趙金皓 曹奇英* 沈士根(東華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 上海 060)(紹興文理學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程系 浙江 紹興 3000)

0 引 言

移動(dòng)傳感網(wǎng)MWSNs(Mobile Wireless Sensor Networks)由有移動(dòng)特性的傳感節(jié)點(diǎn)組成，具有靈活度高、覆蓋度廣、通信能力強(qiáng)等特點(diǎn)，在工業(yè)界及學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域等方面有著廣泛的應(yīng)用[1-3]，比如醫(yī)療檢驗(yàn)、環(huán)境監(jiān)督等。

由于MWSNs中的傳感節(jié)點(diǎn)存有大量的有價(jià)值的數(shù)據(jù)及信息，其安全性十分重要。惡意程序通過(guò)感染健康的傳感節(jié)點(diǎn)，能獲取節(jié)點(diǎn)中保存的數(shù)據(jù)信息及阻斷節(jié)點(diǎn)間的正常通信，從而對(duì)MWSNs的安全造成威脅。另外，近期的研究成果[4]表明，由于組成同一個(gè)MWSNs的傳感節(jié)點(diǎn)的軟件與硬件的結(jié)構(gòu)相同，如果一個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)被惡意程序感染，很容易傳染給在其通信范圍內(nèi)的其他節(jié)點(diǎn)，再加上MWSNs中節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)特性，惡意程序很容易感染到整個(gè)MWSNs中。因此，MWSNs的安全問(wèn)題受到很大挑戰(zhàn)，對(duì)惡意程序傳播機(jī)制的研究十分必要。

由于惡意程序在MWSNs中對(duì)傳感節(jié)點(diǎn)的感染與流行病的傳播方式有著相同的特性[5]，因此，常常根據(jù)流行病模型的理論來(lái)模擬惡意程序的傳染過(guò)程，即通過(guò)流行病模型建立惡意程序在MWSNs中的傳染模型。首先，定義傳感節(jié)點(diǎn)的幾種不同狀態(tài)，如易感(Susceptible)節(jié)點(diǎn)、感染(Infected)節(jié)點(diǎn)、免疫(Recovered)節(jié)點(diǎn)等。再根據(jù)不同的傳感節(jié)點(diǎn)狀態(tài)，得到惡意程序的傳染模型，如SI(Susceptible-Infected)模型、SIS(Susceptible-Infected-Susceptible)模型、SIR[6](Susceptible-Infected-Recovered)模型及SIRD[7](Susceptible-Infected- Recovered-Dead)模型。文獻(xiàn)[8]描述了社交網(wǎng)絡(luò)中的信息擴(kuò)散行為。除了傳染病模型，馬爾科夫鏈[9]及元胞自動(dòng)機(jī)[10-11]等方法也用于模擬WSNs中惡意程序的傳播過(guò)程。文獻(xiàn)[12]基于元胞自動(dòng)機(jī)，分析了惡意程序在廣播協(xié)議中的傳播行為。文獻(xiàn)[13]建立了基于有向天線(xiàn)WSN中的病毒傳播模型。文獻(xiàn)[14]將博弈論與傳感網(wǎng)相結(jié)合，建立了WSN的節(jié)點(diǎn)信任模型，描述了節(jié)點(diǎn)信任演化動(dòng)力學(xué)規(guī)律。文獻(xiàn)[15]使用最優(yōu)反應(yīng)均衡預(yù)測(cè)傳感網(wǎng)惡意程序的行為以解決重復(fù)博弈納什均衡解求解困難的問(wèn)題，給出抑制傳感網(wǎng)惡意程序傳播的算法。文獻(xiàn)[16]基于博弈論分析惡意軟件的支付，以預(yù)測(cè)其在WSN中的傳染行為。

本文將MWSNs抽象為一個(gè)二維空間，基于流行病理論建立惡意程序的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型；根據(jù)一定區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)量隨著時(shí)間不斷變化的情況，建立傳感節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變化的時(shí)空動(dòng)力學(xué)微分方程組，即節(jié)點(diǎn)時(shí)空動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算分析得到模型的平衡點(diǎn)，并通過(guò)Matlab仿真影響模型收斂的因素，對(duì)比不同的擴(kuò)散速度、傳播半徑及發(fā)包率對(duì)系統(tǒng)收斂的影響。

