卜銀坤

(北京航天動力研究所 北京航天石化技術(shù)裝備工程公司, 北京 100076)

一元等熵恒定氣流，是指一定質(zhì)量的可壓縮理想氣體在單一方向上無摩擦損失的絕熱流動。一元等熵恒定氣流理論的特征方程，主要有連續(xù)方程、運(yùn)動方程、狀態(tài)方程、能量守恒方程和動量守恒方程，這些方程的特性參數(shù)之間存在固有的動力函數(shù)關(guān)系，按這種函數(shù)關(guān)系代入不同的數(shù)據(jù)，將結(jié)果列成表格，即構(gòu)成氣體動力函數(shù)表，可為工程設(shè)計提供重要參考。由于一些書本和資料中對這些方程的來歷介紹得不夠連續(xù)、透徹，邏輯關(guān)系交待不清，有的只給出了結(jié)論，連單位都沒有給出，使學(xué)習(xí)和使用都極為不便，因此，本文追溯和解讀了這些方程的來歷、適用條件及有關(guān)參數(shù)的單位，以便大家能正確靈活地應(yīng)用這些公式，創(chuàng)新性地解決航天、航空、節(jié)能環(huán)保等領(lǐng)域中的現(xiàn)實(shí)問題。

1 狀態(tài)方程

(1)

等熵恒定流動氣體的各種狀態(tài)，必須同時符合理想氣體在任何情況下的門捷列夫·克拉珀龍方程，即必須遵守壓力、體積、溫度間的不變關(guān)系：

(2)

絕熱是等熵流動的必要條件，氣體在絕熱流動過程中，式(2)中的p、V、T既是自變量又是因變量，即p=φ(T,V)，V=Ψ(T,p)，T=f(V,p)。式(2)兩邊對變量T進(jìn)行一階全偏導(dǎo)，寫成微分方程為

(3)

(4)

2 運(yùn)動方程和能量守恒方程

一元等熵氣流的能量守恒方程，實(shí)際上是可壓縮氣體在單一方向上無摩擦損失的絕熱流動中公認(rèn)的伯努利方程。

眾所周知，一元恒定流動、無黏滯性理想流體的運(yùn)動方程，即為基于牛頓第二定律的歐拉公式[2]，它既適合不可壓縮流體，也適合可壓縮流體，忽略重力后為

(5)

由式(4)得可壓縮氣體在等熵流動過程中，

(6)

應(yīng)用微分、積分的概念，將式(6)作如下變換

(7)

將式(7)代入式(5)并積分得：

(8)

在式(5)和式(8)中，v為氣體的流動速度，m·s-1；C2為恒量。因?yàn)槭?4)的變換代入，所以，式(8)是所有可壓縮流體的能量守恒方程。因?yàn)樾问缴项愅Ｒ?guī)不可壓縮流體的伯努利方程，所以，式(8)也稱一元等熵恒定氣流的伯努利方程。

由熱力學(xué)[3]可知， 1 mol氣體在溫度為T時的焓值H，實(shí)際上是熱力學(xué)能U(U=CV,mT)和流動方向上所具有的推進(jìn)功RT(pV=RT)的和，即

將該式代入式(8)，即得：

(9)

其中，C3為恒量。應(yīng)當(dāng)說，式(9)是一元等熵恒定氣流能量守恒方程的熱力學(xué)表達(dá)式，說明氣體在絕熱無外力做功的特定情況下，動能的增加量等于氣體焓值的減少量。因?yàn)殪手档淖兓馕吨鴾囟仍谧兓?，所以?9)揭示了可壓縮氣體流動速度會改變其溫度的事實(shí)，也正是這個原因，雖然在數(shù)值上C3=C2，但是二者的物理意義卻大不相同，C3具有深刻的物理內(nèi)涵，而C2不過是一個簡單的積分常數(shù)。因此，可壓縮氣體與不可壓縮流體在流動過程中的顯著區(qū)別在于，前者溫度隨著速度的增加而減小，或隨著速度的減小而增加；而后者的溫度，除了對外界進(jìn)行熱交換外則是恒定的。

