(廣州大學　廣東　廣州　510006)

引言

隨著有限元法不斷完善，它的應用領域越來越寬，已成為設計領域中的重要的分析工具。有限單元法，也稱結構力學的矩陣分析方法，其主要內(nèi)容包括以下兩部分：

首先是進行單元分析。把一個連續(xù)的結構分解成有限個單元的集合體，這些單元僅在有限個結點上相連接，這個過程稱之為結構的離散化。

其次是進行結構的總體分析。在單元分析的基礎上，再把各單元集合起來進行考慮，由各單元剛度矩陣集合形成結構的總體剛度矩陣。

本文僅涉及到桁架結構，作了以下兩個假設：桁架的桿件應力應變關系符合虎克定律；桿件各節(jié)點為無摩擦的鉸結點。

一、桿單元剛度矩陣

(一)局部坐標系下的單元剛度矩陣[1]

圖1　單元e受力圖

桿端軸向力與桿端位移間的關系為：

(二)整個坐標系下的單元剛度矩陣

1.桿端力和位移的坐標變換

[T]為正交矩陣

2.整體坐標系下的單元剛度矩陣

桿單元的桿端力和桿端位移在整體坐標系下的關系：

{F}(e)=[k](e){Δ}(e)

單元桿端力與桿端位移在局部坐標系下的剛度方程為：

等式兩邊同乘[T]T，得：

比較兩式，便得到：

3.結構總體剛度矩陣

空間桁架結構桿件較多，本文采用單元集成法求總體剛度矩陣[1]，

單元集成法分為兩步：

(1)由單元剛度矩陣[k](e)求單元貢獻矩陣[K](e)

首先給桁架結點位移(或結點力)進行兩種編碼：I.總碼，即在整個分析中，結點位移在結構中統(tǒng)一進行的編碼。II.局部碼，即在單元分析中，給個單元的兩個結點各自的獨立編碼。

(2)由單元貢獻矩陣[K](e)求總體剛度矩陣[K]

總體剛度矩陣[K]的求解就是單元的集成過程，將n個單元貢獻矩陣[K](e)中的元素進行累加。

經(jīng)過上述的桁架結構的結構分析之后，接下來就是用MATLAB語言進行編寫遺傳算法，Matlab程序要實現(xiàn)的5個重要模塊分別為：單元剛度矩陣的求解、單元組裝、節(jié)點位移的求解、單元應力的求解、節(jié)點力的求解[4]。

二、經(jīng)典算例

如圖2所示的結構，各個桿的彈性模量和橫截面積都為已知。試基于MATLAB平臺求解該結構的節(jié)點位移、單元應力以及支反力。這是一個16桿空間桁架，已知桿件截面尺寸相同，材料相同。彈性模量E=2.1×108KN/M2，截面面積A=3cm2。

圖2　十六桿平面桁架

解答：對該問題進行有限元分析的過程如下

(1)結構的離散化與編號

對該結構進行自然離散，節(jié)點編號和單元編號如上圖所示

(2)控制數(shù)據(jù):單元數(shù) 節(jié)點數(shù) 單元類型數(shù) 荷載數(shù)：16,9,1,3

(3)結點坐標及約束信息(結點號，X坐標，Y坐標，Z坐標，X方向約束，Y方向約束，Z方向約束):

1,0,6,8,0,0,0;4,0,0,8,0,0,0;7,4,6,0,1,1,1;2,4,6,8,0,0,0;5,2,3,11,0,0,0;8,4,0,0,1,1,1;3,4,0,8,0,0,0;6,0,6,0,1,1,1;9,0,0,0,1,1,1

(4)單元信息(單元號，單元起始點，單元末端點，單元類型號)

1,1,2,1;5,1,5,1;9,1,6,1;13,4,6,1;2,2,3,1;6,2,5,1;10,2,7,1;14,1,7,1;3,3,4,1;7,3,5,1;11,3,8,1;15,2,8,1;4,4,1,1;8,4,5,1;12,4,9,1;16,3,9,1;

(5)單元類型參數(shù)(類型號，彈性模量，截面積)：1,2.1e+8,0.03，

(6)結點荷載(結點號，荷載作用方向，荷載大小)：3,2,20，4,2,20，5,2,20，

(7)計算結果的整理

通過主程序的運行得計算結果,整理如下

結點位移：(單位：×104m)

X方向位移：1-5號節(jié)點-0.1488E-06，-0.1311E-06，-0.1009E-06，-0.7894E-06，0.1567E-06；7,8,9節(jié)點均為0.

Y方向位移：1-5號節(jié)點分別為0.2098E-05，0.1997E-05，0.2297E-05，0.2110E-05，0.2534E-05；7,8,9節(jié)點均為0；

Z方向位移：1-5號節(jié)點分別為-0.6898E-07，-0.5700E-06，0.5713E-07，0.5763E-06，0.4728E-07；7,8,9節(jié)點均為0.

結點軸力和應力單位：軸力KN;應力×10MPa。

軸力1-16單元桿分別為：3.2398，-24.8701，-3.8998，5.1289，-8.0333，-7.5968，7.6019，8.0298，-5.5038，-44.4898，4.4961，45.5038，-50.4579，0.3998，49.5388，0.3989

應力1-16單元桿分別為：1.0798，-8.2789，-1.1389，1.7098，-2.6788，-2.5337，2.5401，2.6803，-1.7930，-14.8331，1.4991，15.1702，-16.8099，0.1402，16.5141，0.1371

三、結論

通過經(jīng)典十六桿平面桁架案例模型中計算，發(fā)現(xiàn)結構桿件上的位移能夠準確地求解出來，而且精度高，各桿件的軸力和應力大小也在合理的代數(shù)計算值范圍內(nèi)，與已有經(jīng)典算例中的代數(shù)解相符，可以得出本次有限元程序是準確的。在現(xiàn)實中，大部分三維桁架結構更加復雜，可以在本文的基礎上將結構剛度分析在可以繼續(xù)擴展應用于復雜結構設計中，程序編寫上擴大節(jié)點應力搜索范圍，這對于實際工程中有更好的實用性。