1 網(wǎng)絡(luò)模型

由于MWSNs中的節(jié)點(diǎn)是持續(xù)不斷移動(dòng)的，因此，隨著節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)，MWSNs的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不斷變化，數(shù)據(jù)的通信鏈路也隨之變化。為了研究傳感節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)與運(yùn)動(dòng)情況，假定MWSNs部署在一個(gè)方形的二維空間中，該空間由n×n個(gè)方形網(wǎng)格組成，每個(gè)小方格用二維坐標(biāo)表示其空間位置，如圖1所示。

圖1 MWSNs的網(wǎng)絡(luò)模型

空間網(wǎng)格中存在著大量具有移動(dòng)特性的傳感節(jié)點(diǎn)，為了分析惡意程序在MWSNs中的傳播情況，就要對(duì)節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的時(shí)間及空間的分布情形、節(jié)點(diǎn)所處的狀態(tài)進(jìn)行描述。設(shè)節(jié)點(diǎn)所在的網(wǎng)格用空間坐標(biāo)(x,y)來(lái)表示，其中，0≤x≤n，0≤y≤n。設(shè)在任意時(shí)刻t，整個(gè)MWSNs中的傳感節(jié)點(diǎn)以相同的速度t沿著任意方向進(jìn)行隨機(jī)的移動(dòng)，在節(jié)點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，其所在的網(wǎng)格不斷變化，那么表示節(jié)點(diǎn)空間位置的二維坐標(biāo)也在不斷變化。因此，一個(gè)空間網(wǎng)格(x,y)內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量及密度都將隨著節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)不斷地變化，也即隨著時(shí)間的推移增加或減少。設(shè)σ表示整個(gè)方形二維空間的面積，又因?yàn)檎麄€(gè)空間有n×n個(gè)方形網(wǎng)格，那么，每個(gè)網(wǎng)格的面積σ1為：

σ1=σ/(n×n)

(1)

設(shè)m表示整個(gè)網(wǎng)絡(luò)空間內(nèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，那么，單位面積內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量m1為：

m1=m/σ

(2)

設(shè)θ(x,y)表示空間網(wǎng)格(x,y)的面積，根據(jù)上述的網(wǎng)格面積及單位面積內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)量的描述可得，在任意時(shí)刻t，空間網(wǎng)格(x,y)內(nèi)活動(dòng)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量m(x,y,t)為：

m(x,y,t)=m1θ(x,y)=mθ(x,y)/σ

(3)

又因?yàn)榧俣ňW(wǎng)絡(luò)空間內(nèi)的每個(gè)方格的面積相等，那么空間網(wǎng)格(x,y)內(nèi)的活動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)可以表示為：

m(x,y,t)=m1σ1=m/(n×n)

(4)

除了節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)速度及方向、網(wǎng)格的面積、網(wǎng)格內(nèi)活動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量等參數(shù)，還需幾個(gè)重要參數(shù)來(lái)描述MWSNs的模型，有通信半徑、發(fā)包率、發(fā)包成功率等。

在MWSNs內(nèi)，如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)能夠直接相互交換數(shù)據(jù)及信息、直接進(jìn)行通信，那么稱(chēng)這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為鄰居節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)與其鄰居節(jié)點(diǎn)之間的距離為通信半徑，不同網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)通信半徑也不同。用r表示MWSNs中移動(dòng)節(jié)點(diǎn)的通信半徑，可以得到傳感網(wǎng)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)的數(shù)量為：

ml=πr2m1=πr2m/σ

(5)

假設(shè)每個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)的發(fā)包率、發(fā)包成功率都相同，用p表示節(jié)點(diǎn)的發(fā)包率，ρ表示節(jié)點(diǎn)的發(fā)包成功率。其中，0≤p≤1,0≤ρ≤1。

2 MWSNs惡意程序的傳播機(jī)制

在MWSNs中，惡意程序通過(guò)攻擊健康的傳感節(jié)點(diǎn)進(jìn)行傳播，并獲取節(jié)點(diǎn)中存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)。接下來(lái)根據(jù)經(jīng)典的流行病理論描述惡意程序的傳播過(guò)程，從而建立傳播模型。

