姜天一，李華福，蔡武德

(云南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，云南 昆明 650500)

在電磁場(chǎng)問題中，理論上根據(jù)電磁場(chǎng)理論可以解決一切電磁場(chǎng)問題，但在實(shí)際問題中，由于其邊界和邊界條件復(fù)雜等原因，尋求解析解是非常困難的[1]。如均勻帶電圓環(huán)，文獻(xiàn)[2]用橢圓積分的方法導(dǎo)出了帶電圓環(huán)在全空間的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，文獻(xiàn)[3]用庫侖定律求出了電場(chǎng)強(qiáng)度的積分表達(dá)，文獻(xiàn)[4]則利用電場(chǎng)疊加原理導(dǎo)出電場(chǎng)的級(jí)數(shù)解。但無論哪種方法得出的解的表達(dá)都是相當(dāng)復(fù)雜的，這還是均勻帶電圓環(huán)這種規(guī)則形狀的問題，如果圓環(huán)是不完整的或是其他不規(guī)則形狀，用以上3種方法就無法求解了。本文利用MATLAB軟件來得到數(shù)值近似解，計(jì)算這類不規(guī)則帶電體的場(chǎng)強(qiáng)分布。MATLAB簡(jiǎn)單易學(xué)，集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算和圖形可視化三大基本功能于一體[5]。PDE toolbox是基于MATLAB的研究和求解偏微分方程的工具集合，它為二維空間上的偏微分方程的研究與求解提供了強(qiáng)大而靈活的工作環(huán)境[6]。

1 理論基礎(chǔ)

帶電圓環(huán)的電場(chǎng)屬于靜電場(chǎng)問題，靜電場(chǎng)的偏微分方程為Poisson方程[7]:

式中，為電勢(shì)，ρ為電荷密度，ε為介電常數(shù)。

對(duì)于該問題取第一類邊界條件即Dirichlet條件[8]，該條件描述為:

式中，為電勢(shì)，h和r為自定參數(shù)。

2 均勻帶電圓環(huán)場(chǎng)強(qiáng)分布的計(jì)算

文獻(xiàn)[9]給出了極坐標(biāo)系下Poisson方程的有限差分公式，據(jù)此可以用MATLAB編程計(jì)算帶電圓環(huán)的電勢(shì)分布。設(shè)半徑方向和圓周方向的網(wǎng)格均勻劃分，邊界上的電勢(shì)設(shè)為0，圓環(huán)區(qū)域的電荷密度設(shè)為5×10－8C/m2，其余部分設(shè)為0，編程計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

圖1 均勻帶電圓環(huán)的電勢(shì)分布

再用PDE工具箱計(jì)算。在PDE工具箱的GUI里構(gòu)造帶電圓環(huán)的計(jì)算模型，如圖2所示首先畫出兩個(gè)同心圓C1和C2，C1－C2便是帶電圓環(huán)區(qū)域，然后再畫一個(gè)大的同心圓C3作為整個(gè)計(jì)算區(qū)域的邊界。

圖2 模型構(gòu)造

在Options菜單的Application菜單項(xiàng)下選擇Electrostatics(靜電)模式，在 Boundary菜單的Specify Boundary Conditions菜單項(xiàng)下設(shè)置邊界條件為Dirichlet條件，設(shè)h=1，r=0。在PDE菜單下的PDE Specification菜單項(xiàng)里給各區(qū)域設(shè)置參數(shù)，全部區(qū)域的介電常數(shù)ε統(tǒng)一設(shè)為真空中的介電常數(shù)ε0=8.854×10－12F/m，圓環(huán)區(qū)域C1－C2的電荷密度ρ設(shè)為5×10－8C/m2，其余部分設(shè)為0。然后剖分網(wǎng)格并加密后進(jìn)行計(jì)算求解問題，輸出電場(chǎng)強(qiáng)度，繪制等勢(shì)線將電場(chǎng)強(qiáng)度E通過不同顏色的形式來輸出，如圖3所示。

圖3 均勻帶電圓環(huán)電場(chǎng)分布

比較圖1和圖3可以發(fā)現(xiàn)，在圓環(huán)周圍電勢(shì)最高，場(chǎng)強(qiáng)也最大，隨著離開圓環(huán)的距離的增大，電場(chǎng)強(qiáng)度減小，電勢(shì)也逐漸降低。

為了定量分析有限差分法和PDE工具箱的計(jì)算結(jié)果，取一些坐標(biāo)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度值進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

