聞道君， 陳義安

(重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 重慶 400067)

0 引 言

“線性代數(shù)”是高等院校大學數(shù)學基礎(chǔ)課程之一，而向量是“線性代數(shù)”中的一種簡單的矩陣和基本運算單元。向量與向量之間的各種線性關(guān)系是理解和掌握線性方程組、線性變換和線性空間的關(guān)鍵，也是進一步求解線性模型的基礎(chǔ)理論。然而，對初學者來說，向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)的判定、向量組與行列式、矩陣、線性方程組和矩陣的特征值之間的聯(lián)系既錯綜復(fù)雜，又是重要學習內(nèi)容而無法回避。因此，部分同學在“望題興嘆”之后得出“線性代數(shù)”太抽象和難學的結(jié)論。

另一方面，隨著MOOC等優(yōu)質(zhì)課程資源在大學數(shù)學教學中的廣泛應(yīng)用，在線課程以及在線輔助學習平臺的逐步建設(shè)和推進，學生能夠從在線課程中免費獲取優(yōu)質(zhì)課件和視頻資源，并能從在線討論區(qū)獲得同伴的幫助，解決學習中發(fā)現(xiàn)的疑惑。便利的在線自助和互助學習模式提高了解決疑問時效性，在一定程度上使得教師的功能和重心轉(zhuǎn)移到指導(dǎo)課程學習、歸納總結(jié)和組織探討等方面。鑒于此，筆者結(jié)合多年的教學實踐，從“線性代數(shù)”中的n個n維向量開始，建立一系列與之相關(guān)的等價結(jié)論，將“線性代數(shù)”課程各個章節(jié)的內(nèi)容聯(lián)系起來，從學習者的角度探討和歸納這門課程的基本知識結(jié)構(gòu)；最后，舉例說明這些等價性質(zhì)在求解研究生入學考試題和一些跨章節(jié)的綜合性問題方面的應(yīng)用。這些等價結(jié)論及應(yīng)用是深入理解“線性代數(shù)”的前提，也是在當前混合教學模式的“碎片化”學習之后實現(xiàn)“線性代數(shù)”課程相關(guān)知識點“系統(tǒng)化”的必經(jīng)之路。

1 主要定理

數(shù)域F中n個數(shù)a1，a2，…，an組成的有序數(shù)組稱為數(shù)域F上的n維向量，記為

α=(a1，a2，…，an)T

也稱α為列向量。同時，記向量x=(x1，x2，…，

xn)T，b=(b1，b2，…，bn)T。

定理1 設(shè)α1，α2，…，αn為n個n維列向量，記A=(α1，α2，…，αn)，如果向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)，則下列命題等價：

(1)r(A)=r(α1，α2，…，αn)=n；

(2)|A|≠0；

(4)A可以表示為系列初等矩陣的乘積，即A=P1P2…Ps，其中P1，P2，…，Ps為初等矩陣；

(5)Ax=b存在唯一解x=A-1b；

(6)Ax=0僅有零解；

(7)A的特征值λ≠0；

(8) 對任意n維向量β，向量組α1，α2，…，αn，β線性相關(guān)，且β可由α1，α2，…，αn進行唯一線性表示。

證明(1) 如果α1，α2，…，αn線性無關(guān)，則α1，α2，…，αn為自身的極大無關(guān)組，所含的向量個數(shù)即r(A)=r(α1，α2，…，αn)=n。

(2) 因為r(A)=n，則A中存在一個n階非零子式，即|A|≠0。

(4) 因為A可逆，結(jié)合r(A)=n可得A的行最簡形為E：A?E。由初等變換的可逆性，經(jīng)過有限次初等變換E可變換為A，即

A=P1P2…Ps

其中P1，P2，…，Ps為初等矩陣。

(5) 因為初等矩陣可逆，故A可逆，即A-1存在。由Ax=b可得x=A-1Ax=A-1b，同時，利用|A|≠0和克萊默法則得Ax=b有唯一解。因此，x=A-1b是Ax=b唯一解。

(6) 因為Ax=b存在唯一解，即A-1存在。令b=0可得x=A-10=0，即x=0是Ax=0唯一零解。

(7) (反證法)假設(shè)A存在一個特征值λ=0，且Aβ=λβ=0(β≠0)。

又因為Ax=0存在唯一零解，即β=0，這與特征向量的定義矛盾，故A的特征值λ≠0。

(8) 因為任意n+1個n維向量一定線性相關(guān)，所以向量組α1，α2，…，αn，β線性相關(guān)。

另一方面，設(shè)存在實數(shù)k1，k2，…，kn使得k1α1+k2α2+…+knαn=β，即方程組AK=β，又由定理1的(1)和(6)得：

r(A)=n=r(A|β)