隨著時(shí)間的推移，MWSNs中節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)不斷地變化。本文將傳感節(jié)點(diǎn)劃分為以下五種狀態(tài)，分別是易感(Susceptible)節(jié)點(diǎn)、感染(Infected)節(jié)點(diǎn)、免疫(Recovered)節(jié)點(diǎn)、潛伏(Exposed)節(jié)點(diǎn)、死亡(Dead)節(jié)點(diǎn)，為了方便表述，分別用S,I,R,E,D表示。其中，易感節(jié)點(diǎn)是指尚未被惡意程序傳染，但在將來(lái)可能被感染的節(jié)點(diǎn)；感染節(jié)點(diǎn)是指已經(jīng)被惡意程序傳染并具有傳染能力的節(jié)點(diǎn)；免疫節(jié)點(diǎn)是指曾被惡意程序感染，但是惡意程序已經(jīng)被清除，且不會(huì)再被惡意程序感染的節(jié)點(diǎn)；潛伏節(jié)點(diǎn)是指已經(jīng)被惡意程序感染，暫時(shí)不具備感染其他節(jié)點(diǎn)的能力，但在將來(lái)可能具備傳染能力的節(jié)點(diǎn)；死亡節(jié)點(diǎn)是指由于受到了攻擊或者能量不足等原因而不具備存儲(chǔ)和發(fā)送數(shù)據(jù)能力的節(jié)點(diǎn)，且其不具備移動(dòng)能力。其中，潛伏節(jié)點(diǎn)會(huì)在潛伏時(shí)間結(jié)束后轉(zhuǎn)換為感染節(jié)點(diǎn)，具備傳染能力，設(shè)在任意時(shí)刻t，潛伏節(jié)點(diǎn)以平均概率k1轉(zhuǎn)換為感染節(jié)點(diǎn)。被惡意程序攻擊成功的易感節(jié)點(diǎn)，有概率j1轉(zhuǎn)換為感染節(jié)點(diǎn)，概率j2轉(zhuǎn)換為潛伏節(jié)點(diǎn)。

在MWSNs中，隨著節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)與時(shí)間的推移，傳感節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)不斷改變，構(gòu)成狀態(tài)空間，節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變化的情況可用狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型來(lái)表示，如圖2所示。

圖2 傳感節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系圖

圖2中，F(xiàn)表示單位時(shí)間內(nèi)向網(wǎng)絡(luò)中加入新健康節(jié)點(diǎn)的概率，從而維持MWSNs中節(jié)點(diǎn)的總體數(shù)量，η(0≤η≤1)表示節(jié)點(diǎn)的死亡概率；ε(0≤ε≤1)表示易感節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為感染節(jié)點(diǎn)的概率；ζ(0≤ζ≤1)表示易感節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為潛伏節(jié)點(diǎn)的概率；ξ(0≤ξ≤1)表示潛伏節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為感染節(jié)點(diǎn)的概率；τ(0≤τ≤1)表示感染節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為免疫節(jié)點(diǎn)的概率。

(6)

(7)

簡(jiǎn)化可得：

(8)

那么，由一個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)量及易感節(jié)點(diǎn)在區(qū)域(x,y)內(nèi)的數(shù)量占比，得到在MWSNs中的空間網(wǎng)格(x,y)內(nèi)，一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)中易感節(jié)點(diǎn)的數(shù)量為：

(9)

簡(jiǎn)化可得：

(10)

再根據(jù)移動(dòng)節(jié)點(diǎn)的發(fā)包率p、發(fā)包成功率ρ，以及能夠和一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)直接通信的易感節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，那么，可以得到一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)能夠成功傳染的易感節(jié)點(diǎn)的數(shù)量為：

(11)

另外，隨著惡意程序的擴(kuò)散，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中易感節(jié)點(diǎn)的數(shù)量不斷下降，惡意程序?qū)σ赘泄?jié)點(diǎn)的傳染會(huì)出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，本文引入?yún)?shù)α表示飽和度，β表示傳感網(wǎng)的調(diào)節(jié)指標(biāo)。當(dāng)β越小時(shí)，α增長(zhǎng)速度越快，也就越容易達(dá)到峰值；當(dāng)β越大時(shí)，α增長(zhǎng)速度越慢，達(dá)到峰值也越遲。在時(shí)刻t，空間網(wǎng)格中(x,y)中易感節(jié)點(diǎn)傳染飽和度數(shù)學(xué)表示如下：

(12)

