張智強(qiáng) ，蔣慶東，陳垂針 ，江 華?

1蘇州大學(xué)物理與光電能源學(xué)部，蘇州，215006 2長沙理工大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，長沙，410076 3斯德哥爾摩大學(xué)物理系，瑞典斯德哥爾摩，10691 4香港科技大學(xué)物理系，香港九龍，清水灣5蘇州大學(xué)高等研究院，蘇州，215006

目 錄

I.引言101

II.外爾半金屬 103

A.手性反常 104

B.外爾半金屬在磁場中的朗道能級 106

C.外爾半金屬的貝里曲率 107

III.無序?qū)ν鉅柊虢饘俚挠绊?109

A.量子極限下外爾半金屬的負(fù)磁阻 109

1.模型與方法 109

2.半經(jīng)典玻爾茲曼輸運(yùn)理論 110

3.數(shù)值結(jié)果 111

4.討論和結(jié)論 113

B.第一類外爾半金屬中的無序與金屬–絕緣體相變 113

1.背景與主要結(jié)果 113

2.自洽玻恩近似 115

C.第二類外爾半金屬在無序條件下的相圖 116

1.第二類外爾半金屬背景簡介 116

2.模型和干凈樣品的相圖 117

3.轉(zhuǎn)移矩陣的數(shù)值結(jié)果 118

4.自洽玻恩近似 120

IV.外爾半金屬中拓?fù)銲mbert-Fedorov效應(yīng) 120

A.背景

120

B.weyl半金屬體系中的IF位移 121

C.半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程 123

D.IF位移導(dǎo)致的反常速度 123

E.總結(jié) 124

V.外爾半金屬中單雜質(zhì)波包散射效應(yīng) 125

A.背景 125

B.手性保護(hù)位移 126

C.半經(jīng)典分析 126

D.波包散射 127

VI.總結(jié) 128

致 謝 128

參考文獻(xiàn) 128

I.引言

因?yàn)榱孔踊魻栃?yīng)[1]的發(fā)現(xiàn)，物理學(xué)家認(rèn)識到一種不能用朗道的二級相變理論來解釋的相變。這類相變中并沒有發(fā)生對稱性破缺，但是卻有明顯的物理特性的變化[2]。而后物理學(xué)家將拓?fù)涞母拍钜氲轿锢韺W(xué)中，完美的解釋了量子化的霍爾平臺[3]，并在此基礎(chǔ)上建立了一套完整的絕緣體拓?fù)鋺B(tài)理論?；魻柕ぬ岢隽肆孔臃闯；魻栃?yīng)的設(shè)想使體系擺脫了對磁場的要求[4]。2005年，Kane與 Mele提出在石墨烯體系中引入內(nèi)稟自旋軌道耦合（σ軌道與π軌道之間的混合[5]）可以產(chǎn)生量子自旋霍爾效應(yīng)[6]，進(jìn)而使得人們認(rèn)識到了制造低功耗甚至無功耗自旋電子學(xué)器件是完全可行的?，F(xiàn)在與拓?fù)鋺B(tài)相關(guān)的領(lǐng)域已經(jīng)成為物理學(xué)的一個(gè)重要研究方向[7?8]。

狄拉克在滿足協(xié)變以及相對論的情況下給出了自旋為?/2的粒子所滿足的方程，即我們熟知的狄拉克方程，外爾在此基礎(chǔ)上得到了滿足手征要求的外爾費(fèi)米子所滿足的外爾方程。這些方程描述的粒子原本是高能領(lǐng)域的概念，但在石墨烯等材料被成功制備并被大量研究后，凝聚態(tài)物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)：既然我們可以用準(zhǔn)粒子激發(fā)模擬狄拉克費(fèi)米子[9?10]，那為什么不能用材料產(chǎn)生各類準(zhǔn)粒子激發(fā)使得這些準(zhǔn)粒子滿足相應(yīng)粒子的基本方程，這樣我們就可以研究這些原本是高能領(lǐng)域的基本粒子。在高能中能標(biāo)非常高，這使得產(chǎn)生基本粒子需要耗費(fèi)巨大的能量，而材料中低能標(biāo)下的有效理論與高能標(biāo)下的行為竟然可以如此地一致，對它們的研究將大大節(jié)省實(shí)驗(yàn)資源與人力成本。我們所知的三類費(fèi)米子包括狄拉克費(fèi)米子、外爾費(fèi)米子、馬約拉納費(fèi)米子[11]，它們最近分別在真實(shí)材料中的準(zhǔn)粒子中激發(fā)“產(chǎn)生”[9,12?13]。

