楊劍飛，陸鳳霞，張沁薇，劉偉平

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

齒輪傳動(dòng)作為一種重要的傳動(dòng)形式，廣泛運(yùn)用于汽車、航空等領(lǐng)域，其效率的計(jì)算也是國(guó)內(nèi)外一直關(guān)注的熱點(diǎn)。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的功率損耗可分為有載荷功耗和無(wú)載荷功耗，其中有載荷功耗主要包括有載荷條件下的齒輪嚙合功耗和軸承功耗，無(wú)載荷功耗主要包括齒輪及軸承的攪油損失、風(fēng)阻損失。本文主要研究齒輪的嚙合功耗。

傳統(tǒng)的齒輪靜態(tài)效率研究中，摩擦系數(shù)模型以及載荷分配模型對(duì)效率計(jì)算精度顯得尤為重要，摩擦系數(shù)模型可分為平均摩擦系數(shù)模型及EHL摩擦系數(shù)模型，載荷分配模型可分為傳統(tǒng)載荷分配模型(具有確定的載荷分配系數(shù))以及時(shí)變載荷分配模型。

早期的學(xué)者Buckingham[1]、Merrit[2]、Niemann 和 Winter[3]基于沿嚙合線上摩擦系數(shù)不發(fā)生變化以及齒面間載荷平均分配(單齒嚙合區(qū)法向載荷Fn=2M1/(d1cosαw)，雙齒嚙合區(qū)載荷分配系數(shù)為0.5)的模型，推導(dǎo)了幾種齒輪嚙合效率的計(jì)算公式，這也是ISO/TR 14179-1[4]、ISO/TR 14179-2[5](以下簡(jiǎn)稱ISO-1、ISO-2)標(biāo)準(zhǔn)中齒輪嚙合效率計(jì)算公式的來(lái)源。秦大同[6]基于平均摩擦系數(shù)模型及不同的齒輪載荷分配模型對(duì)行星齒輪嚙合效率進(jìn)行了分析。T Yada[7]拋棄了傳統(tǒng)的齒面載荷分配模型，根據(jù)齒面摩擦系數(shù)從理論上重新推導(dǎo)了法向載荷的大小，得到時(shí)變載荷分配模型的齒輪效率計(jì)算公式，摩擦系數(shù)采用平均摩擦系數(shù)。文獻(xiàn)[8]中介紹了部分基于一定試驗(yàn)的齒輪摩擦系數(shù)計(jì)算式，與早期的研究不同，這些摩擦系數(shù)隨著齒輪嚙合位置的變化也會(huì)發(fā)生變化，時(shí)變摩擦系數(shù)的出現(xiàn)對(duì)齒輪嚙合效率的計(jì)算提供了一種新的思路。陳辛波[9-10]分別運(yùn)用混合潤(rùn)滑狀態(tài)下的摩擦系數(shù)公式及Benedict 和Kelley提出的齒輪摩擦系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式，建立了直齒輪效率預(yù)測(cè)模型，模型中認(rèn)為齒面間載荷平均分配。XU[11]基于彈流潤(rùn)滑理論，考慮齒面微觀特性、潤(rùn)滑油非牛頓流體等特性，提出了精確的齒輪摩擦系數(shù)EHL計(jì)算模型，受到廣泛的運(yùn)用。

在過(guò)去的齒輪靜態(tài)效率研究中，尚未見(jiàn)采用齒輪時(shí)變載荷分配模型和EHL摩擦系數(shù)模型結(jié)合的方法預(yù)測(cè)齒輪的嚙合效率的文獻(xiàn)。本文運(yùn)用XU提出的EHL摩擦系數(shù)模型，結(jié)合直齒輪得嚙合特性，考慮齒輪的法向載荷的時(shí)變性，建立一種新的直齒輪嚙合效率預(yù)測(cè)模型。

1 齒輪嚙合功耗數(shù)學(xué)模型

圖1為齒輪外嚙合的端面示意圖，N1N2為理論嚙合線，B1B2為實(shí)際嚙合線，建立沿嚙合線方向的坐標(biāo)軸e，坐標(biāo)原點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)p。Ra1、Ra2為齒輪1、2的齒頂圓半徑，Rw1、Rw2為齒輪1、2的節(jié)圓半徑，Rb1、Rb2為齒輪1、2的基圓半徑，ω1、ω2為齒輪1、2的角速度，αw為齒輪1、2的實(shí)際嚙合角，x為嚙入過(guò)程中的任意點(diǎn)，y為齒輪嚙出過(guò)程中的任意點(diǎn)。

