房云飛，王洪雁，裴炳南

(大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622)

0 引言

波達(dá)方向(Direction of Arrival，DOA)估計(jì)是陣列信號處理中的重要研究內(nèi)容之一，在雷達(dá)、聲納、移動通信、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-2]。自20世紀(jì)60年代以來，研究者們提出了大量有效的DOA估計(jì)算法，主要有最小方差譜估計(jì)法[3](Minimum Variance Distortionless Response，MVDR)和以多重信號分類(Multiple Signal Classification，MUSIC)為代表的子空間算法[4]。上述DOA估計(jì)算法皆基于如下假設(shè)：信源不相關(guān)，快拍數(shù)量足夠多，且信噪比(Signal Noise Ratio，SNR)足夠大。若快拍數(shù)量少、信噪比較低，這些算法性能將明顯下降，尤其在信源相關(guān)情況下，由于信號協(xié)方差矩陣會出現(xiàn)秩虧現(xiàn)象，導(dǎo)致這些算法估計(jì)精確度更低。

近年來，信號處理領(lǐng)域中提出的壓縮感知(Compressing Sensing，CS)理論[5-6]吸引了研究人員的極大關(guān)注，已廣泛應(yīng)用于圖像處理[7]和無線通信[1]等諸多領(lǐng)域。針對陣列DOA估計(jì)運(yùn)算量較大的問題，基于CS理論，Liang G等人利用目標(biāo)空域稀疏特性，提出一種稀疏恢復(fù)l1-SVD算法[8]。在已知信源數(shù)量條件下，即使信源信號相關(guān)，該算法都將得到DOA的高精度估計(jì)。然而，在沒有信源數(shù)量先驗(yàn)信息情況下，該算法性能會明顯下降。針對此問題，Cotter把多快拍和匹配追蹤算法(MP)相結(jié)合，提高了DOA估計(jì)性能[9]。為進(jìn)一步提高DOA估計(jì)的分辨率和精確度，Gorodnitsky和Rao提出把欠定系統(tǒng)聚焦求解(Focal Underdetermined System Solver，F(xiàn)OCUSS)算法和lp懲罰函數(shù)結(jié)合對DOA進(jìn)行估計(jì)，其中p<1[10-11]。此外，為了避免接收信號協(xié)方差矩陣求解產(chǎn)生奇異值的缺陷，文獻(xiàn)[12]提出一種通過迭代和閾值轉(zhuǎn)換的DOA估計(jì)方法。文獻(xiàn)[13]則采用奇異值分解欠定系統(tǒng)聚焦求解(Singular Value Decomposition-regularized Multi-vectors Focal Undetermined System Solver，SVD-RMFOCUSS)算法實(shí)現(xiàn)DOA高分辨率估計(jì)，然而由于此算法基于陣元域，導(dǎo)致SVD-RMFOCUSS算法計(jì)算復(fù)雜度比較高。文獻(xiàn)[14]基于波束域采用Dantzig Selector算法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，減少了算法的計(jì)算復(fù)雜度。然而，Dantzig Selector算法的DOA估計(jì)譜峰較寬，不利于角度高分辨。針對上述問題，本文提出基于波束域的多測量矢量欠定系統(tǒng)正則化聚焦求解(Beamspace-regularized Multi-vectors Focal Undetermined System Solver，BS-RMFOCUSS)算法。

1 稀疏波達(dá)方向角估計(jì)模型

(1)

式(1)中，a(θk)表示來波方向θk的M×1維陣列導(dǎo)向矢量，且a(θk)=[1，exp(-jα)，…，exp(-j(M-1)α)]T，α=2πdsin(θk)/λ表示均勻線性陣列平面內(nèi)各陣元之間的第k條信號到達(dá)此陣元時的相移，w(t)表示疊加在陣列接收回波中的M×1維噪聲矢量。

為了便于推導(dǎo)，式(1)可重新表示為：

x(t)=As(t)+w(t)

(2)

式(2)中，A=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θk)]是陣列流型矩陣，s(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sk(t)]T是K×1維信號矢量。

由上述分析，可得過完備陣列流型矩陣，即過完備稀疏基，則每個可能來波信號對應(yīng)導(dǎo)向矢量可表示為：

(3)

定義NS×1信號稀疏矢量：

(4)

基于式(3)和式(4)，式(2)可重新表示為：

x(t)=Ψz(t)+w(t)