為了實(shí)現(xiàn)外爾費(fèi)米子，2011年南京大學(xué)的萬賢綱等人率先在凝聚態(tài)體系中提出了外爾半金屬的概念[14]。 隨后在物理所翁紅明等人 TaAs的理論預(yù)言[15]指導(dǎo)下，外爾半金屬被實(shí)驗(yàn)證實(shí)[16?17]。在固體物理中我們根據(jù)帶隙的有無將材料分為導(dǎo)體和絕緣體。但如果我們考慮一個(gè)體系存在能帶在動(dòng)量空間的線性交叉，該體系將區(qū)別于絕緣體和金屬，這是因?yàn)樵诮徊纥c(diǎn)體系態(tài)密度接近于零，但體系又不存在帶隙。因此如果存在滿足外爾方程的準(zhǔn)粒子激發(fā)，并且具有半金屬特性[12]，該體系就被稱為外爾半金屬。

因此，理論上為了獲得外爾半金屬，只要讓兩個(gè)非簡并的能帶線性交叉即可。而同時(shí)存在時(shí)間反演對稱和空間反演對稱會(huì)提高能帶在高對稱方向的簡并度，這預(yù)示著需要尋求一些特殊的結(jié)構(gòu)使得體系的對稱性降低，從而實(shí)現(xiàn)非簡并交叉的能帶，使得體系處于拓?fù)浞瞧接沟臓顟B(tài)（破缺空間反演對稱的體系至少存在四個(gè)外爾點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)的手性均滿足|C|=1,而破缺時(shí)間反演[18]，只能產(chǎn)生一對外爾點(diǎn)[19]）。除了第一類外爾半金屬，極度破壞洛倫茲規(guī)范不變性的外爾半金屬也被提出[20]，它們被稱為第二類外爾半金屬。這一體系在理論提出后很快被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[21]。我們知道空間中不滿足洛倫茲變換的粒子是不能穩(wěn)定存在的，但是真實(shí)材料中準(zhǔn)粒子激發(fā)并不需要滿足洛倫茲不變性，這就使得凝聚態(tài)物理學(xué)家能夠研究這一類高能領(lǐng)域所不存在的準(zhǔn)粒子激發(fā)。

外爾半金屬最重要的特點(diǎn)之一就是手征反常[22?23]，即當(dāng)電場與磁場平行時(shí)，手性粒子并不守恒，一種手性外爾費(fèi)米子會(huì)轉(zhuǎn)化成另一種手性費(fèi)米子，而這在輸運(yùn)中將表現(xiàn)出非常不同于拓?fù)浣^緣體的特性：負(fù)磁阻效應(yīng)[24?26,50]、線性磁阻[27]和手征磁效應(yīng)。并且外爾半金屬的另一個(gè)重要特點(diǎn)為表面態(tài)不連續(xù)，而且表現(xiàn)為兩段費(fèi)米弧[28]。費(fèi)米弧上的每一個(gè)點(diǎn)都是拓?fù)浞瞧接沟?，外爾點(diǎn)受拓?fù)浔Ｗo(hù)，這使得外爾半金屬很穩(wěn)定[29]，只有當(dāng)兩個(gè)外爾點(diǎn)混合成為一個(gè)狄拉克費(fèi)米子后帶隙才能被打開[30]。這種受拓?fù)浔Ｗo(hù)的體系一般都比較穩(wěn)定，而材料特性的穩(wěn)定性一直是人們追求的，這也是拓?fù)鋺B(tài)受到大量關(guān)注的原因。

輸運(yùn)特性是拓?fù)洳牧献钪匾奈镄灾?，它們對發(fā)展量子計(jì)算、低功耗器件、以及介觀邏輯器件都有重要意義。在特定條件下，拓?fù)鋺B(tài)材料會(huì)表現(xiàn)出完全不同的輸運(yùn)結(jié)果，如量子自旋霍爾效應(yīng)會(huì)產(chǎn)生量子化的縱向電導(dǎo)平臺。雖然這些平臺不需要強(qiáng)磁場條件，但是因?yàn)閷ν讼喔珊苊舾衃31]，量子化現(xiàn)象并不能像量子霍爾效應(yīng)那樣在大量破壞時(shí)間反演的雜質(zhì)存在以及宏觀樣品中被觀測到。在拓?fù)浣^緣體領(lǐng)域，人們提出了拓?fù)浒驳律^緣體的概念[32?33]，即原本體系處于拓?fù)淦接箲B(tài)，但是隨著無序的引入，系統(tǒng)發(fā)生拓?fù)湎嘧?，從絕緣體相進(jìn)入拓?fù)浞瞧接瓜?。繼續(xù)增大無序，所有的電子進(jìn)入局域態(tài)，體系進(jìn)入絕緣體相[34]。 通過以上分析，可以預(yù)期外爾半金屬在不同無序條件下會(huì)出現(xiàn)不一樣的新的輸運(yùn)性質(zhì)，因?yàn)檎鎸?shí)材料必然存在一定的無序效應(yīng)，因此研究無序?qū)ν鉅柊虢饘俚挠绊懯呛鼙匾?。有關(guān)無序?qū)ν負(fù)鋺B(tài)影響的更多介紹可參考文獻(xiàn) [35]。本篇綜述中我們將介紹外爾半金屬在無序下的輸運(yùn)[36]以及無序存在時(shí)第一類外爾[37?38]半金屬以及第二類外爾半金屬的相圖[39]，并且分析了無序誘導(dǎo)的各類相變。我們也將回顧外爾半金屬中的Imbert-Fedorov位移，及其潛在應(yīng)用[40?41]。最后我們介紹通過引入散射時(shí)的手性保護(hù)位移抑制大角散射這一機(jī)制，解釋外爾半金屬中，超高載流子遷移率的物理起源[146]。