3 MWSNs節(jié)點(diǎn)狀態(tài)時(shí)空動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

3.1 MWSNs惡意程序的擴(kuò)散方程

MWSNs所在的二維空間內(nèi)，大量的活動(dòng)節(jié)點(diǎn)以相同的概率選擇其移動(dòng)的方向并以速度v沿著已選擇的方向移動(dòng)。隨著時(shí)間的推移，這種移動(dòng)導(dǎo)致空間網(wǎng)格(x,y)中的S、I、R、E四類(lèi)節(jié)點(diǎn)的分布比例發(fā)生著變化。為了表達(dá)簡(jiǎn)潔，用參數(shù)μ來(lái)代替式(11)的一部分。

μ=πr2(1-(1-ρ)P)/σ(x,y)

(13)

隨著二維空間中節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)，一個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)量及不同狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的占比也在不斷地變化。因此，當(dāng)易感節(jié)點(diǎn)進(jìn)入到感染節(jié)點(diǎn)的傳播范圍內(nèi)，感染節(jié)點(diǎn)有一定概率成功攻擊易感節(jié)點(diǎn)。四類(lèi)節(jié)點(diǎn)S，I，R，E的反應(yīng)擴(kuò)散情況可以用下面的方程組來(lái)表示，即節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)散方程。方程組如下：

(14)

▽2=?2/?x2+?2/?y2

(15)

3.2 基于惡意程序傳播行為的MWSNs節(jié)點(diǎn)狀態(tài)時(shí)空動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

根據(jù)圖2的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系圖，代入具體參數(shù)，可得惡意程序擴(kuò)散方程如下：

(16)

因此，根據(jù)惡意程序在MWSNs的傳播行為及節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系可得到相應(yīng)的時(shí)空動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)如下：

式(21)對(duì)S、I、E、R四種節(jié)點(diǎn)在MWSNs的初始狀態(tài)作了描述，表示在初始狀態(tài)下四種節(jié)點(diǎn)共存。其中，S0、I0、E0、R0分別表示易感節(jié)點(diǎn)、感染節(jié)點(diǎn)、潛伏節(jié)點(diǎn)及免疫節(jié)點(diǎn)的初始密度。式(22)表示MWSNs系統(tǒng)是封閉的，是一個(gè)自治的系統(tǒng)，即MWSNs中的節(jié)點(diǎn)不受外部的影響，且沒(méi)有傳感節(jié)點(diǎn)移出MWSNs網(wǎng)絡(luò)空間。

3.3 系統(tǒng)平衡點(diǎn)的分析

當(dāng)系統(tǒng)隨著時(shí)間的推移最終達(dá)到收斂的狀態(tài)，即四種節(jié)點(diǎn)的數(shù)量不再隨著時(shí)間變化時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)達(dá)到了平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分為地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)，地方病平衡點(diǎn)是指系統(tǒng)收斂到四種節(jié)點(diǎn)共存時(shí)的解，此時(shí)，惡意程序持續(xù)傳播并且保持著一定的傳播水平；無(wú)病平衡點(diǎn)是指在系統(tǒng)收斂到感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量為0的狀態(tài)，此時(shí)，惡意程序在MWSNs中已經(jīng)消亡。

由非線(xiàn)性系統(tǒng)的理論，系統(tǒng)的擴(kuò)散行為并不影響其平衡點(diǎn)的存在性，即擴(kuò)散系統(tǒng)與其相對(duì)應(yīng)的非擴(kuò)散系統(tǒng)具有一致的平衡點(diǎn)。因此，可以抽取系統(tǒng)的非擴(kuò)散部分來(lái)解決問(wèn)題，并且，免疫節(jié)點(diǎn)的密度變化可以根據(jù)其他三種節(jié)點(diǎn)進(jìn)行求解。其中，非擴(kuò)散系統(tǒng)如下：

至此，求解MWSNs節(jié)點(diǎn)狀態(tài)時(shí)空動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了求解式(23)-式(25)常微分方程組的問(wèn)題。根據(jù)常微分方程組的求解方法，當(dāng)滿(mǎn)足如下條件時(shí)，能夠求解其平衡點(diǎn)：

(26)

根據(jù)式(19)條件求解式(18)，并將描述飽和度的參數(shù)代入，可得下列等式：

(27)

(28)

(29)

由式(29)得到：

(30)

再將式(30)代入式(28)，可得：

(31)