(5)

由此，將接收信號x(t)投影至投影測量矩陣Φ，可得：

y(t)=Φx(t)=ΦΨz(t)+Φw(t)

(6)

對于多次快拍(數(shù)量為N)，上式可表示為：

Y=ΦX=ΦΨΖ+ΦW=ΘZ+ΦW

(7)

由式(7)可知，上述算法基于陣元域建立接收信號模型，在采用稀疏重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)的同時，也會導(dǎo)致算法計(jì)算量大、估計(jì)穩(wěn)定性差等問題，實(shí)施性比較差。

2 波束域RMFOCUSS重構(gòu)算法

為進(jìn)一步降低DOA估計(jì)算法的運(yùn)算復(fù)雜度，本文提出一種波束域欠定系統(tǒng)聚焦求解(BS-RMFOCUSS)算法，通過波束轉(zhuǎn)換矩陣T將陣列接收到的信號從陣元域映射到波束域，即：

yB(t)=THΦx(t)=ΦBΨz(t)+ΦBw(t)

(8)

式(8)中，T為M×NB的波束形成矩陣，滿足THT=INB，NB為波束數(shù)量，ΦB=THΦ。由文獻(xiàn)[15]可知，T可表示為：

(9)

式(9)中m為波束形成矩陣的始端點(diǎn)。

對于多次快拍，式重寫為：

YB(t)=THΦX(t)=ΦBΨZ(t)+ΦBW(t)=

ΘZ(t)+ΦBW(t)

(10)

式(10)中，Θ=ΦBΨ表示波束域下的感知矩陣。

由上式知，基于壓縮感知的波束域DOA估計(jì)優(yōu)化問題可表示如下：

minJ(p，q)(Z) s.t.‖YB-ΘΖ‖F(xiàn)≤ε

(11)

上述優(yōu)化問題可采用拉格朗日乘子法進(jìn)行求解[11]，即：

(12)

式(12)中，γ為平衡估計(jì)誤差與稀疏性的參數(shù)，可根據(jù)修正l曲線法[16]預(yù)先選取最優(yōu)γ值，其在一定信噪比范圍內(nèi)變化較小。

式(12)可通過DOA近似重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)求解，本文通過RMFOCUSS算法對優(yōu)化模型(12)中的稀疏信號z進(jìn)行估計(jì)，具體實(shí)現(xiàn)步驟描述如下：

3) 信號矢量Zk+1=Wk+1Qk+1；

由上可得信號z的近似稀疏逼近，進(jìn)一步可得BS-RMFOCUSS算法的譜估計(jì)公式：

P(θi)=‖z(i，∶)‖2

(13)

3 實(shí)驗(yàn)仿真及分析

基于非相干、相干信號及遠(yuǎn)近目標(biāo)模型，本節(jié)通過與傳統(tǒng)的CAPON、MUSIC算法進(jìn)行對比，驗(yàn)證BS-RMFOCUSS算法有效性。仿真條件如下：均勻線性陣列陣元個數(shù)M=12，信號快拍數(shù)為N=50；從-180°到180°以1°為間隔將目標(biāo)角度空間劃分為361，即網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量為361；考慮到目標(biāo)角度范圍，波束數(shù)取NB=8。目標(biāo)信號采用零均值、方差為1的復(fù)高斯隨機(jī)信號，目標(biāo)信號與加性復(fù)高斯噪聲互不相關(guān)。采用均方根誤差作為算法性能指標(biāo)，其中均方根誤差定義為：

(14)

實(shí)驗(yàn)1考慮兩個入射角度分別為10°和15°的非相干信號，信噪比為10 dB，進(jìn)行20次獨(dú)立蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。圖1為采用CAPON算法、MUSIC算法和BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計(jì)輸出對比。從圖1可以看出，在兩個非相干信號角度間隔為5°時，各算法均能正確分辨出兩個目標(biāo)角度，且具有相近的估計(jì)性能，需要注意的是，本文提出的BS-RMFOCUSS算法比CAPON算法、MUSIC算法空域譜估計(jì)輸出具有更窄的主峰和更低的旁瓣，因而具有更好的角度分辨力及估計(jì)精度。