本綜述分為五部分，第一部分我們介紹和外爾半金屬基本概念和輸運(yùn)相關(guān)的背景知識。第二部分我們介紹無序?qū)ν鉅柊虢饘俚挠绊?，包括量子極限下的輸運(yùn)特性，第一類和第二類外爾半金屬的相圖。第三部分，我們展示外爾半金屬中的IF位移及其潛在應(yīng)用。第四部分，我們通過引入手性保護(hù)位移給出了外爾半金屬中超高載流子遷移率問題的一種可能解釋。最后我們給出一個(gè)簡單的總結(jié)。需要指出的是本綜述側(cè)重于我們過去完成工作領(lǐng)域的研究進(jìn)展，關(guān)于這一領(lǐng)域的優(yōu)秀綜述有很多，有關(guān)外爾半金屬領(lǐng)域的更多背景可參考綜述文獻(xiàn)[25?27,42?50]。

II.外爾半金屬

薛定諤方程不滿足相對論要求（不滿足協(xié)變要求）。協(xié)變性原理要求時(shí)間和空間是平權(quán)，因此物理學(xué)家在薛定諤方程的基礎(chǔ)上，提出了滿足協(xié)變要求的克萊因–戈登方程（K-G方程）：

盡管滿足相對論要求，K-G方程還是存在一定的缺陷。首先 K-G產(chǎn)生的量子態(tài)做內(nèi)積時(shí)與時(shí)間有關(guān)，從而導(dǎo)致概率不守恒，其次K-G方程是時(shí)間的二階方程，求解需要時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)的量化關(guān)系才能得到完整的結(jié)果。

狄拉克分析K-G方程的問題所在是因?yàn)闀r(shí)間的二階導(dǎo)，如果建立一個(gè)時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)，并且滿足協(xié)變要求，這些問題就迎刃而解了，這就是描述?/2自旋的費(fèi)米子滿足的方程

其中γμ是γ矩陣。因?yàn)樾枰x四個(gè)矩陣，很顯然2×2的三個(gè)泡利矩陣并不夠。而通過群論的計(jì)算，我們選擇滿足要求并且維度最低，即4×4的情況。從有限群的方面分析，用γμ(μ=0,1,2,3)，作為生成元，群元是有限的，共有32個(gè)，這三十二個(gè)群元構(gòu)成一個(gè)狄拉克群。通過分類我們發(fā)現(xiàn)共有17類。按照群中元素的總和等于群表示所有元素的數(shù)量，我們得到兩種情況：12個(gè)一維表示加5個(gè)二維表示，或16個(gè)一維表示加1個(gè)四維表示?？紤]到需要滿足γ矩陣的對易關(guān)系，四維群表示才是滿足要求的，這是因?yàn)槎S只能給出三個(gè)σ矩陣滿足對易關(guān)系，而一維群表示并不滿足對易關(guān)系。

為了更好的描述極端相對論粒子，我們把狄拉克方程寫成塊對角形式:

這里采用外爾表象，m代表質(zhì)量，因?yàn)槲鍌€(gè)γ矩陣的定義有一定的任意性，我們經(jīng)常采用的有狄拉克表象，外爾表象與馬約拉納表象[51]，這三種表象下分別可以更簡便地描述狄拉克費(fèi)米子，外爾費(fèi)米子與馬約拉納費(fèi)米子。這些表象都是彼此等價(jià)的，并且可以通過群論的手段加以證明。

當(dāng)質(zhì)量m=0的時(shí)候，方程變?yōu)?/p>

這就是外爾方程，即外爾費(fèi)米子滿足的方程。通過這個(gè)方程可以進(jìn)一步按照量子場論中投影算符[52]的定義或采用自旋在動(dòng)量的投影C=p·σ/p來定義手性。我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)外爾方程和投影算符對易，因此外爾費(fèi)米子具有特定的手性。值得注意的是左右手性的定義是相對的，如果說滿足Eq.(4)中下式的外爾費(fèi)米子稱為左手外爾費(fèi)米子，那么滿足Eq.(4)中上式的外爾費(fèi)米子是右手外爾費(fèi)米子。下面我們將討論m=0的情況下狄拉克費(fèi)米子與外爾費(fèi)米子的所滿足方程的區(qū)別，它們分別滿足：

