李 準(zhǔn)， 吳曉東， 韓國慶， 馬高強(qiáng)， 張路鋒， 王 彪

( 1. 中國石油大學(xué)(北京) 石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249； 2. 中國石油大學(xué)( 北京) 非常規(guī)天然氣研究院，北京 102200 )

0 引言

在油氣田開發(fā)過程中，低滲特低滲儲層開發(fā)普遍采用水平井大規(guī)模水力壓裂技術(shù)，不僅可以產(chǎn)生較多的優(yōu)勢主滲流通道，還可以形成大型的縫網(wǎng)改造區(qū)(SRV)[1]。微地震數(shù)據(jù)顯示，近井區(qū)域多次壓裂的儲層最小主應(yīng)力方向發(fā)生明顯變化，最終形成近似圓形壓裂區(qū)域[1]。在開發(fā)過程中，致密儲層的地層壓力降低導(dǎo)致儲層凈覆壓差增大，孔隙度、滲透率等物性隨之降低[2]。在壓裂改造過程中，地層經(jīng)歷復(fù)雜的地應(yīng)力變化，人工裂縫與井筒并不一定是垂直的[2]。

人們在實(shí)驗(yàn)和理論方面研究致密油儲層應(yīng)力敏感效應(yīng)，給出描述儲層應(yīng)力敏感效應(yīng)的重要參數(shù)及方法，為高效合理開發(fā)低滲油藏提供基礎(chǔ)[3-8]。Zhang M Y等[9]、Wang H等[10]、方思冬等[2]，Ren Z等[11]研究應(yīng)力敏感儲層的生產(chǎn)特征，但是沒有考慮體積壓裂改造區(qū)的影響。為研究壓裂改造區(qū)對生產(chǎn)井產(chǎn)能和壓力行為的影響，Ozkan E等[12-13]將“三線性流”的概念引入多段壓裂水平井，驗(yàn)證“三線性流模型”的正確性。Stalgorova E等[14]建立多段壓裂水平井“五區(qū)”線性模型，并考慮主裂縫周圍SRV區(qū)域有限的情況?？紤]低滲致密油氣藏啟動壓力梯度和頁巖氣藏吸附、解吸等特性，姚軍等[15]、蘇玉亮等[16]、Brohi I G等[17]、姬靖皓等[18]等建立油氣藏的“三區(qū)”和“五區(qū)”模型，分析壓裂水平井的產(chǎn)量和壓力的動態(tài)特征。這類“三區(qū)”和“五區(qū)”模型假定流體在不同區(qū)域內(nèi)的流動遵循線性流規(guī)律，忽略體積壓裂井的徑向流階段，同時假設(shè)主裂縫和水平井垂直[2]。Zhao Y L等[19]將儲層體積壓裂改造區(qū)簡化為圓形區(qū)域，利用徑向雙區(qū)復(fù)合模型，研究改造區(qū)影響的致密儲層的壓力行為，給出不同邊界條件下的帶有SRV改造區(qū)的復(fù)合氣藏的點(diǎn)源和線源解。Jiang R Z等[20]推導(dǎo)帶有SRV改造區(qū)的致密油藏的點(diǎn)源和線源解，分析致密油藏體積壓裂水平井的流動階段和產(chǎn)量遞減規(guī)律，以及內(nèi)外區(qū)流度比、彈性儲容比、內(nèi)區(qū)半徑等對不同流動階段的影響，但是沒有考慮儲層的應(yīng)力敏感效應(yīng)。Zhao Y L等[21]利用相似方法，討論內(nèi)區(qū)(SRV)的應(yīng)力敏感效應(yīng)對頁巖儲層多級壓裂水平井壓力行為的影響，但是忽略外區(qū)儲層的應(yīng)力敏感效應(yīng)，并假定主裂縫和井筒垂直。祝浪濤等[22]利用雙區(qū)復(fù)合模型，研究體積壓裂直井的滲流特征，并考慮內(nèi)、外區(qū)的應(yīng)力敏感性，模型是針對直井建立的，并沒有推廣到多級壓裂水平井。這些模型忽略裂縫與井筒夾角對產(chǎn)能和壓力行為的影響。

