姜瑞忠， 黃 磊， 崔永正， 范海軍， 劉亞楠， 王小果， 佟 穎

( 1. 中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院，山東 青島 266555； 2. 中國石油天然氣股份有限公司 北京油氣調(diào)控中心，北京 100007； 3. 中國石油化工股份有限公司 石油工程研究院，北京 100101 )

0 引言

水平井比直井能更有效地開發(fā)裂縫性油氣藏，在解析試井研究中，將裂縫性油氣藏視為雙重介質(zhì)，將水平井簡化為線源。王東權(quán)等[1]考慮有效井徑的雙重介質(zhì)建立油藏試井模型，得到產(chǎn)量遞減規(guī)律。李曉平等[2]采用拉氏變換法和疊加原理，推導(dǎo)無限大外邊界和盒狀封閉外邊界雙重介質(zhì)油藏水平井壓力動態(tài)解。鄧英爾等[3]利用橢圓坐標系研究各向異性雙重介質(zhì)油藏，建立水平井開發(fā)兩相流試井模型。Ng M C等[4]運用疊加原理推導(dǎo)封閉外邊界裂縫性油藏的壓力解。Nie R S等[5]考慮基質(zhì)對井筒的供液，建立雙孔雙滲水平井滲流模型。Zhang W等[6]考慮頁巖氣的滲流特點和儲層物性，建立針對頁巖氣藏的四重孔隙數(shù)值模型。王家航等[7]基于點源函數(shù)理論和邊界元思想，建立非均質(zhì)油藏多段壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)壓力分析的半解析模型。董文秀等[8]建立各向異性箱形儲層中被部分射開直井的數(shù)學(xué)模型。史曉東[9-10]對非均質(zhì)性致密油藏進行縫網(wǎng)壓裂，建立產(chǎn)能預(yù)測模型?；谑聚檮┓蹬徘€，李林凱等[11]運用時間矩理論，建立累計流動能力與累計儲存能力圖版評價裂縫網(wǎng)絡(luò)。

人們對復(fù)合油藏水平井的滲流模型進行研究。王曉冬等[12]采用源匯疊加方法，建立復(fù)合油藏水平井的有效井徑模型。石國新等[13]采用Laplace變換和分離變量法，建立均勻介質(zhì)兩區(qū)復(fù)合油藏水平井試井模型，進行相關(guān)實例驗證。Ezulike O等[14]推導(dǎo)線性復(fù)合油藏水平井井底壓力半解析解，分析非均質(zhì)線性復(fù)合油藏中水平井的壓力動態(tài)特征。姜瑞忠等[15]考慮水平井穿透復(fù)合油藏內(nèi)區(qū)建立試井模型，求解內(nèi)、外區(qū)點源解，將點源解沿水平井筒積分得到線源解。吳明錄等[16]建立三重介質(zhì)復(fù)合油藏水平井試井模型，對碳酸鹽巖稠油熱采進行試井分析。Zhang W等[17]考慮吸附和解吸建立復(fù)合煤層氣藏水平井數(shù)學(xué)模型，分析復(fù)合煤層氣藏中水平井生產(chǎn)動態(tài)特征。王海濤等[18]考慮頁巖氣解吸、擴散及內(nèi)區(qū)非達西滲流和外區(qū)達西滲流，建立多重機制下的復(fù)合頁巖氣藏不穩(wěn)定試井模型。

在雙重介質(zhì)油藏的不穩(wěn)定試井分析中，考慮平面非均質(zhì)性和裂縫應(yīng)力敏感效應(yīng)的水平井滲流模型極少。基于Warren-Root模型，筆者考慮基質(zhì)向裂縫的擬穩(wěn)態(tài)竄流和裂縫的應(yīng)力敏感效應(yīng)，建立天然裂縫性復(fù)合油藏的水平井滲流模型，為分析裂縫性復(fù)合油藏水平井壓力動態(tài)提供指導(dǎo)。

1 物理模型

天然裂縫性復(fù)合油藏物理模型見圖1，油藏被分為內(nèi)、外兩個區(qū)，平面上呈徑向復(fù)合形態(tài)，內(nèi)、外區(qū)由基質(zhì)系統(tǒng)和天然裂縫系統(tǒng)構(gòu)成。