從上兩式我們不難發(fā)現(xiàn)，Eq.(5)中不同手性的費(fèi)米子出現(xiàn)在動(dòng)量空間的同一點(diǎn)，而外爾半金屬的兩個(gè)外爾點(diǎn)在動(dòng)量空間是分開的，這就是為什么狄拉克費(fèi)米子不具有手性，而外爾費(fèi)米子具有手性。因此定義低能激發(fā)滿足HW的材料為外爾半金屬。通過在動(dòng)量空間計(jì)算外爾半金屬和狄拉克半金屬的貝里曲率(Berry Curvature)，外爾半金屬的每一點(diǎn)都具有非零的貝里曲率(正負(fù)對應(yīng)不同手性)，而狄拉克半金屬每一點(diǎn)的貝利曲率都是零。貝里曲率矢量可以看作動(dòng)量空間中的磁場，由于?k有磁單極形式，外爾點(diǎn)可以看作動(dòng)量空間中的磁單極子。而且對于外爾半金屬，兩個(gè)磁單極是手性相反并且空間分離的。另外通過貝里曲率和對稱性分析我們可以知道，為什么外爾半金屬需要破缺時(shí)間反演或空間反演對稱。因?yàn)橹挥性谶@個(gè)情況下，貝利曲率才不為0。貝里曲率在空間反演下的滿足 ?(k)=?(?k),時(shí)間反演下滿足 ?(k)=??(?k)，當(dāng)兩個(gè)對稱性同時(shí)存在時(shí)，很顯然存在?(k)=??(k)，貝里曲率必然為零。因此只有破缺掉一種對稱性或兩種對稱性全部破缺，這樣才有可能獲得非零的貝里曲率，從而才可能獲得外爾半金屬。

圖1.(a)(b)破缺空間或時(shí)間反演對稱性狄拉克錐發(fā)生簡并劈裂，產(chǎn)生兩個(gè)外爾點(diǎn)，兩個(gè)外爾點(diǎn)通過費(fèi)米弧連接。(c)對于kx=k1表示兩個(gè)外爾點(diǎn)外的切片，無邊緣態(tài)，拓?fù)淦接埂?e)表示kx=k0的切片，因?yàn)閮蓚€(gè)外爾點(diǎn)之間的切片存在非0陳數(shù)，所以k0拓?fù)浞瞧接?，具有邊緣態(tài)。圖片來自文獻(xiàn)[28]。

雖然外爾半金屬在磁性材料中（破壞時(shí)間反演對稱的體系）中被預(yù)測[14]，但是由于表征困難，這些材料到目前為止仍并沒有完全被實(shí)驗(yàn)證實(shí)。因此人們將目標(biāo)轉(zhuǎn)向了破缺空間反演對稱的材料。2015年翁紅明等人提出的TaAs[15,44]很快被中科院以及普林斯頓大學(xué)的課題組通過角分辨光電子能譜觀察到了線性色散和費(fèi)米弧結(jié)構(gòu)[16?17]，從而驗(yàn)證了TaAs就是外爾半金屬。

圖1展示了外爾半金屬的基本能帶特征，一個(gè)狄拉克點(diǎn)通過對稱破缺產(chǎn)生兩個(gè)具有手征的外爾點(diǎn)。外爾點(diǎn)附近體能帶具有線性色散結(jié)構(gòu)，而表面對應(yīng)連接兩外爾點(diǎn)的費(fèi)米弧表面態(tài)（一段不連續(xù)的費(fèi)米面）。圖(c)～(e)通過切片演示了外爾半金屬拓?fù)淠軒У奈锢砥鹪?，兩個(gè)不同手性外爾點(diǎn)之間的任意切片kx=k1存在非0的陳數(shù)，因此有無能隙的邊緣態(tài)激發(fā)，具有拓?fù)浞瞧接沟哪軒ЫY(jié)構(gòu)。而外爾點(diǎn)外的切片kx=k0陳數(shù)為0，不存在無帶隙邊緣態(tài)激發(fā)，因此能帶結(jié)構(gòu)是拓?fù)淦接沟?。這些拓?fù)浞瞧接沟倪吘墤B(tài)在動(dòng)量空間連續(xù)分布構(gòu)成體系受拓?fù)浔Ｗo(hù)的表面態(tài)。外爾半金屬獨(dú)特的能帶結(jié)構(gòu)將導(dǎo)致許多新奇的物性及輸運(yùn)性質(zhì)，以下我們做簡單介紹。

A.手性反常

我們將簡單介紹一下外爾半金屬的手征反常以及由此導(dǎo)致的一些輸運(yùn)中的反常特性[24]。材料中的手性反常最先由 Nielsen和 Ninomiya提出[53]。具體表現(xiàn)為：當(dāng)電場和磁場平行于電場誘導(dǎo)的電流時(shí)，體系的手征費(fèi)米子不再守恒。相應(yīng)的，定量關(guān)系如下：