目前，還沒有綜合考慮改造區(qū)影響、儲層應(yīng)力敏感效應(yīng)、井筒與裂縫夾角的壓裂水平井的壓力分析模型。筆者利用線源函數(shù)、攝動變換和拉普拉斯變換，建立考慮SRV改造區(qū)、儲層應(yīng)力敏感效應(yīng)、裂縫和井筒夾角的體積壓裂水平井的不穩(wěn)定數(shù)學(xué)模型，繪制典型的壓力曲線，進(jìn)行流動階段劃分和重要參數(shù)的敏感性分析。

1 計算模型

1.1 物理模型

考慮改造區(qū)的體積壓裂水平井的微地震數(shù)據(jù)見圖1，物理模型見圖2?；炯僭O(shè)條件：

(1)整個油藏被劃分為兩個區(qū)域(見圖1-2)，內(nèi)區(qū)為體積壓裂改造區(qū)(SRV)，外區(qū)為未改造區(qū)，且外區(qū)儲層為無限大地層；

圖1 微地震數(shù)據(jù)Fig.1 Microseismological diagram

圖2 體積壓裂水平井物理模型Fig.2 Physical model of volume-fractured horizontal well with SRV

(2)內(nèi)、外區(qū)各為均質(zhì)單重介質(zhì)，受體積壓裂等作業(yè)影響，內(nèi)區(qū)和外區(qū)介質(zhì)具有不同的初始滲透率、孔隙度和彈性壓縮系數(shù)；

(3)內(nèi)、外區(qū)多孔介質(zhì)滲透率具有應(yīng)力敏感效應(yīng)，且內(nèi)、外區(qū)的滲透率模量相同；

(4)內(nèi)區(qū)存在多條與井筒呈一定角度的有效支撐傾斜裂縫，裂縫完全壓開儲層；

(5)內(nèi)、外區(qū)流體簡化為單相、均質(zhì)微可壓縮流體，流體遵循達(dá)西滲流原理；

(6)裂縫和井筒為無限導(dǎo)流，只在有裂縫的地方進(jìn)行射孔，內(nèi)區(qū)流體先流入裂縫，再由裂縫流入水平井井筒；

(7)滲流過程溫度恒定，忽略重力和毛管力對滲流規(guī)律的影響。

1.2 數(shù)學(xué)模型

致密儲層普遍存在應(yīng)力敏感效應(yīng)，常用的滲透率指數(shù)表達(dá)式為

K=Kie-γ(pi-p),

(1)

式中:Ki為初始滲透率；γ為滲透率應(yīng)力敏感系數(shù)；pi為初始油藏壓力。

考慮滲透率應(yīng)力敏感效應(yīng)的單相徑向流的流動控制方程為

(2)

式中：Cl、Cr分別為流體和儲層巖石的壓縮系數(shù)；Ct為綜合壓縮系數(shù)；r為徑向坐標(biāo)；μ為原油黏度；φ為孔隙度。

因?yàn)棣?Cl,γ?Cr，可以忽略流體和儲層巖石的壓縮系數(shù)，引入量綱一的變量：

外區(qū)不穩(wěn)定滲流方程為

(3)

邊界條件

p2D|rD→∞=0。

初始條件

p2D(rD,0)=0。

內(nèi)區(qū)不穩(wěn)定滲流方程為

(4)

圖3 復(fù)合油藏線源函數(shù)Fig.3 The schematic diagram of the line source in composite reservoir

根據(jù)δ(t)函數(shù)的性質(zhì)，瞬時線源的內(nèi)邊界條件為

(5)

將等式左邊寫成無因次的形式：

(6)

內(nèi)區(qū)初始條件

p1D(rD,0)=0。

內(nèi)、外區(qū)銜接條件

p1D|rD=R1D=p2D|rD=R1D,

(7)

方程(3-4)為強(qiáng)非線性的偏微分方程，需要通過攝動變換求解[7]。引入新的量綱一的量ηjD:

(8)

(9)

(10)

邊界條件

(11)

η1D(rD,0)=η1D(rD,0)=0,

(12)

η1|rD=R1D=η2|rD=R1D,

(13)

(14)

(15)

根據(jù)Pedrosa O A等[7]提出的簡化方法，對方程(9-10)和邊界條件(11-15)分別取零階攝動形式：

(16)

(17)

邊界條件為

(18)

η1D0|rD=R1D=η2D0|rD=R1D,

(19)

(20)

(21)

利用拉氏變換得方程(16-17)的通解為

(22)

將邊界條件(18-21)進(jìn)行拉氏變換，并代入式(22)得：

(23)

(24)

(25)

式中：s為拉氏變量；Ki(x)、Ii(x)(i=0,1)分別為i階虛宗量貝塞爾函數(shù)、i零階貝塞爾函數(shù)；A1、B1、A2、B2為微分方程的通解系數(shù)。

(26)

(27)

對式(27)進(jìn)行拉氏變換得：

(28)

式(28)是雙區(qū)復(fù)合油藏考慮內(nèi)、外區(qū)應(yīng)力敏感效應(yīng)的連續(xù)線源解。假定線源位置的量綱一的坐標(biāo)為(xlD,ylD)，則線源在量綱一坐標(biāo)點(diǎn)(xD,yD)引起的壓力響應(yīng)公式可以寫成一種更通用的形式[20]：

(29)

方程(16-17)為線性方程，零階攝動解為線性解，滿足疊加原理。對每一條裂縫進(jìn)行離散(見圖4)，假設(shè)裂縫條數(shù)為MF，第k條裂縫被劃分為Nk個離散單元，所有裂縫離散單元的總數(shù)為N。根據(jù)疊加原理，所有裂縫離散單元對裂縫單元i中心點(diǎn)處的壓力響應(yīng)為

(30)

圖4 裂縫離散單元

其中，θj為離散單元j與水井井筒夾角。

(31)

春小麥新品系豐產(chǎn)性及增產(chǎn)途徑分析……………………………… 崔國惠，葉 君，吳曉華，王小兵，于美玲，付雅瓊，李元清（1）

(32)

(33)

首先，在拉氏空間下求解式(33),得到井底壓力的零階攝動解；然后，運(yùn)用Duhamel原理，得到考慮井筒存儲效應(yīng)CD和表皮效應(yīng)S的拉氏空間下井底壓力的零解攝動解[24]：

(34)

最后利用Stehfest數(shù)值反演法，求得真實(shí)空間下井底壓力的零解攝動解[25-26]，并用式(8)變換得到井底壓力pwD。

方思冬等[2]建立應(yīng)力敏感儲層多級傾斜裂縫水平井的壓力分析模型，但是沒有考慮近井地帶改造區(qū)(SRV)和外區(qū)物性的差異。Jiang R Z等[20]建立考慮體積壓裂改造區(qū)影響的多級壓裂水平井的壓力分析模型，但是沒有考慮儲層應(yīng)力敏感效應(yīng)、裂縫與井筒之間夾角對壓力的影響。文中模型在內(nèi)、外區(qū)儲層物性取值相同的情況下，退化為方思冬等[2]建立的模型；將應(yīng)力敏感因數(shù)取0，裂縫和井筒之間夾角取π/2時，退化為Jiang R Z等[20]建立的模型。

2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證文中模型的正確性，對比文中模型、文獻(xiàn)[2]模型和文獻(xiàn)[20]模型(見圖5-6)。與文獻(xiàn)[2]模型對比時參數(shù)：M12=ω12=1，LDF=200，LDhalf=100，裂縫條數(shù)MF=3，γD=0.1，水平井筒夾角θ=π/3，不考慮井筒存儲效應(yīng)和表皮效應(yīng)的影響。與文獻(xiàn)[20]模型對比時參數(shù)：M12=1.5，ω12=2，R1D=2 000，LDF=200，LDhalf=100，MF=3，θ=π/2，CD=100，S=0.1，不考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)。由圖5-6可以看出，文中模型的退化計算結(jié)果與文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[20]模型有較好的一致性。