假設(shè)條件：(1)油藏厚度為h，原始地層壓力為pi；(2)內(nèi)區(qū)半徑為r1，外區(qū)無限大，儲層頂面和底面封閉；(3)內(nèi)、外區(qū)儲層物性和流體性質(zhì)不同，裂縫系統(tǒng)具有應(yīng)力敏感效應(yīng)；(4)內(nèi)、外區(qū)流體微可壓縮；(5)基于Warren-Root模型(見圖2)，考慮基質(zhì)與裂縫之間存在擬穩(wěn)態(tài)竄流，流體由基質(zhì)流向裂縫，再由裂縫流入井筒；(6)內(nèi)區(qū)中間水平井視為線源，以定產(chǎn)量生產(chǎn)。

圖1 裂縫性復(fù)合油藏物理模型

圖2 Warren-Root模型示意Fig.2 Schematic diagram of Warren-Root model

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 模型建立

引入量綱一的變量，得到裂縫性復(fù)合油藏的數(shù)學(xué)模型，變量定義見表1。其中，pmj為基質(zhì)系統(tǒng)壓力；pfj為裂縫系統(tǒng)壓力；C為井筒儲存系數(shù)；kmj為基質(zhì)滲透率；kfhij為裂縫水平方向原始滲透率；kfvij為裂縫垂直方向原始滲透率；μj為原油黏度；φfj為裂縫系統(tǒng)孔隙度；Ctfj為裂縫系統(tǒng)壓縮系數(shù)；φmj為基質(zhì)系統(tǒng)的孔隙度；Ctmj為基質(zhì)系統(tǒng)的壓縮系數(shù)；t為時間；γ為滲透率模量；qsc為水平井產(chǎn)量；αj為形狀因子；L為水平井半長；x、y、z為空間坐標；r為任意點到儲層中心的徑向距離；ε為垂向距離；j=1，2，1表示內(nèi)區(qū)，2表示外區(qū)。

表1 變量定義

內(nèi)區(qū)數(shù)學(xué)模型：

(1)

(2)

外區(qū)數(shù)學(xué)模型：

(3)

(4)

內(nèi)邊界條件為

(5)

側(cè)向無限大外邊界條件為

(6)

封閉外邊界條件為

(7)

內(nèi)、外區(qū)分界面條件為

pf1D(r1D,tD)=pf2D(r1D,tD),

(8)

(9)

針對裂縫系統(tǒng)，對裂縫壓力進行代換得

(10)

式中：ξfjD為攝動變換函數(shù)，j=1，2。

利用攝動處理方法消除方程的非線性得

(11)

(12)

(13)

式中：ξfjDn為n階攝動變換函數(shù)，n=0,1,2,…。

將式(11-13)代入內(nèi)、外區(qū)數(shù)學(xué)模型及輔助方程，取0階攝動，消除方程非線性，得到數(shù)學(xué)模型：

內(nèi)區(qū)

(14)

外區(qū)

(15)

輔助方程

(16)

2.2 模型求解

對式(14-16)進行關(guān)于tD的Laplace變換，變換法則為

(17)

式中：s為Laplace變量。

對式(17)進行關(guān)于zD的有限Fourier余弦變換得

(18)

經(jīng)過變換消除tD和zD得到齊次方程組，對竄流項方程整理合并得

(19)

式中：

(20)

式中：

(21)

(22)

(23)

(24)

根據(jù)修正的Bessel方程的性質(zhì)，求得內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)壓力解為

(25)

(26)

式中：I0、I1分別為零階和一階第一類虛宗量貝塞爾函數(shù)；K0、K1分別為零階和一階第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)。

將式(25)進行有限Fourier余弦逆變換，得到拉式空間下內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)壓力解為

(27)

式(27)為雙重介質(zhì)復(fù)合油藏中的點源在內(nèi)區(qū)的壓力分布，點源解沿著水平井筒積分，得到雙重介質(zhì)復(fù)合油藏水平井井底壓力解為

(28)

在拉式空間下，運用Duhamel原理并考慮井筒儲集效應(yīng)和表皮效應(yīng)[19]，得到水平井無因次壓力解為

(29)

式中：S為表皮因數(shù)。

采用Stehfest數(shù)值反演方法[20]，得到水平井壓力動態(tài)解為

(30)

(31)

將式(10) 代入式(30)，得到考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)的井底壓力動態(tài)解為

(32)