所以存在唯一的K=(k1，k2，…，kn)T滿足ΑΚ=β，即β可由α1，α2，…，αn進行唯一線性表示。

最后，在定理1(8)中包含β=0，即

k1α1+k2α2+…+knαn=0

即方程組ΑΚ=0存在唯一零解，即ki=0。

因此，向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)。

定理2設(shè)α1，α2，…，αn為n個n維列向量，記A=(α1，α2，…，αn)，如果向量組α1，α2，…，αn線性相關(guān)，則下列命題等價：

(1)r(A)=r(α1，α2，…，αn)

(2)|A|=0；

(3)A不可逆；

(4)Ax=0存在非零解；

(5) 如果r(A)=r(A|b)

(6)A至少存在一個特征值λ=0；

(7) 向量組α1，α2，…，αn中至少存在一個向量能由其余向量進行線性表示。

證明由定理1的等價性質(zhì)(1)—性質(zhì)(8)，不難證明定理2中與之對應(yīng)的系列等價性質(zhì)。

2 應(yīng)用舉例

例1(2012年研究生入學考試第5題)設(shè)向量組

(A)α1，α2，α3

(B)α1，α2，α4

(C)α1，α3，α4

(D)α2，α3，α4

解由定理2的性質(zhì)(2)和性質(zhì)(7)，n個n維向量線性相關(guān)的充要條件是|α1，α2，…，αn|=0，且

則對任意的c1，c2，c3，c4，向量組α1，α3，α4必線性相關(guān)，故選(C)。

(A)a?Ω，d?Ω

(B)a?Ω，d∈Ω

(C)a∈Ω，d?Ω

(D)a∈Ω，d∈Ω

解由定理2的性質(zhì)(2)和性質(zhì)(5)，因為Ax=b有無窮多解的充分必要條件為r(A)=r(A|b)

令|A|=(a-1)(a-2)=0，解得a=1或a=2，即a∈Ω。同理，由r(A)=r(A|b)得d∈Ω，故選(D)。

例3設(shè)三階矩陣A，A-E，A+3E均不可逆，計算行列式|A+2E|。

解由定理2中性質(zhì)(3)和性質(zhì)(6)，設(shè)

Aα=λα(α≠0)

至少存在一個特征值λ1=0。因為

(A-E)α=(λ-1)α

所以λ-1是A-E的特征值，至少存在一個λ2=1。

同理，λ+3是A+3E的特征值，至少存在一個λ3=-3。因此，

|A+2E| =(λ1+2)(λ2+2)(λ3+2)=-6

例4設(shè)A為三階矩陣，Aαi=λiαi(αi≠0)，i=1，2，3，且λi為3個不同的特征值。證明A可逆的充要條件是A(α1+α2)，A(α2+α3)，A(α3+α1)線性無關(guān)。

證明由定理1中(2)(3)和(7)，A可逆的充要條件是|A|=λ1λ2λ3≠0。

因為λ1，λ2，λ3互不相同，所以特征向量α1，α2，α3線性無關(guān)，則|α1，α2，α3|≠0，且

(A(α1+α2)，A(α2+α3)，A(α3+α1))=

(λ1α1+λ2α2，λ2α2+λ3α3，λ3α3+λ1α1)=

|A(α1+α2)，A(α2+α3)，A(α3+α1)|≠0

即向量組A(α1+α2)，A(α2+α3)，A(α3+α1)線性無關(guān)。

3 結(jié)束語

從n個n維向量出發(fā)，利用矩陣分塊的方法討論了向量組的線性關(guān)系與行列式的值、矩陣的秩、矩陣的初等變換、線性方程組的解和矩陣的特征值等問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立了關(guān)于n個n維向量的一系列等價性質(zhì)。這些等價性質(zhì)是深入理解“線性代數(shù)”課程各章節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵，也是學習者建構(gòu)自身知識體系的重要內(nèi)容。最后，舉例說明了系統(tǒng)掌握這些等價性結(jié)論在解決一些綜合性的考研試題方面的有效性。

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