3 一元等熵恒定氣流能量轉(zhuǎn)換的特點(diǎn)

為說明一元等熵恒定氣流能量轉(zhuǎn)換的特點(diǎn)，首先了解不可壓縮的理想流體，在不計重力，且初始位置為滯止?fàn)顟B(tài)的伯努利方程[4]或能量守恒方程，即

(10)

即

(11)

又因?yàn)?/p>

(12)

將式(11)兩邊分別除以式(12)可得：

表1 一元等熵恒定空氣流動時，不同馬赫數(shù) 對應(yīng)的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)Tab.1 Energy conversion coefficient δy at different Ma for the one-dimensional isentropic constant airflow

比較式(13)和式(10)，或分析表1的數(shù)據(jù)不難看出：與不可壓縮流體不同的是，一元等熵恒定氣流的壓力轉(zhuǎn)換為動能的本領(lǐng)隨著馬赫數(shù)的增加而減小，這是可壓縮氣體和不可壓縮流體在流動過程中的另一顯著區(qū)別。當(dāng)Ma<0.3時，如果將可壓縮氣體視為不可壓縮流體計算，則與Ma趨近于零時的流態(tài)比較，計算出壓力轉(zhuǎn)變?yōu)閯幽艿闹禃黾?.022 5-1=2.25%，顯然，Ma越大，能量轉(zhuǎn)換的效率就越低。

4 連續(xù)方程及速度對流動參數(shù)的影響

氣體在管內(nèi)作恒定流動，是典型的一元恒定管流，根據(jù)物質(zhì)不滅定律，最能被接受的流動連續(xù)方程為

qm=ρvS=ρΔV

(14)

其中，qm為氣體流動的質(zhì)量流量，恒定流動時，qm為恒量， kg·s-1；S為氣體流通的截面積，即與流速v和密度ρ對應(yīng)的流通截面積，m2；ΔV為單位時間內(nèi)流過截面S的氣體體積，m3。

對式(14)兩邊取對數(shù)得lnqm=lnρ+ln(ΔV)，兩邊全微分得：

(15)

(16)

將式(16)代入式(15)得到密度的相對變化為

(17)

則動能相對變化為

(18)

5 一元等熵恒定氣流的動力函數(shù)關(guān)系

設(shè)一元等熵恒定氣流初始位置的滯止壓力、密度、溫度、聲速分別為p0、ρ0、T0、u0，流動到任何一個位置的動態(tài)壓力、密度、溫度、聲速分別為p、ρ、T、u，臨界位置對應(yīng)的壓力、密度、溫度、聲速分別為p?、ρ?、T?、u?。按有關(guān)理論方程推導(dǎo)出兩個位置相應(yīng)參數(shù)之間的比值與馬赫數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，即氣體動力函數(shù)關(guān)系如表2所列。表2中的函數(shù)關(guān)系是一元等熵恒定氣流中，各動、靜相應(yīng)參數(shù)比值與馬赫數(shù)之間固有的函數(shù)關(guān)系。按照表2的氣體動力函數(shù)關(guān)系原則制作的氣體動力函數(shù)表，可供產(chǎn)品或工程設(shè)計時查表使用。若要避免插入法查表帶來的麻煩和精確性差的問題，可以直接采用表2中的動力函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行計算。

(19)

表2 一元等熵恒定氣流不同位置的動態(tài)參數(shù)與滯止參數(shù)之比同Ma或λ的函數(shù)關(guān)系Tab.2 Functions between ratios of dynamic parameters at different positions to hysteresis parameters and Ma or λ in one-dimensional constant isentropic airflow

表3 幾種特殊情況下Ma與λ之間的數(shù)值關(guān)系Tab.3 Numerical relationship between Ma and λ in several special cases

