李子豐，鄭義清

(1.燕山大學(xué)石油工程研究所，河北秦皇島 066004；2.中國石油華北油田分公司第三采油廠，河北河間 062450)

關(guān)于Karl Terzaghi提出的有效應(yīng)力計算公式(文中簡稱Terzaghi公式)是否精確[1-9]、能否僅用巖石孔隙度關(guān)聯(lián)巖石孔隙膨脹系數(shù)與巖石骨架壓縮系數(shù)[10-26]，國內(nèi)多位專家對此進行了大量的探討，但沒有一個明確的結(jié)論。同時，在研究巖石的外觀體積、孔隙度和滲透率隨孔隙壓力和環(huán)境壓力的變化規(guī)律時，既不可假設(shè)基質(zhì)巖石顆粒尺寸不可壓縮(即不可假設(shè)基質(zhì)巖石顆粒為剛性)，也不可假設(shè)基質(zhì)巖石顆粒體積不可壓縮(即不可假設(shè)基質(zhì)巖石顆粒可變形但體積不變)，還不可假設(shè)基質(zhì)巖石顆粒與孔隙等比例變形，否則計算結(jié)果將會出現(xiàn)很大誤差，甚至得出荒謬的結(jié)論。為了解決上述問題，避免認(rèn)識混亂以更好地表征油藏中巖石體積脹縮、孔隙體積脹縮和滲透率增減等特性，筆者對Terzaghi公式存在的問題進行了分析，并總結(jié)了僅用巖石孔隙度關(guān)聯(lián)巖石孔隙鼓脹系數(shù)與巖石骨架壓縮系數(shù)的討論情況，認(rèn)為產(chǎn)生爭論和錯誤認(rèn)識的關(guān)鍵問題是概念混亂以及對工程、力學(xué)和數(shù)學(xué)問題認(rèn)識不清。為此，提出了巖石鼓脹系數(shù)、巖石孔隙鼓脹系數(shù)、巖石滲透率鼓增系數(shù)、巖石壓縮系數(shù)、巖石孔隙壓縮系數(shù)和巖石滲透率壓減系數(shù)等6個概念，并給出了其物理意義及表達(dá)式，以糾正以往文獻(xiàn)中的概念和公式錯誤。

1 主要問題的討論綜述

1.1 關(guān)于Terzaghi公式的討論

Karl Terzaghi是第一個提出土力學(xué)有效應(yīng)力概念的人，并給出了計算公式[27]：

σz=σb-pp

(1)

式中：σz為有效壓應(yīng)力，Pa；σb為地層壓應(yīng)力(即上覆巖層壓力)，Pa；pp為孔隙流體壓力，Pa。

文獻(xiàn)[1-5]論證了應(yīng)用于多孔介質(zhì)的 Terzaghi公式是錯誤的。原因是，如果式(1)成立，則孔隙流體壓力的作用面積應(yīng)該是100%，沒有巖石骨架存在；沒有巖石骨架存在，也就沒有巖石了。巖石孔隙內(nèi)有液體壓力，有骨架壓應(yīng)力，共同承受上覆巖層壓力。三者的關(guān)系應(yīng)該為[1-3，5]：

σb=φpp+(1-φ)σs

(2)

式中：φ為巖石的孔隙度；σs為巖石骨架(基巖)內(nèi)部的壓應(yīng)力，Pa。

文獻(xiàn)[7]指出，在文獻(xiàn)[1-3]發(fā)表以前有些文獻(xiàn)就使用過式(2)，并認(rèn)為1982年蘇聯(lián)學(xué)者提出并被學(xué)術(shù)界廣泛使用的巖石有效應(yīng)力計算公式才是正確的：

(3)

文獻(xiàn)[8-11]的巖石有效應(yīng)力計算公式中也有σb-pp項，因而也是錯誤的。

1.2 關(guān)于僅用巖石孔隙度關(guān)聯(lián)巖石孔隙鼓脹系數(shù)與巖石骨架壓縮系數(shù)的討論

文獻(xiàn)[12]試圖先用巖石骨架的材料力學(xué)性質(zhì)計算巖石骨架壓縮系數(shù)，然后用巖石骨架壓縮系數(shù)和巖石孔隙度計算巖石壓縮系數(shù)(應(yīng)為巖石孔隙鼓脹系數(shù)，作者注)，以期用測量巖石骨架的材料力學(xué)性質(zhì)來取代測量巖石壓縮系數(shù)(應(yīng)為巖石孔隙鼓脹系數(shù)，作者注)。其主要推導(dǎo)過程如下。