圖5 文中模型與文獻(xiàn)[2]模型結(jié)果Fig.5 Comparison between the model in this paper and that in Fang[2]

圖6 文中模型和文獻(xiàn)[20]模型結(jié)果Fig.6 Comparison between the model in this and that in Jiang R Z[20]

3 流動階段劃分

圖7 應(yīng)力敏感儲層體積壓裂水平井典型壓力曲線響應(yīng)Fig.7 Typical curve of pressure response for volume-fractured horizontal well in stress-sensitivity formation

當(dāng)M12=1.5，ω12=2，R1D=2 000，LDF=200，LDhalf=100，MF=3，γD=0.05，θ=π/3，CD=100，S=0.1時，考慮改造區(qū)影響、應(yīng)力敏感效應(yīng)及裂縫和井筒夾角的壓裂水平井的典型壓力響應(yīng)曲線，可以劃分為9個流動階段(見圖7)。

第1階段為井筒儲集控制流，主要受井筒儲集系數(shù)CD控制，表現(xiàn)為壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線重合且斜率為1的直線。

第2階段為井筒儲集控制流向地層線性流的過渡階段。壓力導(dǎo)數(shù)曲線是一個向上凸起的駝峰，且駝峰大小受井筒儲集系數(shù)和表皮因數(shù)共同控制。

第3階段為內(nèi)區(qū)地層線性流階段(見圖8(a))。受應(yīng)力敏感效應(yīng)影響很小，體積壓裂改造區(qū)流體以垂直裂縫長度的方向流入裂縫，且各條裂縫之間沒有相互干擾。典型特征是壓力導(dǎo)數(shù)曲線的斜率為0.5。

第4階段為內(nèi)區(qū)地層線性流向內(nèi)區(qū)早期徑向流的過渡階段。

第5階段為內(nèi)區(qū)早期徑向流階段(見圖8(b))。應(yīng)力敏感效應(yīng)影響很小，裂縫之間沒有相互干擾，有流體通過裂縫端部流入裂縫，在每條裂縫周圍的流體以徑向流的形式流入裂縫。典型特征是壓力導(dǎo)數(shù)曲線的斜率為0。

第6階段為內(nèi)區(qū)雙徑向流階段(見圖8(c))。裂縫之間開始相互干擾，內(nèi)區(qū)流體流向環(huán)繞水平井筒橢圓區(qū)域。

第7階段為內(nèi)區(qū)擬徑向流階段(見圖8(d))。流體以徑向流的方式流向井筒和裂縫區(qū)域，受內(nèi)區(qū)應(yīng)力敏感效應(yīng)的影響，壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率大于0.5。

第8階段為內(nèi)區(qū)擬徑向流階段向外區(qū)擬徑向流的過渡階段。壓力逐漸由內(nèi)區(qū)向外區(qū)擴(kuò)散，壓力導(dǎo)數(shù)曲線無明顯特征。

第9階段為外區(qū)擬徑向流階段(見圖8(e))。外區(qū)流體以徑向流的方式向內(nèi)區(qū)流動，受應(yīng)力敏感效應(yīng)的影響較大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線值大于M12/2。

圖8 體積壓裂水平井流動階段示意

4 敏感性分析

4.1 應(yīng)力敏感因數(shù)

當(dāng)M12=1.5，ω12=2，R1D=2 000，LDF=200，LDhalf=100，MF=3，θ=π/3，CD=100，S=0.1時，分別取γD為0.01、0.02、0.04、0.06時的壓力動態(tài)曲線(見圖9)。由圖9可以看出，應(yīng)力敏感因數(shù)越大，壓力曲線上升越顯著，且應(yīng)力敏感效應(yīng)對生產(chǎn)后期的影響明顯大于前期的。受應(yīng)力敏感效應(yīng)的影響，內(nèi)區(qū)徑向流的壓力導(dǎo)數(shù)曲線值高于0.5，外區(qū)徑向流的壓力導(dǎo)數(shù)曲線值大于M12/2，且應(yīng)力敏感因數(shù)越大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線值越大。