值得指出的是，因?yàn)闅饬鞯乃俣认禂?shù)λ是相對臨界聲速的，所以按λ計算得到的數(shù)值均為臨界值，對此，設(shè)計時應(yīng)根據(jù)存在的摩擦、散熱、泄漏等不可逆因素做適當(dāng)修正，尤其在設(shè)計用常溫空氣引射1 000 ℃高溫?zé)煔獾囊淦鲿r，應(yīng)當(dāng)格外謹(jǐn)慎，否則設(shè)計將是失敗的。

6 動量守恒方程

一元等熵恒定氣流的動量守恒方程，是指氣流兩個關(guān)鍵流通截面之間，氣流質(zhì)點(diǎn)系所受外力與其機(jī)械運(yùn)動量在同一方向上的平衡關(guān)系，借此關(guān)系可求解維持氣流設(shè)計的流動參數(shù)所必須提供的外力。值得提醒的是，用于產(chǎn)品或工程設(shè)計時，必須考慮一定程度的摩擦、擾動、散熱、泄漏等不可逆因素對流速的影響。例如，在負(fù)壓吸氣式高溫?zé)煔庖淦鞯膭恿渴睾惴匠蘙6-7]中，對工作氣體和引射高溫?zé)煔猓仨氂嬋胄∮?的速度系數(shù)φ；對混合氣體，必須考慮速度的不均勻系數(shù)Ψ；對氣流的高溫段和次高溫段，必須考慮一定的散熱影響系數(shù)τ。

7 結(jié)束語

1) 一元等熵恒定氣流的流動特性不同于不可壓縮流體，除了前者密度是可變的而后者密度是恒定的以外，最大的區(qū)別有兩點(diǎn)：

二是在流動過程中壓力轉(zhuǎn)變成的動能，前者小于后者，二者的偏差隨著速度的增加而增大。

理論計算表明：將一元等熵恒定氣流按不可壓縮流體計算，得到的速度會偏大，偏差將隨著Ma的增加而增加；當(dāng)Ma<0.3時，按不可壓縮流體計算，會造成動能偏高約2.25%，速度偏高約1.2%，體積偏大約0.15%，密度偏低約0.15%，各項(xiàng)偏差均在工程設(shè)計的允許范圍內(nèi)，因此，可以將可壓縮氣體當(dāng)作不可壓縮流體來計算，這樣可以大大降低計算的復(fù)雜性。

2) 一元等熵恒定氣流過程中，能量的轉(zhuǎn)換效率隨著Ma的增加而減少，而Ma又是氣流設(shè)計中的重要參數(shù)，因此，需要慎重、有據(jù)、科學(xué)地確認(rèn)Ma值。

3) 一元等熵恒定氣流的狀態(tài)有3種：滯止?fàn)顟B(tài)是速度v=0時的狀態(tài)，對應(yīng)參數(shù)稱為滯止參數(shù)，是狀態(tài)參數(shù)中數(shù)值最大的；動態(tài)是v≠0時的狀態(tài)，對應(yīng)參數(shù)稱為動態(tài)參數(shù)，因?yàn)閯討B(tài)是常態(tài)，所以可以直接稱為狀態(tài)參數(shù)；臨界狀態(tài)是速度與當(dāng)?shù)芈曀傧嗟葧r的狀態(tài)，是動態(tài)中的特例，即v=u或v?=u?時的狀態(tài)，相應(yīng)參數(shù)即為臨界參數(shù)。

4) 應(yīng)用一元等熵恒定氣流的相關(guān)理論進(jìn)行產(chǎn)品設(shè)計時，必須首先滿足或基本滿足絕熱良好、阻力較小的流動環(huán)境，確保流動可以近似為等熵過程，否則再精確的設(shè)計也是有問題的。

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[5]中國礦業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室編. 數(shù)學(xué)手冊 [M]. 2版. 北京: 科學(xué)出版社, 1980: 14; 78-97.(Mathematics Teaching and Research Room of China Mining Institute. Mathematics Manual [M]. 2nd ed. Beijing: Science Press, 1980: 14; 78-97.)

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