巖石外觀體積等于巖石骨架體積與巖石孔隙體積之和，即：

Vb=Vp+Vs

(4)

式中：Vb為巖石外觀體積，m3；Vp為巖石孔隙體積，m3；Vs為巖石骨架體積，m3。

定義巖石壓縮系數(shù)(應(yīng)為巖石孔隙鼓脹系數(shù)，作者注)為：圍壓為常數(shù)，孔隙壓力增加一個單位壓力時孔隙體積的變化率，其表達(dá)式為：

(5)

式中：Cp為巖石壓縮系數(shù)(應(yīng)為巖石孔隙鼓脹系數(shù)，作者注)，Pa-1。

巖石壓縮系數(shù)之所以應(yīng)為巖石孔隙鼓脹系數(shù)，是因為隨著巖石孔隙壓力的增加，孔隙體積會增加，而巖石壓縮系數(shù)并不能體現(xiàn)出孔隙體積增加的特性。

定義巖石骨架壓縮系數(shù)為巖石骨架平均壓力增加一個單位壓力時的體積變化率，其表達(dá)式為：

(6)

式中：Cs為巖石骨架壓縮系數(shù)，Pa-1。

根據(jù)彈性力學(xué)，對于巖石任意一點，巖石骨架壓縮系數(shù)可以表示為：

(7)

式中：ν為巖石骨架泊松比；Es為巖石骨架彈性模量，Pa。

假設(shè)：1)巖石的平均壓應(yīng)力為常數(shù)且由式(2)計算；2)巖石骨架與孔隙等比例脹縮；3)孔隙度為常數(shù)。則可得巖石壓縮系數(shù)：

(8)

根據(jù)式(8)， 當(dāng)φ<0.5時,Cp

2 存在問題的原因分析

筆者認(rèn)為，之所以產(chǎn)生上述爭論，關(guān)鍵問題是概念混亂以及對工程、力學(xué)和數(shù)學(xué)問題認(rèn)識不清。

2.1 概念混亂

在上述爭論中存在3方面的問題：

1)同一名詞，不同作者表達(dá)不同意義。例如文獻(xiàn)[13]與文獻(xiàn)[12,14,17,21]中，“巖石壓縮系數(shù)”的意義不同。

2) 同一意義，不同作者用不同概念表達(dá)。例如文獻(xiàn)[12]中的“巖石壓縮系數(shù)”與文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[15]中的“巖石孔隙壓縮系數(shù)”表達(dá)的是同一意義。

3) 文字定義與數(shù)學(xué)定義不一致。例如文獻(xiàn)[15]中的“巖石壓縮系數(shù)”的文字定義與數(shù)學(xué)定義(即原文中的式(2))不一致。

因為爭論太多，這里就不一一列舉了，具體見文獻(xiàn)[13-24]。

2.2 對工程、力學(xué)和數(shù)學(xué)問題認(rèn)識不清

在推導(dǎo)式(8)時的3個假設(shè)以及文獻(xiàn)[25-26]在研究孔隙壓縮系數(shù)時“巖石顆粒不可壓縮”的假設(shè)，是不合理的。

1) “巖石顆粒不可壓縮”的假設(shè)不合理。若巖石顆粒不可壓縮則巖石不可壓縮，即巖石為剛體，則其體積、孔隙度和滲透率不會隨孔隙壓力和環(huán)境壓力的變化而變化，永遠(yuǎn)是個常數(shù)。如果是巖石顆粒體積不可壓縮的誤寫，則孔隙體積變化量等于巖石外觀體積的變化量，在研究孔隙度極高(接近于1)的多孔介質(zhì)的孔隙度隨孔隙壓力和環(huán)境壓力的變化時尚有一定精度；在研究孔隙度極低的多孔介質(zhì)(例如頁巖)的孔隙度隨孔隙壓力和環(huán)境壓力的變化時誤差太大。

2) “巖石骨架與孔隙等比例脹縮”的假設(shè)不合理。無論是孔隙壓力變化還是圍壓變化引起的孔隙脹縮率都要遠(yuǎn)大于巖石骨架的脹縮率，這才符合最小勢能原理。例如吹氣球，氣球是個彈性體，大氣壓強是個常數(shù)，當(dāng)人們吹氣球時，氣球的斷面并不是等比例變化，而是空腔直徑不斷變大，球壁越變越薄。