3 模擬結(jié)果

3.1 典型曲線特征

采用數(shù)值積分和Stehfest數(shù)值反演方法，得到量綱一的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)隨量綱一的時間的變化關(guān)系(見圖3)。初始參數(shù)為ω1=ω2=0.2，λ1=10-2，λ2=10-9，r1D=200，zwD=zD=0.25，CD=10-4，S=1。

根據(jù)曲線形態(tài)劃分9個流動階段：(1)井筒儲存階段，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線重疊呈斜率為1的直線；(2)早期過渡流階段，受表皮因數(shù)的影響，壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈 “駝峰”狀；(3)早期徑向流階段，主要受儲層厚度的影響，流體垂直水平井筒徑向流動，壓力導(dǎo)數(shù)曲線表現(xiàn)為0.25L1D水平線；(4)線性流階段，裂縫中的流體線性流向井筒，壓力導(dǎo)數(shù)曲線表現(xiàn)出斜率為0.5的直線；(5)內(nèi)區(qū)基質(zhì)向裂縫竄流階段，基質(zhì)中的流體流向裂縫，壓力導(dǎo)數(shù)曲線表現(xiàn)為“凹子”；(6)內(nèi)區(qū)中期徑向流階段，內(nèi)區(qū)流體在水平面上徑向流向井筒，壓力導(dǎo)數(shù)曲線表現(xiàn)為0.5水平線；(7)內(nèi)區(qū)向外區(qū)過渡流階段；(8)外區(qū)基質(zhì)向裂縫竄流階段，壓力導(dǎo)數(shù)曲線表現(xiàn)為“凹子”；(9)晚期擬徑向流階段，由于存在應(yīng)力敏感效應(yīng)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)小幅度上翹。

3.2 參數(shù)敏感性分析

3.2.1 滲透率模量

滲透率模量對井底壓力動態(tài)的影響見圖3。由圖3可以看出，由于天然裂縫存在應(yīng)力敏感性，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線在晚期擬徑向流階段出現(xiàn)上翹，應(yīng)力敏感性越強，后期上翹的幅度越大。隨滲透率模量增大，裂縫滲透率減小，流體在儲層中流動更困難，導(dǎo)致壓降增大。

3.2.2 裂縫儲容系數(shù)

內(nèi)、外區(qū)裂縫儲容系數(shù)對井底壓力動態(tài)的影響見圖4和圖5。由圖4可以看出，隨內(nèi)區(qū)裂縫儲容系數(shù)增大，早期徑向流持續(xù)時間增加，線性流階段和內(nèi)區(qū)基質(zhì)向裂縫的竄流階段出現(xiàn)延遲，竄流階段的“凹子”最低點升高。內(nèi)區(qū)儲容系數(shù)越大，裂縫儲容能力越強，裂縫中原始儲存的流體流向井筒持續(xù)時間增加，基質(zhì)儲容能力下降，導(dǎo)致基質(zhì)向裂縫的竄流量減小。由圖5可以看出，隨外區(qū)裂縫儲容系數(shù)增大，內(nèi)區(qū)向外區(qū)過渡流階段持續(xù)時間增加，外區(qū)基質(zhì)向裂縫的竄流階段出現(xiàn)更晚，竄流階段的“凹子”最低點升高。因此，儲容系數(shù)決定竄流的時間和強度。

圖3 滲透率模量對壓力動態(tài)曲線的影響Fig.3 Effect of γD on pressure dynamic curves

圖4 內(nèi)區(qū)儲容系數(shù)對壓力動態(tài)曲線的影響Fig.4 Effect of ω1 on pressure dynamic curves

圖5 外區(qū)儲容系數(shù)對壓力動態(tài)曲線的影響Fig.5 Effect of ω2 on pressure dynamic curves

圖6 內(nèi)區(qū)竄流系數(shù)對壓力動態(tài)曲線的影響Fig.6 Effect of λ1 on pressure dynamic curves

3.2.3 竄流系數(shù)

內(nèi)、外區(qū)竄流系數(shù)對井底壓力動態(tài)的影響見圖6和圖7。由圖6可以看出，內(nèi)區(qū)竄流系數(shù)主要影響內(nèi)區(qū)基質(zhì)向裂縫竄流階段和內(nèi)區(qū)中期徑向流階段，內(nèi)區(qū)竄流系數(shù)越大，內(nèi)區(qū)基質(zhì)向裂縫的竄流階段出現(xiàn)越早，中期徑向流持續(xù)時間增加；內(nèi)區(qū)竄流系數(shù)較小時，內(nèi)區(qū)中期徑向流階段可能消失。由圖7可以看出，外區(qū)竄流系數(shù)主要影響內(nèi)區(qū)向外區(qū)過渡流階段和外區(qū)基質(zhì)向裂縫竄流階段，外區(qū)竄流系數(shù)越大，外區(qū)基質(zhì)向裂縫的竄流階段出現(xiàn)越早，晚期擬徑向流階段出現(xiàn)延遲；竄流系數(shù)越小，基質(zhì)向裂縫的竄流越困難，竄流階段出現(xiàn)更晚，影響徑向流階段的出現(xiàn)。