當(dāng)應(yīng)力敏感因數(shù)增大到一定值時，壓力導(dǎo)數(shù)曲線上升明顯，表現(xiàn)類似封閉邊界的特征。應(yīng)力敏感因數(shù)越大，在單位壓降下，裂縫和致密油儲層的滲透率下降幅度越大，導(dǎo)致儲層滲流能力下降幅度越大，破壞壓裂井的開發(fā)效果。

4.2 改造區(qū)半徑

當(dāng)M12=1.5，ω12=2，γD=0.05，LDF=200，LDhalf=150，MF=3，θ=π/3，CD=100，S=0.1時，分別取R1D為1 000、1 500、2 000、2 500時的壓力動態(tài)曲線(見圖10)。由圖10可以看出，改造區(qū)半徑主要影響內(nèi)區(qū)徑向流的持續(xù)時間和結(jié)束時間，改造區(qū)半徑越大，內(nèi)區(qū)徑向流持續(xù)時間越長，結(jié)束時間越晚。隨改造區(qū)半徑的增大，整個流動區(qū)域的“高滲”區(qū)域面積增大，整個致密油儲層的滲流能力明顯提升，致密儲層得到有效開發(fā)。

4.3 改造效果

當(dāng)R1D=2 000，ω12=2，γD=0.05，LDF=200，LDhalf=100，MF=3，θ=π/3，CD=100，S=0.1時，分別取M12為2、5、10時的壓力動態(tài)曲線見圖11。由圖11可以看出，隨M12增大,內(nèi)區(qū)徑向流結(jié)束時間變早，在相同的改造半徑下，內(nèi)區(qū)壓力波傳播速度變快。M12越大，即內(nèi)區(qū)壓裂改造效果越好，滲流能力越強(qiáng)，內(nèi)區(qū)壓力波傳播速度越快，對采用衰竭式開采的致密油生產(chǎn)是有利的。

圖9 應(yīng)力敏感因數(shù)對壓力動態(tài)的影響Fig.9 The effect of permeability stress sensitivity coefficient on pressure relationship

圖10 改造區(qū)半徑對壓力動態(tài)的影響Fig.10 The effect of SRV radius on pressure relationship

4.4 裂縫與井筒夾角

當(dāng)R1D=2 200，ω12=2，γD=0.02，LDF=200，LDhalf=100，MF=3，CD=100，S=0.1時，分別取θ為π/2、π/3、π/4、π/6、π/8時的壓力動態(tài)曲線(見圖12)(各條裂縫與井筒夾角相同)。由圖12可以看出，當(dāng)夾角在π/3～π/2之間時，裂縫與井筒夾角的變化對壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響很小。當(dāng)夾角小于π/4時，裂縫與井筒夾角的改變對滲流規(guī)律的影響變得明顯，主要影響內(nèi)區(qū)線性流、內(nèi)區(qū)雙徑向流及早期徑向流階段。裂縫與井筒夾角變小，裂縫之間水平間距變小，裂縫之間的干擾變強(qiáng)。在實(shí)際壓裂施工中，應(yīng)盡可能保持主縫與井筒垂直。

圖11 內(nèi)外區(qū)流度比壓力動態(tài)的影響Fig.11 The effect of mobility ratio on pressure relationship

圖12 裂縫與井筒夾角對壓力動態(tài)的影響Fig.12 The effect of fracture dip on pressure relationship

4.5 裂縫長度

當(dāng)R1D=2 200，ω12=2，γD=0.02，LDF=150，MF=3，CD=100，S=0.1，θ=π/3時，分別取LDhalf為70、100、120、150時的壓力動態(tài)曲線(見圖13)。由圖13可以看出，裂縫長度主要影響內(nèi)區(qū)線性流和內(nèi)區(qū)雙徑向流，對其他階段的影響較小。當(dāng)LDhalf小于120時，隨LDhalf增加，兩個階段的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)明顯降低；當(dāng)LDhalf大于120時，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)隨裂縫長度的增加而降低的趨勢變緩。說明增加裂縫長度即增加體積壓裂井的泄油面積，降低總的滲流阻力，但在實(shí)際生產(chǎn)中考慮壓裂成本，裂縫長度存在一個最優(yōu)值。

