辜凌云，張敏，周勛

（1.貴州師范大學 物理與電子科學學院，貴州貴陽 550025；2.貴州大學 大數據與信息工程學院，貴州貴陽 550025）

0 引言

DNA力學性質一直以來都是研究的重點，原因之一是其在生物學行為中發(fā)揮著重要作用，如DNA的復制、轉錄、重組等。長期以來關于DNA性質的研究大多集中于堿基序列的生物化學性質，對物理性質研究較少，導致其力學相關性質認識有所不足。

隨著單分子操縱技術的發(fā)展，實驗上通常利用原子力顯微鏡（AFM）、磁鑷子（MT）、光鑷子（OP）等技術[1-4]對單個DNA分子施加力的作用，測量其物理性質。而相對于實驗，利用計算機從理論上對DNA分子進行模擬，也是表述其性質的有效手段。

DNA分子擁有高曲率是其生物活性的基礎，DNA發(fā)生彎曲在許多生理過程中是不可或缺的一部分，DNA歐拉臨界力作為DNA分子開始發(fā)生彎曲時所需的力，對其進行探究十分有意義。因為DNA分子臨界力與彎折剛度有關，而實驗表明彎折剛度會受溫度影響，當溫度范圍在3℃到53℃時，彎折剛度與溫度之間的關系可以近似表示為g=(3.19×10-19-T·4.14×10-22)erg·cm[5]，所以十分有必要探究溫度對DNA歐拉臨界力的影響。此外根據彈性理論[14]可知，DNA分子歐拉臨界力還與DNA鏈長有關，所以同樣有必要對不同長度下的DNA歐拉臨界力進行研究，但是想要通過實驗直接測量DNA分子彎折力十分困難，而采用計算模擬的方法則能很好的解決這一問題。

通過對理論和實驗結果的分析[6]，我們基于蠕蟲鏈模型（Worm-Like Chain Model）[7]和胡克彈簧模型（Hooke spring model），建立可表征DNA微力學性質的力學模型（圖1），此基礎上考慮DNA分子的彎折和拉伸，利用Monte Carlo方法進行模擬。最終通過模擬，給出不同長度、溫度下的DNA分子力以及臨界力。

1 理論模型及計算方法

1.1 DNA微力學模型

研究通過結合目前的單分子實驗，建立如圖1所示的DNA微力學模型[8]，主要考慮DNA分子彎折能、DNA分子片段彈性能以及彈簧的彈性能，體系總能量表示為：

Et為DNA分子彎折能，利用蠕蟲鏈模型[9]表征。DNA分子每個片段取向矢量為t^i，相鄰片段取向間的夾角為θ，彎折剛度為g，則DNA分子彎折能可以表示為：

對于DNA受溫度影響，這里主要考慮溫度對DNA分子駐留長度的影響，彎折剛度g與DNA駐留長度lp存在關系lp=g/kBTkB為玻爾茲曼常數，T為溫度）[10][11]，代入關系g=(3.19×10-19-T·4.14×10-22)erg·cm[5]，則駐留長度可以表示為，又根據g=lp，b為DNA分子的片段長度，對于長度小于500個堿基對的DNA分子，b約為1nm，即g=lp，可以得到：

b為DNA分子片段的總彈性能，每個片段原長度為bnm，改變分子構象后，片段的長度變?yōu)閎inm，DNA分子彈性能可表示為：

k1為雙鏈DNA分子片段的彈性模量[12]，約為1200pN/nm。

El為連接在DNA分子首末兩端的彈簧所具有的的彈性能，如圖1所示，彈簧原長度為l0，〈R〉k1為DNA分子構象的首末端距，彈簧的彈性能可表示為：

k2為限制彈簧的彈性模量[12]，約為1200pN/nm。

圖1 DNA微力學模型示意圖

圖2 構象變化方法

1.2 Monte Carlo模擬[13]及Metropolis判據

在模擬過程中，產生DNA分子新構象的方法如圖2所示，圖2中為DNA分子鏈中的部分片段，模擬中隨機選取DNA鏈上的點（M或N）沿著xyz方向進行擾動產生新的DNA分子構象，擾動的幅度由模擬產生的隨機數進行控制。

抽樣過程采用了Metropolis判據，將原構象能量Eold與新構象能量Enew進行對比。若新構象能量小于原構象能量（Enew＜Eold），則新構象完全被接受（p=1）；若新構象能量大于原構象能量（Enew＞Eold），則將計算其概率p=exp[(Eold-Enew)/kBT]，并與隨機數χ(0～1)進行比較，若p＜χ則被接受，反之不接受，其目的是為了使模擬能夠遍歷所有可能情況。

2 結果與討論

2.1 DNA分子力隨鏈長變化

常溫下，DNA駐留長度lp為50nm，根據彈性理論[14]，可以由公式fcr=π2E/L2計算其理論臨界力大小，其中E為彈性模量，I為轉動慣量，L為長度。對DNA分子鏈，可以將其視為彈性桿[15]，即EI=lpkBT，理論上DNA分子鏈的歐拉臨界力可以表示為：