其中Nc=(N+?N?)/2為手性荷的數(shù)目。體系雖然手征荷不守恒，但是總粒子數(shù)仍然守恒。我們遵照文獻(xiàn)[62]的思路通過場論的方法簡單推導(dǎo)手性反常這一項(xiàng)的產(chǎn)生及其隱含的物理效應(yīng)。需要指出的是，手征反常不僅可以采用場論的方法[56]，玻爾茲曼方程[54]也可以幫助我們獲得手性反常。場論下給出作用量[55]：

其中為?的狄拉克共軛，第一項(xiàng)表示引入電磁場后的廣義動(dòng)量，第二項(xiàng)為質(zhì)量，第三項(xiàng)為軸矢量。若bμ=(b0,b),則b給出兩個(gè)手性相反的外爾點(diǎn)在動(dòng)量空間的矢量差值，而b0給定兩個(gè)外爾點(diǎn)的能量上的差值[55]。 通過此拉氏密度我們可以得到與Eq.(8)相對應(yīng)的哈密頓量密度，這不僅可以驗(yàn)證軸矢量的物理意義，也能夠證實(shí)這個(gè)作用量就是描述外爾半金屬的作用量。其中γμ是通常定義的四維γ矩陣，而γ5=iγ0γ1γ2γ3。 對應(yīng)外爾費(fèi)米子，我們令m=0，作路徑積分，得到配分函數(shù)形式：

為了檢驗(yàn)手性流(chiral current)在手性變換下是否守恒，首先對作用量做手性變換，場算符在手征變換[58]下的結(jié)果：

注意到 [γ5,γμ]+=0,其中θ(x)很小，可以認(rèn)為這個(gè)對稱操作對應(yīng)李群,右下角的正號表示場算符滿足費(fèi)米子的對易關(guān)系，最后定義協(xié)變微分Dμ=?u+iAμ。 令?μ作用在右側(cè)的 e?iθ(x)γ5?會(huì)產(chǎn)生兩項(xiàng)，將θ寫成如下形式偏微分作用后的結(jié)果為左側(cè)的狄拉克共軛被手征變換的結(jié)果替代后需要和γμ做一次位置交換，這會(huì)將γ5變?yōu)?γ5。當(dāng)θ(x)=2bμxμ=2(b·r?b0t)，作用量的軸矢量被消除，從而獲得一個(gè)無質(zhì)量狄拉克場的作用量

不難證明，我們將軸矢量消除的過程中，手性流以及總流都是守恒的[22]。手性變換只是移動(dòng)兩個(gè)外爾點(diǎn)的的動(dòng)量位置和能量，并且可以將兩個(gè)手性相反的外爾費(fèi)點(diǎn)合并成一個(gè)狄拉克點(diǎn)。為了最終展示量子條件下手性變換的結(jié)果，我們還需要檢驗(yàn)測度在手性變換下如何改變，容易得到：

行列式部分表示手性變換導(dǎo)致的測度變化，稱為 Jacobian[56]，并且有 ?Sθ=Tr[θ(x)γ5]. 其中求跡并不是單純對γ5直接求跡，而是對所有量子態(tài)的平均的積分或求和[22]，變換后的整個(gè)配分函數(shù)為

我們希望檢驗(yàn)電磁場Aμ和手性變換θ(x)是否存在耦合，若存在耦合它們的耦合形式如何？我們選取?n為作用量γμDν的本征態(tài)，滿足方程γμDν?n=?n?n和采用 Fujikawa熱核規(guī)范化[56]從而解決的求和問題。為了使得求和不至于發(fā)散，需要在求和公式內(nèi)引入衰減因子，并且已知電磁場張量Fμν=?μxν??νxμ，詳細(xì)過程可見文獻(xiàn)[56]。最終解得：

從而可以得到手型變換下的配分函數(shù)，根據(jù)諾特定理[52]：

此時(shí)手性流已經(jīng)不再守恒，從而得到手性反常項(xiàng)：

代入電磁場張量，并做簡單計(jì)算，獲得三維形式：

這一形式表示，當(dāng)電場與磁場不正交時(shí)，手征流不守恒，這會(huì)造成一種手性外爾費(fèi)米子轉(zhuǎn)化為另一種手性費(fèi)米子的過程在真實(shí)材料中發(fā)生。下面我們將看到手性反常是產(chǎn)生負(fù)磁阻以及手征磁效應(yīng)的原因。將Fμν=?μxν??νxμ代入A(x)的表達(dá)式，得：

獲得反常項(xiàng)的作用量：

分部積分，全微分的表面項(xiàng)丟掉，獲得以下形式:

類比Chern-Simons形式，可以發(fā)現(xiàn)這一項(xiàng)似乎與量子霍爾效應(yīng)有關(guān)。按照Chern-Simons規(guī)范場推導(dǎo)霍爾效應(yīng)的方法，我們計(jì)算流

