0可得，

例6設(shè)A是n階實對稱矩陣，且滿足A2-3A=0，R（A）＝k，求|A＋2E|。

解：由A2-3A=0可得A的特征值只能是0或3，

又A是n階實對稱矩陣且R（A）＝k，所以A與n階對角矩陣Λ相似，且R（Λ）＝k，

從而3是A的k重特征值，0是A的n-k重特征值，即存在可逆矩陣p，使得

3　結(jié)語

對于抽象矩陣的運算，“和差化積”是一種非常有效的方法。從上述例題可以看出，通過矩陣的性質(zhì)對算式進(jìn)行恒等變形、“因式分解”、左乘或右乘單位矩陣等技巧可以大大簡化抽象矩陣的運算。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從抽象的高度去解決問題，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的目的。