模擬得到的DNA鏈的分子力則可以通過如圖1所示，連接在其兩端的彈簧所受力來表征。模擬過程中不斷改變彈簧的長度，當彈簧長度接近DNA分子長度，即彈簧長度與DNA鏈長比值接近1時，力會出現轉變，轉變點的力即為該長度DNA分子的歐拉臨界力，彈簧力可以表示為：

〈R〉為DNA分子鏈的首末端距，k2為彈簧的彈性模量，l0為彈簧的原長度。

基于上述理論，我們分別對長度為5 nm、9 nm、12 nm、15 nm、20 nm的DNA進行模擬，通過改變彈簧的長度，得到對應的歐拉臨界力。將臨界力的理論值與模擬值比較，得到表1的結果，其模擬值與理論值非常接近，說明模擬工作是可靠的。

表1 不同長度DNA歐拉臨界力理論值與模擬值對比

2.2 溫度對臨界力的影響

對于DNA受溫度的影響，主要由式（3）中彎折剛度與溫度的關系體現。如圖4，是DNA長度為9nm時，連接在其兩端的彈簧所受力隨溫度的變化情況，曲線從上至下分別為10℃、20℃、30℃、40℃、50℃。從圖中可以看出，溫度越高，DNA分子受力越小，其轉折處對應的歐拉臨界力也越小。

圖4 溫度對9 nmDNA分子力的影響

圖5 不同長度下溫度對DNA歐拉臨界力的影響

圖5為不同長度的DNA，其歐拉臨界力隨溫度的變化情況，從上至下其長度依次對應9 nm、15 nm、20 nm。結果顯示隨著溫度升高，歐拉臨界力都呈現出逐漸減小趨勢，并且DNA鏈長度越長，臨界力波動越小，折線更加平滑，說明長度越長DNA分子歐拉臨界力受溫度影響越小。

3 結論

模擬結果顯示，基于蠕蟲鏈模型和胡克彈簧模型搭建的DNA微力學模型能夠有效表征DNA的力學性質，得到的模擬值與理論值符合良好,說明DNA分子具備與彈性桿相類似的力學性質，可以用彈性理論進行解釋。通過對不同溫度下的DNA分子力進行模擬，結果顯示隨著溫度升高，DNA分子力下降，不同長度下的所對應的DNA歐拉臨界力均呈現減小的趨勢，并且長度越短受溫度影響越明顯。

[1]Binnig G, Quate C F, Gerber C. Atomic force microscope[J]. Physical review letters, 1986, 56(9): 930.

[2]Gosse C, Croquette V. Magnetic tweezers: micromanipulation and force measurement at the molecular level[J]. Biophysical journal, 2002,82(6): 3314-3329.

[3]Wang M D, Yin H, Landick R, et al. Stretching DNA with optical tweezers[J]. Biophysical journal, 1997, 72(3): 1335-1346.

[4]Neuman K C, Nagy A. Single-molecule force spectroscopy: optical tweezers, magnetic tweezers and atomic force microscopy[J]. Nature methods, 2008, 5(6): 491.

[5]Geggier S, Kotlyar A, Vologodskii A. Temperature dependence of DNA persistence length[J]. Nucleic acids research, 2010, 39(4): 1419-1426.

[6]Shroff H, Reinhard B M, Siu M, et al. Biocompatible force sensor with optical readout and dimensions of 6 nm3[J]. Nano letters, 2005, 5(7):1509-1514.

[7]Flory P J, Volkenstein M. Statistical mechanics of chain molecules[J].Physics Today, 1970, 23(5):71-71.

[8]劉艷輝. 微環(huán) DNA 微力學, 拓撲性質及 DNA 凝聚機制研究[D].貴州大學, 2009.

[9]Colby R H, Rubinstein M. Polymer physics[J]. New-York: Oxford University, 2003: 274-281.

[9]De Groot S R, De Groot S R. Thermodynamics of irreversible processes[M]. Amsterdam: North-Holland, 1951.

[10]Schellman J A. Flexibility of DNA[J]. Biopolymers, 1974, 13(1): 217-226.

[11]Cocco S, Marko J F, Monasson R. Theoretical models for singlemolecule DNA and RNA experiments: from elasticity to unzipping[J].Comptes Rendus Physique, 2002, 3(5): 569-584.

[12]劉艷輝, 胡林. DNA 微環(huán)拓撲性質的 Monte Carlo 模擬[J]. 計算物理, 2009, 26(1): 152-158.

[13]Timoshenko S. Theory of Elastic Stability[M]. Tata McGraw-Hill Education, 1970.

[14]Hinner B, Tempel M, Sackmann E, et al. Entanglement, elasticity, and viscous relaxation of actin solutions[J]. Physical Review Letters, 1998,81(12): 2614.