求解得：

(32)

(33)

將式(32)代入式(33)，得到：

(34)

(35)

式中：A=(η+τ)(η+k1)(j1μ-j2μ-ηβ)；B=-Aμ(j1η+j1k1+j2k1)；C=-η(η+τ)(η+k1)。

對(duì)式(35)進(jìn)行求解，分為三種情況。

情況一：若B2-4AC<0,即B2<4AC，這時(shí)式(35)沒(méi)有解。由此表明式(23)-式(25)的系統(tǒng)不存在正平衡解，即該系統(tǒng)恒有一個(gè)無(wú)病平衡解。因此，系統(tǒng)式(17)-式(22)也恒有一個(gè)無(wú)病平衡解E0。

情況二：若B2-4AC=0，即B2=4AC，此時(shí)式(35)有唯一的根，也即式(23)-式(25)的系統(tǒng)有一個(gè)正平衡解，將A,B,C值代入，解得：

(36)

(37)

4 數(shù)值仿真及分析

為了直觀地展現(xiàn)受惡意程序攻擊的MWSNs節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的時(shí)空特征，使用實(shí)驗(yàn)工具M(jìn)atlab R2014a對(duì)時(shí)空動(dòng)力模型進(jìn)行數(shù)值仿真。通過(guò)模擬易感節(jié)點(diǎn)、感染節(jié)點(diǎn)、潛伏節(jié)點(diǎn)及免疫節(jié)點(diǎn)等不同狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)空間內(nèi)的數(shù)量及位移的變化情況，定量地分析惡意程序的傳染對(duì)MWSNs收斂狀態(tài)的影響，為防御惡意程序的攻擊提供支持。

對(duì)以偏微分方程組為形式的系統(tǒng)進(jìn)行求解時(shí)，將時(shí)間連續(xù)的惡意程序擴(kuò)散方程在二維空間進(jìn)行離散化，其中，二維空間即為n×n個(gè)方形網(wǎng)格。每個(gè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)是相等的，記為Δh。通過(guò)差分方法離散表示節(jié)點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程的Laplace算子，記離散化的時(shí)間為Δt。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)置數(shù)值仿真參數(shù)如下：M=100，Δh=2，Δt=0.01，添加新節(jié)點(diǎn)率F=0.2，節(jié)點(diǎn)死亡率η=0.053，發(fā)包成功率ρ=0.6，潛伏節(jié)點(diǎn)到感染節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換率ξ=0.3，感染節(jié)點(diǎn)到免疫節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換率τ=0.329 8，易感節(jié)點(diǎn)到潛伏節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換率ζ=0.064 3，易感節(jié)點(diǎn)到感染節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換率ε=0.257 2，飽和系數(shù)β=2。另外，設(shè)感染節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的初始密度為0.2。值得說(shuō)明的是，上述參數(shù)值會(huì)影響系統(tǒng)收斂的時(shí)間，但整個(gè)數(shù)據(jù)曲線(xiàn)變化趨勢(shì)不變。

4.1 擴(kuò)散速度對(duì)惡意程序傳播的影響

對(duì)于情形一，當(dāng)系統(tǒng)恒有唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)時(shí)，為了研究不同的節(jié)點(diǎn)移動(dòng)速度對(duì)感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量變化的影響，以及分析對(duì)系統(tǒng)達(dá)到收斂狀態(tài)速度的影響，設(shè)節(jié)點(diǎn)移動(dòng)的速度分別為v=0,20,40，另外，設(shè)通信半徑r=8，發(fā)包率p=0.6。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同擴(kuò)散速度的感染節(jié)點(diǎn)密度變化圖

通過(guò)圖3可以看出，對(duì)三種不同的節(jié)點(diǎn)擴(kuò)散速度進(jìn)行仿真，隨著擴(kuò)散速度v的增長(zhǎng)，系統(tǒng)越快達(dá)到收斂的狀態(tài)，即感染節(jié)點(diǎn)越快在空間中消亡，系統(tǒng)收斂于無(wú)病平衡點(diǎn)E0。其中，當(dāng)擴(kuò)散速度v=0時(shí)，即節(jié)點(diǎn)不移動(dòng)的情況，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)相當(dāng)于傳統(tǒng)的靜態(tài)傳感網(wǎng)，是本次研究的特殊情況。通過(guò)仿真可以得出，當(dāng)擴(kuò)散速度越快，易感節(jié)點(diǎn)更容易移動(dòng)到感染節(jié)點(diǎn)的通信范圍內(nèi)，因此促進(jìn)系統(tǒng)收斂達(dá)到平衡狀態(tài)。