展開后的結(jié)果為：

其中b表示兩個(gè)手征不同的外爾點(diǎn)的動(dòng)量差，當(dāng)b與E不平行時(shí)，等式右側(cè)第一項(xiàng)可以在動(dòng)量空間形成類似洛倫茲力的作用力，因此該項(xiàng)對應(yīng)反?；魻栃?yīng)。而等式右側(cè)第二項(xiàng)對應(yīng)手性磁效應(yīng)，由于b0表示兩個(gè)外爾點(diǎn)的化學(xué)勢的差值，所以當(dāng)b0不等于0時(shí)，理論上來說外磁場可以誘導(dǎo)出一個(gè)平行于磁場的電流。但是在凝聚態(tài)體系中手性磁效應(yīng)是否能夠存在？我們知道磁場是不能做功的，如果這樣的手性磁效應(yīng)被允許存在的話，這將是一個(gè)非常驚人的結(jié)果。經(jīng)過數(shù)值計(jì)算的確認(rèn)，我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)外爾點(diǎn)之間雖然處于不同的能量位置，但因?yàn)檎麄€(gè)體系具有一個(gè)明確的化學(xué)勢，手性磁效應(yīng)并不能誘導(dǎo)出凈電流[54]，隨后的工作也確認(rèn)了我們的結(jié)論[61]。我們傾向于相信，當(dāng)兩個(gè)外爾點(diǎn)的化學(xué)勢不同，磁場可以誘導(dǎo)出一個(gè)凈電流，而當(dāng)兩個(gè)外爾點(diǎn)達(dá)到化學(xué)平衡時(shí)，手性磁效應(yīng)的效果不能在輸運(yùn)中體現(xiàn)效果。關(guān)于手性反常的更多計(jì)算細(xì)節(jié)可參考[62]。

需要強(qiáng)調(diào)的是，手性反常是一種純量子效應(yīng)，它并沒有經(jīng)典對應(yīng)。從這一小節(jié)的證明不難看出，與經(jīng)典對應(yīng)的作用量在手性變換下并不會(huì)造成手性流的不守恒，但是與量子場論對應(yīng)的配分函數(shù)中的測度項(xiàng)在手性變換下會(huì)造成手性流的不守恒，這也就對應(yīng)手性反常。因?yàn)槭橇孔踊鸬姆闯Ｐ?yīng)因此在場論中也被稱為量子反常。

另外需要指出的是，驗(yàn)證外爾半金屬的較為準(zhǔn)確方法就是采用角分辨光電子能譜觀測費(fèi)米弧結(jié)構(gòu)。然而角分辨光電子能譜方法并不簡便，因此實(shí)驗(yàn)上需要一些更易于操作的實(shí)驗(yàn)方法來準(zhǔn)確驗(yàn)證外爾半金屬相。手性反常導(dǎo)致的負(fù)磁阻被認(rèn)為是外爾半金屬在輸運(yùn)方面的重要證據(jù)，被多個(gè)實(shí)驗(yàn)組觀測到[69?74]。 如圖 2所示，實(shí)驗(yàn)上觀測到外爾半金屬的負(fù)磁阻效應(yīng)[50]，隨著磁場與電場的夾角的減小，縱向電阻率從最初隨磁場的增大而增大，到最終電阻率隨著磁場的增大而減小。從物理圖像上來看，手性反常使得一種手性費(fèi)米子增多，另外一種手性費(fèi)米子減少，形成朗道能級之后，兩種外爾費(fèi)米子的傳播方向是相反的，這會(huì)造成沿著電流的準(zhǔn)粒子增多從而使得電阻減小，磁場越強(qiáng)手性反常越強(qiáng)，參與輸運(yùn)的準(zhǔn)粒子越多，使得電阻減小得越劇烈，在下一小節(jié)我們會(huì)展示這一結(jié)果。需要強(qiáng)調(diào)的是，雖然負(fù)磁阻是外爾半金屬的一個(gè)特性，但是并不是只有外爾半金屬才存在負(fù)磁阻效應(yīng)[75]。

圖2.外爾半金屬中的負(fù)磁阻效應(yīng)，磁場與電場在電流方向的投影不為0的情況下，在縱向觀測到電阻率隨著磁場的增大而減小的效應(yīng)。圖片來自文獻(xiàn)[50]。

B.外爾半金屬在磁場中的朗道能級

上一小節(jié)，我們采用場論的方法推導(dǎo)了手性反常，但是在熱核規(guī)范化方法中，我們將費(fèi)米子場與規(guī)范場同時(shí)存在的協(xié)變導(dǎo)數(shù)的本征態(tài)取為平面波，因此這一方法在強(qiáng)磁場下并不適用，而且給出的物理圖像也并不十分清晰。但是在實(shí)際情況中，磁場會(huì)令體系建立朗道能級，磁場越大朗道能級間隔越大。而且對于外爾半金屬，強(qiáng)磁場下會(huì)存在獨(dú)特的手征朗道能級，而手征朗道能級能夠展現(xiàn)出更加直觀和清晰的手性反常機(jī)制的物理圖像，以下我們簡單推導(dǎo)這一結(jié)果。