3) “孔隙度是常數(shù)”的假設(shè)不合理?？紫抖仁亲兞?，不是常數(shù)。巖石力學(xué)中有一個壓實的概念，即孔隙度減小?？紫秹毫ψ兓瘜?dǎo)致孔隙體積、骨架體積變化就是壓實或反壓實過程。文獻(xiàn)[12]在對式(2)進行微分時得到的公式：

(9)

是錯誤的，應(yīng)該為：

φdpp+(pp-σs)dφ+(1-φ)dσs=0

(10)

式(7)成立的前提為材料是均質(zhì)的和各向同性的，但巖石骨架既不是均質(zhì)的也不是各向同性的，所以，對于多孔介質(zhì)式(7)是不成立的。另外，很難從巖石中取出一塊沒有孔隙的基質(zhì)來做材料力學(xué)實驗，這比直接測量巖石孔隙鼓脹率的實驗還難。如用其他方法取代材料力學(xué)實驗，則數(shù)據(jù)的可靠性值得懷疑。

4) “巖石的平均壓應(yīng)力為常數(shù)”的假設(shè)，在油藏內(nèi)一般不嚴(yán)格成立。在實驗室條件下，可以控制圍壓，使巖石的平均壓應(yīng)力為常數(shù)。但是，在油藏內(nèi)，局部注液體必然引起注入部位及周圍的平均壓應(yīng)力增高，所以，在油藏內(nèi)“巖石的平均壓應(yīng)力為常數(shù)”不嚴(yán)格成立。

由此可以看出，式(8)的目的是通過巖石孔隙度建立巖石骨架材料的材料力學(xué)性質(zhì)與巖石壓縮系數(shù)(應(yīng)為巖石孔隙鼓脹系數(shù)，作者注)的關(guān)系，有意義但很難實現(xiàn)，并且該式是錯誤的，其他人也沒有給出合理的結(jié)果。

2.3 不能僅用巖石孔隙度關(guān)聯(lián)巖石壓縮系數(shù)與巖石骨架壓縮系數(shù)

以文獻(xiàn)[12]為基礎(chǔ)，結(jié)合上面的討論，可以建立方程組：

(11)

該方程組共有5個方程，共有Vb,Vp,Vs,σb,φ,pp,σs,Cp和Cs等9個未知量，若沒有其他附加條件，該方程組是不可能表達(dá)成Cp=f(φ,Cs)的。即使假設(shè)σb為已知常數(shù)，5個獨立方程，8個未知量，也是不可能表達(dá)成Cp=f(φ,Cs)的。因此，不能僅用巖石孔隙度關(guān)聯(lián)巖石壓縮系數(shù)(應(yīng)為巖石孔隙鼓脹系數(shù)，作者注)與巖石骨架壓縮系數(shù)。

3 解決問題的措施探討

規(guī)范相應(yīng)名詞的定義可以解決油氣藏多孔巖石鼓脹壓縮特性表征方面出現(xiàn)的上述混亂現(xiàn)象，因此，應(yīng)該以彈性力學(xué)和巖石力學(xué)為基礎(chǔ)，根據(jù)命名規(guī)則[28]，重新定義相關(guān)概念。

在石油工程中，孔隙壓力和圍壓是影響巖石外觀體積、孔隙度和滲透率的重要因素。如果巖石承受的三向應(yīng)力不等，加上巖石具有各向異性，問題將變得十分復(fù)雜。因此，筆者僅針對圍壓各向相等的情況，提出了巖石鼓脹系數(shù)、巖石孔隙鼓脹系數(shù)、巖石滲透率鼓增系數(shù)、巖石壓縮系數(shù)、巖石孔隙壓縮系數(shù)和巖石滲透率壓減系數(shù)等6個相互獨立的概念，并給出了其定義。

3.1 巖石鼓脹系數(shù)

巖石鼓脹系數(shù)是指在圍壓σb為常數(shù)σbc時，孔隙壓力pp從ppc增加一個單位壓力時，巖石外觀體積的變化率，可以表示為：

(12)