表1 完整圓環(huán)計(jì)算結(jié)果比較

由表1的結(jié)果可以看出，在誤差允許的范圍內(nèi)，有限差分法和PDE工具箱的計(jì)算結(jié)果是一致的，而PDE工具箱無須自己編程，求解結(jié)果高效準(zhǔn)確，可見其功能強(qiáng)大。

文獻(xiàn)[10]給出了均勻帶電圓環(huán)平面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的理論計(jì)算結(jié)果。用其計(jì)算環(huán)心處的場(chǎng)強(qiáng)，得其理論值為E(0)=0。而用PDE工具箱計(jì)算均勻帶電圓環(huán)圓心處的數(shù)值解為7.948×10－5，這個(gè)值非常接近于0，與理論計(jì)算得出的結(jié)果基本上是吻合的。

3 非完整帶電圓環(huán)場(chǎng)強(qiáng)分布的計(jì)算

先利用有限差分法編程計(jì)算非完整帶電圓環(huán)的電勢(shì)分布，結(jié)果如圖4所示。

圖4 非完整帶電圓環(huán)電勢(shì)分布

把圖2中的完整圓環(huán)用矩形切割構(gòu)造成不完整的圓環(huán)，然后用PDE工具箱計(jì)算其場(chǎng)強(qiáng)分布，結(jié)果如圖5所示。

圖5 非完整帶電圓環(huán)電場(chǎng)分布

從圖4和圖5可以明顯看到，當(dāng)改變圓環(huán)的完整性時(shí)，圓環(huán)周圍的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度也跟著發(fā)生了變化，特別是缺失的圓環(huán)部分周圍。

對(duì)于非完整圓環(huán)的兩種計(jì)算結(jié)果，取一些坐標(biāo)點(diǎn)的值進(jìn)行分析，如表2所示?？梢钥闯?，兩種計(jì)算的結(jié)果在誤差范圍內(nèi)是一致的。

表2 非完整圓環(huán)計(jì)算結(jié)果比較

4 結(jié)果分析

從圖5的結(jié)果可以看出，非完整帶電圓環(huán)的電場(chǎng)以圓心至缺口弦的垂線呈軸對(duì)稱分布，圓環(huán)周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度較大，而隨著離圓環(huán)距離增大，電場(chǎng)強(qiáng)度開始逐漸減小，電場(chǎng)亦主要集中在圓環(huán)附近，整個(gè)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)分布是不均勻的，在圓環(huán)兩端處電場(chǎng)最為密集，缺口處較圓環(huán)其他地方電場(chǎng)明顯減弱。

為了定量分析非完整帶電圓環(huán)的場(chǎng)強(qiáng)分布規(guī)律，在水平和豎直方向上選取4組點(diǎn)的數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件的曲線擬合工具箱對(duì)這4組數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，結(jié)果如下。

1)y=0，x＞0射線上數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合結(jié)果如圖6所示。

圖6 y=0，x＞0射線上數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合結(jié)果

擬合公式:

2)y=0，x<0射線上數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合結(jié)果如圖7所示。

圖7 y=0，x<0射線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合結(jié)果

擬合公式:

3)x=0，y＞0射線上數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合結(jié)果如圖8所示。

圖8 x=0，y＞0射線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合結(jié)果

擬合公式:

4)x=0，y<0射線上數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合結(jié)果如圖9所示。

圖9 x=0，y<0射線上數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合結(jié)果

擬合公式:

從圖6可以看出，隨著r的增大，場(chǎng)強(qiáng)先變小，當(dāng)r增大到圓環(huán)半徑處時(shí)，由于圓環(huán)上電荷密度集中分布，場(chǎng)強(qiáng)急劇增大，r繼續(xù)增大遠(yuǎn)離圓環(huán)時(shí)場(chǎng)強(qiáng)又逐漸變小。圖7反映通過缺口的徑向上的場(chǎng)強(qiáng)隨著r的增大先增大再減小。圖8和圖9的變化規(guī)律和圖6類似，同時(shí)它們的擬合曲線幾乎一樣，這正反映了非完整圓環(huán)缺口的對(duì)稱性。

5 結(jié)束語

PDE工具箱的強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算能力能方便地求解不規(guī)則物體的幾何參數(shù)，而且能夠使計(jì)算結(jié)果圖形化，直觀形象。通過對(duì)非完整帶電圓環(huán)的場(chǎng)強(qiáng)分布的計(jì)算，得出非完整帶電圓環(huán)電場(chǎng)分布規(guī)律，為不對(duì)稱電場(chǎng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供參考。

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