假設(shè)磁場與電場都沿著z方向，即B=(0,0,B)，B＞0，選取洛倫茲規(guī)范A=(?By/2,Bx/2,0)，其中A為矢勢，滿足B=?×A。矢勢的引入使得真實(shí)動(dòng)量變成了廣義動(dòng)量，即P→P?A，這里為了書寫簡便，令|e|=1,νF=1。 我們首先分析手性為C=?1的部分。其中C=1的外爾點(diǎn)滿足的哈密頓量H=?k·σ，而C=?1的weyl費(fèi)米子滿足的哈密頓量為H=k·σ。寫成矩陣形式為:

根據(jù)對易 [x,kx]=i,[y,ky]=i，Ax=?By/2,Ay=Bx/2,得到

定義a?a|n〉=n|n〉。我們得到粒子數(shù)算符下的新哈密頓量：

朗道能級通過解本征方程HΦn=EnΦn得到。我們可以看出只有下面的形式解滿足要求有意思的是，當(dāng)n=0時(shí)，有Φn=(|0〉,0)?。代入Eq.(27)，我們得到第0級朗道能級滿足的色散關(guān)系只能為E0=νFkz。同理改變條件并重復(fù)以上計(jì)算，我們可以得到C=?1的外爾點(diǎn)以及B＜0下的結(jié)果。最終我們得到一個(gè)概括各種情況下最低朗道能級能量的公式：

其中sgn(x),表示當(dāng)x＞0,sgn(x)=1;x＜0,sgn(x)=?1。當(dāng)C＞0,B＞0,E=?νFkz;C＞0,B＜0,E=νFkz;C＜0,B＞0,E=νFkz;C＜0,B＜0,E=?νFkz全部四種情況均給出。從上式看出，在確定磁場下，兩種手性費(fèi)米子的運(yùn)動(dòng)方向完全相反。

圖3演示了強(qiáng)磁場下的手性反常。上圖表示當(dāng)引入磁場以后體系形成朗道能級，可以看到兩個(gè)手性的第0朗道能級，沒有電場的情況下，這兩種手性粒子的動(dòng)量是相同的，因此沒有手性反常。但是當(dāng)我們引入電場以后,電場加速粒子 ??k/?t=eE,說明粒子的動(dòng)量將會(huì)隨著時(shí)間而變化。而這個(gè)變化將造成一種手性的費(fèi)米子增多，而另外一種手性的費(fèi)米子減少（圖3下圖所示），這就是手性反常，詳情可參考[23]。雖然兩種手性費(fèi)米子的粒子數(shù)不守恒，但是總的粒子數(shù)是守恒的。我們不難發(fā)現(xiàn)，電場的作用支持電子沿著電場的反方向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)磁場和電場方向平行時(shí)，這等價(jià)于利于某種手性費(fèi)米子，而不利于另外一種手性的費(fèi)米子。

圖3.(a)(b)對應(yīng)無電場，磁場存在下，體系建立朗道能級并且存在具有手性的第0級朗道能級，分別對應(yīng)左右手性費(fèi)米子，當(dāng)無電場時(shí)可以看到兩種費(fèi)米子的化學(xué)勢相同。(c)(d)表示引入電場，并且電場平行于磁場的情況下，一種手性的費(fèi)米子減少了，另外一種手性費(fèi)米子增多了。其中紅色能帶為全滿的價(jià)帶，而黑色能帶為全空的導(dǎo)帶，已填充的手性朗道能級對應(yīng)黑色實(shí)心點(diǎn)。

因此手性為?1的費(fèi)米子轉(zhuǎn)化為手性為1的費(fèi)米子，從而會(huì)造成兩個(gè)外爾點(diǎn)的化學(xué)勢差值?μ=eE0ντ，τ為輸運(yùn)弛豫時(shí)間，進(jìn)而誘導(dǎo)出一個(gè)電流：

該結(jié)果與Eq.(7)一致。它會(huì)導(dǎo)致縱向電阻的減小，而且磁場越大，手性反常越強(qiáng)，磁阻越小。

C.外爾半金屬的貝里曲率

上文中，我們提到外爾半金屬具有非零的貝里曲率，在本小節(jié)我們對它作簡單介紹。 從微分幾何的角度，一個(gè)矢量沿著流形的一個(gè)閉合回路平移最后回到起點(diǎn)時(shí)，如果初末矢量能夠重合說明空間是平直的（曲率為零），而當(dāng)兩個(gè)矢量不再重合，就用非零的曲率來表征空間彎曲的程度[76]。 在拓?fù)鋺B(tài)研究中，最重要的曲率是貝里曲率，它表示波函數(shù)在動(dòng)量空間的彎曲程度并且與貝里相位緊密相關(guān)。貝里相位(Berry Phase)是貝里最早總結(jié)的[77]。把一個(gè)量子體系絕熱演化回到初始狀態(tài)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)額外的幾何相位：