實(shí)驗(yàn)2考慮兩個入射角度分別為10°和12°的鄰近非相干信號，信噪比為10 dB，進(jìn)行20次獨(dú)立蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。圖2為采用CAPON算法、MUSIC算法和BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計(jì)輸出對比。從圖2可以看出，在兩個鄰近非相干信號角度間隔為2°時，BS-RMFOCUSS算法能夠?qū)︵徑繕?biāo)實(shí)現(xiàn)有效估計(jì)，且具有較窄的主瓣，而CAPON算法和MUSIC算法無法分辨兩個鄰近信號。圖2表明，在波束域下，BS-RMFOCUSS算法同樣具有更高的分辨能力。

實(shí)驗(yàn)3考慮兩個入射角度分別為10°和15°的非相干信號，信噪比為-10 dB，進(jìn)行20次獨(dú)立蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。圖3為采用CAPON算法、MUSIC算法和BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計(jì)輸出對比。從圖3可以看出，在低信噪比條件下，僅有BS-RMFOCUSS算法能夠成功分辨兩個信號，而CAPON算法和MUSIC算法只呈現(xiàn)出一個誤估的譜峰，無法分辨兩個信號。圖3表明基于波束域的BS-RMFOCUSS算法在低信噪比的情況下同樣具有較好的分辨能力。

實(shí)驗(yàn)4考慮兩個入射角度分別為10°和15°的非相干信號，信噪比為10 dB，進(jìn)行20次獨(dú)立蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。圖4為采用CAPON算法、MUSIC算法和BS-RMFOCUSS算法的DOA估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化關(guān)系曲線。從圖4可以看出，BS-RMFOCUSS算法在低信噪比條件下的均方根誤差曲線略低于CAPON和MUSIC方法，且隨著信噪比的增大，各算法的均方根誤差曲線均趨向于平穩(wěn)狀態(tài)。

實(shí)驗(yàn)5考慮兩個入射角度分別為10°和20°的相干信號，信噪比為10 dB，進(jìn)行20次獨(dú)立蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。圖5為采用CAPON算法、MUSIC算法和BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計(jì)輸出對比。從圖5可以看出，CAPON算法和MUSIC算法在相干信號情況下，不能對兩個相干信號進(jìn)行精確有效的估計(jì)，且兩種算法的旁瓣相對較高，而BS-RMFOCUSS算法不僅可分辨兩個相干信號，且具有更窄主瓣。圖5表明波束域BS-RMFOCUSS算法在信號相干的情況下同樣具有較高的角度估計(jì)精度和較好的角度分辨能力。

實(shí)驗(yàn)6為進(jìn)一步驗(yàn)證所提算法復(fù)雜度優(yōu)勢，本文與基于陣元域的RMFOCUSS算法進(jìn)行對比?？紤]到實(shí)際情況，基于陣元域RMFOCUSS算法復(fù)雜度近似為O(2MS2+MLS2+M3(M-1)(M-2))，BS-RMFOCUSS算法復(fù)雜度近似為O(2MS2+MLS2+2NML+N3(N-1)(N-2))，其中M為陣元數(shù)，S為稀疏字典個數(shù)，L為快拍數(shù)，N為波束數(shù)。實(shí)驗(yàn)仿真取S=361，L=200，N=8。從圖6可以看出，當(dāng)陣元數(shù)量較小時，兩種算法的運(yùn)算復(fù)雜度近似相同。但是，隨著陣元數(shù)量的不斷增大，陣元域RMFOCUSS算法的運(yùn)算復(fù)雜度呈指數(shù)上升趨勢，而本文所提算法在復(fù)雜度增長率上遠(yuǎn)低于陣元域RMFOCUSS算法。由此可知，與基于陣元域的RMFOCUSS算法相比，所提算法具有較低計(jì)算復(fù)雜度和較好的算法運(yùn)算性能。

4 結(jié)論

本文提出了基于波束域的多測量矢量欠定系統(tǒng)正則化聚焦求解(BS-RMFOCUSS)算法。該算法利用低旁瓣的波束形成器，將目標(biāo)壓縮信號從陣元域映射到波束域，避免了傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法采樣數(shù)據(jù)量大導(dǎo)致較大計(jì)算復(fù)雜度的問題。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的Capon及MUSIC算法相比，所提算法在低信噪比及相干信號條件下，具有較好的DOA估計(jì)精度；與基于陣元域的RMFOCUSS算法相比，所提算法具有較低計(jì)算復(fù)雜度。

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