4.2 通信半徑對(duì)惡意程序傳播的影響

對(duì)于情形一，當(dāng)系統(tǒng)恒有唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)時(shí)，為了研究不同大小的節(jié)點(diǎn)間不同通信范圍對(duì)感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量變化的影響，以及分析對(duì)系統(tǒng)達(dá)到收斂狀態(tài)快慢程度的影響，設(shè)節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)半徑分別為r=4,8,12，另外，設(shè)節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)速度v=20，發(fā)包率p=0.6。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同傳播半徑的感染節(jié)點(diǎn)密度變化圖

通過(guò)圖4可以看出，對(duì)三種不同的節(jié)點(diǎn)間的通信范圍進(jìn)行仿真，隨著通信半徑r的增加，系統(tǒng)越快達(dá)到收斂的狀態(tài)，即感染節(jié)點(diǎn)越快在空間中消亡，系統(tǒng)收斂于無(wú)病平衡點(diǎn)E0。通過(guò)仿真可以得出，當(dāng)節(jié)點(diǎn)的通信半徑越大，易感節(jié)點(diǎn)更容易與感染節(jié)點(diǎn)取得通信，完成信息交換，更易傳染惡意程序，因此促進(jìn)系統(tǒng)收斂達(dá)到平衡狀態(tài)。

4.3 發(fā)包率對(duì)惡意程序傳播的影響

對(duì)于情形一，當(dāng)系統(tǒng)恒有唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)時(shí)，為了研究不同的節(jié)點(diǎn)發(fā)包率對(duì)感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量變化的影響，以及分析其對(duì)系統(tǒng)達(dá)到收斂狀態(tài)快慢程度的影響，設(shè)節(jié)點(diǎn)的發(fā)包率所取的數(shù)值分別為p=0.4,0.6,0.8，另外，設(shè)節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)散速度v=20，節(jié)點(diǎn)間的通信半徑r=8。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同發(fā)包率的感染節(jié)點(diǎn)密度變化圖

通過(guò)圖5可以看出，對(duì)三種不同的節(jié)點(diǎn)間的發(fā)包率進(jìn)行數(shù)值仿真，隨著傳感節(jié)點(diǎn)發(fā)包率p值的增加，系統(tǒng)越快達(dá)到收斂的狀態(tài)，即感染節(jié)點(diǎn)越快在網(wǎng)格空間中消亡，系統(tǒng)收斂越快于無(wú)病平衡點(diǎn)E0。通過(guò)仿真可以得出，當(dāng)節(jié)點(diǎn)的發(fā)包率越大，感染節(jié)點(diǎn)與易感節(jié)點(diǎn)發(fā)生信息交換的頻率越快，使得惡意程序更容易對(duì)易感節(jié)點(diǎn)進(jìn)行攻擊，加速了惡意程序的傳播，因此促進(jìn)系統(tǒng)收斂更快達(dá)到平衡狀態(tài)。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文為了分析惡意程序的傳染行為對(duì)MWSNs的影響，建立了節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的時(shí)空動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。通過(guò)流行病理論，描述了MWSNs中各類(lèi)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換制約關(guān)系，分析了惡意程序的傳播行為。通過(guò)擴(kuò)散方程，建立了節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的時(shí)空動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，并求解出系統(tǒng)的無(wú)病平衡點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)仿真了不同因素下的的系統(tǒng)收斂時(shí)間，分析了不同的節(jié)點(diǎn)移動(dòng)速度、傳播半徑及發(fā)包率對(duì)系統(tǒng)收斂到無(wú)病平衡狀態(tài)的影響。

但是，本文對(duì)系統(tǒng)的求解沒(méi)有考慮到正平衡點(diǎn)，在正平衡狀態(tài)下，惡意程序在MWSNs中持續(xù)傳染，并維持在一定的傳染水平，該狀態(tài)對(duì)MWSNs中節(jié)點(diǎn)時(shí)空動(dòng)力系統(tǒng)的分析有重要意義。因此，下一步工作將在考慮正平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的收斂。

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