齒輪的嚙合功率損耗包括滑動(dòng)功率損耗和滾動(dòng)功率損耗，后者在嚙合功率損失中占的比例很小，一般可忽略。以一對(duì)齒從嚙入到嚙出為一個(gè)嚙合周期，如圖2所示，一個(gè)嚙合周期內(nèi)根據(jù)單雙齒嚙合可以將嚙合線分為4段，B2C2，C2P，PC1，C1B1，其中B2C2、C1B1為雙齒嚙合區(qū)。

圖2 單雙齒嚙合示意圖

1.1 EHL摩擦系數(shù)模型

基于彈流潤(rùn)滑理論，考慮齒輪副表面粗糙度、潤(rùn)滑油非牛頓流體特性及熱效應(yīng)，Xu提出了齒輪副的摩擦系數(shù)計(jì)算模型：

(1)

式中：ν0為潤(rùn)滑油的動(dòng)力粘度，單位為cps；ve為齒輪接觸點(diǎn)處的卷吸速度，單位為m/s；R為接觸點(diǎn)處的綜合曲率半徑，單位為m；S為表面粗糙度的均方根值，單位為μm。SR為滑滾比，f(SR,Ph,v0,s)可由式(2)計(jì)算得到：

f(SR,Ph,v0,S)=b1+b4|SR|Phlog10(v0)+b5e-|SR|Phlog10(v0)+b9eS

(2)

式中：b1，b2，…，b9的值依次在表1中給出。

表1 摩擦系數(shù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)

1.2 時(shí)變載荷分配數(shù)學(xué)模型

時(shí)變載荷分配模型指的是拋棄齒面載荷分配模型，在齒輪的受力平衡方程中考慮摩擦力的影響，主動(dòng)齒輪的輸入力矩由主動(dòng)輪上參與嚙合的輪齒的法向壓力及摩擦力的合力承擔(dān)。一個(gè)嚙合周期內(nèi)，齒輪的嚙合存在單雙齒交替的情況，假設(shè)在雙齒嚙合區(qū)，齒輪1的輸入力矩M1由參與嚙合的兩個(gè)齒平均承擔(dān)。

圖3、圖4為嚙合過(guò)程中，齒輪1在嚙入過(guò)程中點(diǎn)x、嚙出過(guò)程中點(diǎn)y的受力示意圖，μ為時(shí)變摩擦系數(shù)，根據(jù)摩擦角的定義，可知ρ=arctanμ，F(xiàn)x、Fy分別為x、y點(diǎn)的合力，大小根據(jù)力矩平衡求得，F(xiàn)n為齒面法向載荷。值得注意的是Fn值具有時(shí)變性，其大小由Fx及摩擦角ρ共同確定，μFn為時(shí)變齒面摩擦力。

圖3 嚙入過(guò)程中齒輪1載荷分配模型

圖4 嚙出過(guò)程中齒輪1載荷分配模型

嚙入過(guò)程中，根據(jù)力矩平衡，在單齒嚙合區(qū)，齒輪1的輸入力矩M1由該齒承擔(dān)，那么式(3)成立：

(3)

式中，F(xiàn)x1、Fnx1為單齒嚙合區(qū)齒輪1受到的合力及法向載荷，hx是合力對(duì)齒輪1的力臂。

雙齒嚙合區(qū)，齒輪1的輸入扭矩M1由雙齒平均承擔(dān)，那么有：

(4)

式中，F(xiàn)x2、Fnx2為雙齒嚙合區(qū)齒輪1受到的合力及法向載荷。

同樣，嚙出過(guò)程中，單齒嚙合區(qū)，有式(5)成立。

(5)

嚙出過(guò)程中，雙齒嚙合區(qū)，有式(6)成立。

(6)

1.3 齒輪嚙合效率的公式推導(dǎo)

如圖1所示，沿嚙合線方向建立坐標(biāo)系，齒輪系統(tǒng)嚙入過(guò)程中的輸入功Wx1由式(7)得出：

(7)

式中，Tx1代表法向載荷Fnx、摩擦力μFnx對(duì)齒輪1的作用力矩。

齒輪系統(tǒng)嚙入過(guò)程中的輸出功Wx2由式(8)得出:

(8)

式中，Tx2代表法向載荷Fnx、摩擦力μFnx的反作用力對(duì)齒輪2的作用力矩。

齒輪系統(tǒng)嚙出過(guò)程中的輸入功Wy1由式(9)得出：

(9)

齒輪系統(tǒng)嚙出過(guò)程中的輸出功Wy2由式(10)得出

(10)

則時(shí)變載荷分配模型的一個(gè)周期的平均嚙合效率η的計(jì)算式為：

(11)