式中：Cbp(σbc,ppc)為巖石鼓脹系數(shù)，Pa-1；ppc為實驗孔隙壓力，Pa；σbc為實驗圍壓，Pa。

巖石鼓脹意指孔隙內(nèi)部流體壓力致使外觀體積增加，不會產(chǎn)生歧義。該系數(shù)可以用來計算地層的膨脹和沉陷及地應(yīng)力的變化。

3.2 巖石孔隙鼓脹系數(shù)

巖石孔隙鼓脹系數(shù)是指在圍壓σb為常數(shù)σbc時，孔隙壓力pp從ppc增加一個單位壓力時，孔隙體積的變化率，可以表示為：

(13)

式中：Cpp(σbc,ppc) 為巖石孔隙鼓脹系數(shù)，Pa-1。

該系數(shù)是指因孔隙壓力增加，導(dǎo)致孔隙空間增加，不會產(chǎn)生歧義，可以用來計算孔隙體積的變化量。

3.3 巖石滲透率鼓增系數(shù)

巖石滲透率鼓增系數(shù)是指在圍壓σb為常數(shù)σbc時，孔隙壓力pp從ppc增加一個單位壓力時，滲透率的變化率，可以表示為：

(14)

式中：CKp(σbc,ppc)為巖石滲透率鼓增系數(shù)，Pa-1；K為滲透率，m2。

該系數(shù)是指因孔隙內(nèi)壓力增加，使孔隙直徑增加，最終導(dǎo)致滲透率增加，不會產(chǎn)生歧義，可以用來計算滲透率的變化量。

3.4 巖石壓縮系數(shù)

巖石壓縮系數(shù)是指在孔隙壓力pp為常數(shù)ppc時，圍壓σb從σbc增加一個單位壓力時，巖石外觀體積的變化率，可以表示為：

(15)

式中：Cbσ(σbc,ppc)為巖石壓縮系數(shù)， Pa-1。

該系數(shù)的定義與材料力學(xué)和彈性力學(xué)中的定義類似，指隨著巖石圍壓的增加，巖石外觀體積減小，可以用來計算地層的膨脹和沉陷及地應(yīng)力的變化。

3.5 巖石孔隙壓縮系數(shù)

巖石孔隙壓縮系數(shù)是指在孔隙壓力pp為常數(shù)ppc時，圍壓σb從σbc增加一個單位壓力時，孔隙體積的變化率，可以表示為：

(16)

式中：Cpσ(σbc,ppc)為巖石孔隙壓縮系數(shù)，Pa-1。

該系數(shù)是指因巖石圍壓增加，導(dǎo)致孔隙空間減小，不會產(chǎn)生歧義，可以用來計算孔隙體積的變化量。

3.6 巖石滲透率壓減系數(shù)

巖石滲透率壓減系數(shù)是指在孔隙壓力pp為常數(shù)ppc時，圍壓σb從σbc增加一個單位壓力時，巖石滲透率的變化率，可以表示為：

(17)

式中：CKσ(σbc,ppc)為巖石滲透率壓減系數(shù)，Pa-1。

該系數(shù)是指因巖石圍壓增加，使孔隙直徑減小，最終導(dǎo)致滲透率降低，不會產(chǎn)生歧義，可以用來計算滲透率的變化量。

4 結(jié) 論

1) Terzaghi公式是錯誤的。

2) 不可僅用巖石孔隙度關(guān)聯(lián)巖石孔隙鼓脹系數(shù)與巖石骨架壓縮系數(shù)，且測量巖石骨架壓縮系數(shù)比測量巖石孔隙鼓脹系數(shù)更難。

3) 在研究巖石的外觀體積、孔隙度和滲透率隨孔隙壓力和環(huán)境壓力的變化規(guī)律時，既不可假設(shè)基質(zhì)巖石顆粒尺寸不可壓縮，也不可假設(shè)基質(zhì)巖石顆粒體積不可壓縮，還不可假設(shè)基質(zhì)巖石顆粒與孔隙等比例變形。否則，會產(chǎn)生邏輯問題或難以置信的誤差。

4) 提出的巖石鼓脹系數(shù)、巖石孔隙鼓脹系數(shù)、巖石滲透率鼓增系數(shù)、巖石壓縮系數(shù)、巖石孔隙壓縮系數(shù)和巖石滲透率壓減系數(shù)等6個概念可以解決多孔巖石鼓脹壓縮特性表征方面出現(xiàn)的混亂現(xiàn)象。

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