3.2.4 內(nèi)外區(qū)流度比

內(nèi)外區(qū)流度比對井底壓力動態(tài)的影響見圖8。由圖8可以看出，內(nèi)外區(qū)流度比越大，內(nèi)區(qū)滲流性質(zhì)越好，外區(qū)滲流性質(zhì)越差，外區(qū)流動需要更大的壓差，導(dǎo)致壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹。隨流度比增大，流體在外區(qū)流動更困難，內(nèi)區(qū)向外區(qū)過渡流階段持續(xù)更久，外區(qū)竄流階段和晚期擬徑向流階段出現(xiàn)更晚。

圖7 外區(qū)竄流系數(shù)對壓力動態(tài)曲線的影響Fig.7 Effect of λ2 on pressure dynamic curves

圖8 內(nèi)外區(qū)流度比對壓力動態(tài)曲線的影響Fig.8 Effect of M12 on pressure dynamic curves

3.2.5 內(nèi)區(qū)半徑

內(nèi)區(qū)半徑對井底壓力動態(tài)的影響見圖9。由圖9可以看出，內(nèi)區(qū)半徑主要影響中期徑向流之后的流態(tài)，內(nèi)區(qū)半徑擴大使內(nèi)區(qū)中期徑向流的持續(xù)時間增加，壓力波傳到外區(qū)的時間延長，內(nèi)區(qū)向外區(qū)過渡流階段和外區(qū)基質(zhì)向裂縫竄流階段出現(xiàn)更晚。

3.2.6 水平井垂向位置

水平井垂向位置對井底壓力動態(tài)的影響見圖10。由圖10可以看出，水平井垂向位置主要影響內(nèi)區(qū)早期徑向流階段。早期徑向流是垂直井筒平面的徑向流，水平井越靠近儲層中央，早期徑向流流動半徑越大，壓力波傳到邊界的時間越晚，早期徑向流階段持續(xù)的時間越長。

圖9 內(nèi)區(qū)半徑對壓力動態(tài)曲線的影響Fig.9 Effect of r1D on pressure dynamic curves

圖10 水平井垂向位置對壓力動態(tài)曲線的影響Fig.10 Effect of zwD on pressure dynamic curves

4 結(jié)論

(1)考慮基質(zhì)向裂縫的擬穩(wěn)態(tài)竄流、天然裂縫的應(yīng)力敏感效應(yīng)、井筒儲集效應(yīng)及表皮效應(yīng)，建立裂縫性復(fù)合油藏的數(shù)學(xué)模型，運用Duhamel原理并采用有限Fourier余弦變換、攝動原理及Laplace變換等方法求解模型，得到內(nèi)區(qū)點源解和線源解。

(2)采用Stehfest數(shù)值反演方法對模型求解，得到井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線，劃分9個流動階段，分別為井筒儲存階段、早期過渡流階段、早期徑向流階段、線性流階段、內(nèi)區(qū)基質(zhì)向裂縫竄流階段、內(nèi)區(qū)中期徑向流階段、內(nèi)區(qū)向外區(qū)過渡流階段、外區(qū)基質(zhì)向裂縫竄流階段及晚期擬徑向流階段。

(3)應(yīng)力敏感性越強，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹幅度越大；裂縫儲容系數(shù)越大，內(nèi)、外區(qū)竄流階段出現(xiàn)越早，竄流量越小，裂縫系統(tǒng)壓降越大；竄流系數(shù)越大，竄流階段出現(xiàn)越早；內(nèi)外區(qū)流度比越大，內(nèi)區(qū)向外區(qū)過渡流階段持續(xù)越久，外區(qū)竄流階段和晚期擬徑向流階段出現(xiàn)越晚；水平井垂向位置和內(nèi)區(qū)半徑分別影響早期徑向流和中期徑向流的持續(xù)時間。

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