2 仿真算例及對(duì)比驗(yàn)證

2.1 仿真對(duì)象的參數(shù)

為了驗(yàn)證新模型的有效性，分別運(yùn)用Matlab對(duì)時(shí)變載荷分配模型、ISO-1、國(guó)標(biāo)ISO-2的效率計(jì)算公式進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真對(duì)象采用來(lái)自于文獻(xiàn)[11]，具體參數(shù)如表2所示。

表2 仿真對(duì)象及相關(guān)參數(shù)

2.2 仿真結(jié)果及對(duì)比分析

由于試驗(yàn)條件有限，同樣采用文獻(xiàn)[11]中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，為了與試驗(yàn)數(shù)據(jù)形成對(duì)比，需要在本文的仿真結(jié)果、ISO標(biāo)準(zhǔn)中加入有載荷條件下的軸承功耗，單個(gè)軸承功耗計(jì)算公式如下：

PB=0.5μBWBdBω×10-3

(12)

式中，PB為有載荷條件下的軸承功耗，kW；μB為軸承摩擦系數(shù)，取0.001 1；WB為軸承徑向載荷，N；dB為軸承內(nèi)徑(dB=30mm)，ωb為軸承角速度，rad/s。

所以最終齒輪副嚙合效率ηm為

(13)

式中，n為軸承的個(gè)數(shù)，PD為輸入功率。

將試驗(yàn)結(jié)果、時(shí)變載荷分配模型嚙合效率仿真結(jié)果、ISO-1、ISO-2中齒輪嚙合效率的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 時(shí)變載荷分配模型、ISO-1、ISO-2、試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

在該齒輪參數(shù)下，若齒輪轉(zhuǎn)速超過(guò)5 000r/min，工況便超出ISO-1的計(jì)算范圍，所以圖5(a)-圖5(f)中ISO-1標(biāo)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的仿真數(shù)據(jù)只有一部分或者沒(méi)有。

從圖5還可以明顯看出，時(shí)變載荷模型對(duì)效率的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性要高于ISO-1、ISO-2。在恒轉(zhuǎn)速6 000 r/min情況下標(biāo)準(zhǔn)ISO-2對(duì)效率的預(yù)測(cè)為：隨著轉(zhuǎn)矩的增大，齒輪嚙合效率逐漸降低；時(shí)變載荷模型的預(yù)測(cè)為：隨著轉(zhuǎn)矩的增大，齒輪嚙合效率也逐漸增大，與試驗(yàn)結(jié)果趨勢(shì)基本一致。

兩者的結(jié)論完全相反，原因是，在恒轉(zhuǎn)速情況下，轉(zhuǎn)矩的增大，齒輪端面上法向載荷也會(huì)增大。那么根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)ISO-2摩擦系數(shù)公式計(jì)算得出的摩擦系數(shù)也會(huì)增大，直接導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)ISO-2計(jì)算出的效率會(huì)減小，而圖6反映了EHL摩擦系數(shù)模型下，恒轉(zhuǎn)速6 000 r/min，轉(zhuǎn)矩分別265 N·m、540 N·m、685 N·m時(shí)，齒輪副沿嚙合線的摩擦系數(shù)分布情況，幾乎在整個(gè)雙齒嚙合區(qū)域，摩擦系數(shù)隨著扭矩的增大而減小，只有在節(jié)點(diǎn)附近區(qū)域，摩擦系數(shù)隨著轉(zhuǎn)矩的增大而增大。由于雙齒嚙合區(qū)域齒輪副相對(duì)滑動(dòng)速度較大，嚙合損失貢獻(xiàn)最多，所以最終的趨勢(shì)顯示隨著轉(zhuǎn)矩的增大，嚙合機(jī)械效率也會(huì)變大。對(duì)比結(jié)果顯示，時(shí)變載荷分配模型對(duì)效率的預(yù)測(cè)具有較高的準(zhǔn)確性，具有工程應(yīng)用價(jià)值。

圖6 恒轉(zhuǎn)速6 000 r/min不同轉(zhuǎn)矩下沿嚙合線的摩擦系數(shù)分布

3 結(jié)語(yǔ)

提出了一種基于彈流潤(rùn)滑及時(shí)變載荷分配模型的直x齒輪效率計(jì)算方法，將仿真數(shù)據(jù)、試驗(yàn)數(shù)值、ISO-1數(shù)據(jù)、ISO-2數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明，基于該模型的計(jì)算方法與試驗(yàn)數(shù)據(jù)在數(shù)值上及趨勢(shì)上均具有很好的一致性。

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