4.6 裂縫間距

當(dāng)R1D=2 200，ω12=2，γD=0.02，MF=3，CD=100，S=0.1，θ=π/3，LDhalf=100時，分別取LDF為100、150、200、250、300時的壓力動態(tài)曲線(見圖14)。由圖14可以看出，裂縫間距主要影響內(nèi)區(qū)雙徑向流和早期徑向流階段。當(dāng)裂縫條數(shù)和長度一定時，裂縫間距的增大相當(dāng)于泄油面積的增大，同時裂縫間距越大，裂縫之間的干擾越弱，整體滲流阻力也越小，因此壓力和壓力導(dǎo)數(shù)也越小。在其他參數(shù)一定時，增大裂縫間距對致密儲層的生產(chǎn)更有利。

圖13 裂縫長度對壓力動態(tài)的影響Fig.13 The effect of fracture half length on pressure relationship

圖14 裂縫間距對壓力動態(tài)的影響Fig.14 The effect of fracture spacing on pressure relationship

4.7 裂縫條數(shù)

當(dāng)R1D=2 200，ω12=2，γD=0.02，CD=100，S=0.1，θ=π/2，LDhalf=100，LDF=150時，分別取MF為3、5、8、10時的壓力動態(tài)曲線(見圖15)。由圖15可以看出，裂縫條數(shù)幾乎影響內(nèi)區(qū)滲流的每一個階段，并且隨裂縫條數(shù)增加，內(nèi)區(qū)滲流的各個階段的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)變小。在其他條件一定時，裂縫條數(shù)的增加既增加井與油藏的接觸面積，也提高近井地帶的滲流能力，是壓裂增產(chǎn)的重要原因。

圖15 裂縫條數(shù)對壓力動態(tài)的影響

5 結(jié)論

(1)與常規(guī)的多級壓裂水平井壓力分析模型不同，文中模型綜合考慮SRV改造區(qū)和未改造區(qū)儲層物性的差異、內(nèi)外區(qū)儲層的應(yīng)力敏感效應(yīng)，以及裂縫傾角等對體積壓裂水平井的壓力動態(tài)的影響。文中模型退化結(jié)果與文獻(xiàn)的模型具有較好的一致性。

(2)考慮改造區(qū)影響的體積壓裂水平井的完整的滲流階段劃分為9個，分別為井筒儲集控制流、井筒儲集控制流向地層線性流的過渡流、內(nèi)區(qū)地層線性流、內(nèi)區(qū)地層線性流向內(nèi)區(qū)早期徑向流的過渡流、早期徑向流、內(nèi)區(qū)雙徑向流、內(nèi)區(qū)擬徑向流、內(nèi)區(qū)擬徑向流向外區(qū)擬徑向流的過渡流，以及外區(qū)擬徑向流。

(3)應(yīng)力敏感效應(yīng)對生產(chǎn)后期的影響更大，主要影響內(nèi)區(qū)擬徑向流、兩區(qū)之間的過渡流及外區(qū)擬徑向流。隨應(yīng)力敏感因數(shù)增大，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線變得更陡峭，應(yīng)力敏感因數(shù)增大到一定程度時，壓力響應(yīng)表現(xiàn)出類似封閉邊界的特征。

(4)裂縫傾角主要影響改造區(qū)的雙徑向流、內(nèi)區(qū)早期徑向流等階段；裂縫間距主要影響內(nèi)區(qū)地層雙徑向流和早期徑向流階段；裂縫長度主要影響內(nèi)區(qū)地層線性流和雙徑向流階段；裂縫條數(shù)對改造區(qū)的所有流動階段有影響，明顯降低內(nèi)區(qū)各個滲流階段的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)。

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