定義在在非閉合回路中的γn并不滿足規(guī)范不變性(Gauge invariant)，即規(guī)范變換以后我們可以額外增加一項(xiàng)從而使得這個(gè)相位被抵消掉。貝里考慮當(dāng)把γn定義在閉合回路下時(shí)，規(guī)范變換只能給γn增加2π的整數(shù)倍，這并不能消除γn對體系的影響。因此閉合回路上定義的γn是規(guī)范不變的,被稱為貝里相位。其中：

稱為貝里矢勢。從規(guī)范場的角度，An(R)是定義在主叢上的聯(lián)絡(luò)，而聯(lián)絡(luò)的協(xié)變微分就是曲率[78]。因此

分別是貝里曲率矢量(Berry curvature vector)以及貝里曲率張量(Berry curvature tensor)，它們存在關(guān)系：

?μνρ是全反對稱張量（Levi-Civita全反張量）。而貝里曲率矢量可以看成在參數(shù)R空間（通常為動(dòng)量空間）的磁場。定義的兩個(gè)貝里曲率都是規(guī)范不變的，并且定義時(shí)不需要構(gòu)造閉合回路。

前面我們給出了各向同性外爾半金屬的貝里曲率矢量為這里從各向異性外爾半金屬的哈密頓量出發(fā)，展示它的推導(dǎo)過程。體系哈密頓量表示為：

其中σx,σy,σz為泡利矩陣，νx,νy,νz為三個(gè)方向的費(fèi)米速度，當(dāng)νx=νy=νz就是各向同性的情況，這里采用了自然單位制?=1。從這個(gè)哈密頓量出發(fā)，我們可以獲得體系的本征值與本征態(tài)，表示如下：

其中上下兩式表示兩個(gè)非簡并本征態(tài)以及對應(yīng)的本征波函數(shù)，它們分別對應(yīng)導(dǎo)帶和價(jià)帶。

根據(jù)貝里曲率的定義Eq.(33),并作簡單推導(dǎo)，我們可以得到

以下我們以計(jì)算曲率為例

考慮到?H/?kx=νxσx，因此有

〈+|和|?〉分別對應(yīng) Eq.(36) 和 (37)，〈+|=|+〉?，得到最終結(jié)果

重復(fù)上面過程，得：

將Eq.(43)代入Eq.(38),

最后根據(jù)量綱補(bǔ)齊了 ?，我們獲得了貝里曲率張量它表示導(dǎo)帶在z方向的貝里曲率。此外，我們還得到了另外兩個(gè)方向以及價(jià)帶的貝里曲率：

寫成矢量形式，此即為各向異性外爾半金屬的貝里曲率。當(dāng)νx=νy=νz=ν時(shí)，有

將上式代入曲率張量的矢量形式，得到各向同性外爾半金屬的貝里曲率：

對Eq.(47)在第一布里淵區(qū)中做環(huán)路閉合面積分，得到

從上式可以看出外爾半金屬的外爾點(diǎn)是一個(gè)拓?fù)涞暮桑c實(shí)空間的磁單極極其相似。

以上我們簡單介紹了外爾半金屬的基本概念以及與之具有密切關(guān)系的幾種物性，包括所滿足的方程、手性反常、負(fù)磁阻效應(yīng)、磁場中的朗道能級和貝里曲率。下面將介紹過去幾年我們在外爾半金屬輸運(yùn)方面開展的一些工作。

III.無序?qū)ν鉅柊虢饘俚挠绊?/h2>

A.量子極限下外爾半金屬的負(fù)磁阻

在文獻(xiàn)[36]中，我們研究了處于強(qiáng)磁場中的外爾半金屬在無序條件下的輸運(yùn)性質(zhì)。因?yàn)殚L程無序和短程無序?qū)ν鉅桙c(diǎn)間的散射以及朗道能級展寬行為的不同，因此我們分別研究了這兩種無序的影響。在弱的短程無序下，對于第0級朗道能級，系統(tǒng)存在負(fù)磁電導(dǎo)率(negative magnetic conductivity)這與半經(jīng)典的玻爾茲曼(Bolzmann)輸運(yùn)理論一致。而對于長程無序，當(dāng)選取合適的關(guān)聯(lián)長度并且不考慮屏蔽效應(yīng)時(shí)(screening effect)，我們發(fā)現(xiàn)體系存在正的磁電導(dǎo)率。這是因?yàn)殚L程無序可以壓制外爾點(diǎn)之間的散射并產(chǎn)生朗道能級的展寬。即使在弱無序下，高朗道能級輔助的輸運(yùn)(high Landau levels assisted transport)會(huì)占主導(dǎo)地位，這時(shí)候基于手性第零朗道能級的玻爾茲曼輸運(yùn)理論不再適用。我們的理論結(jié)果表明產(chǎn)生這類負(fù)磁阻的物理機(jī)制主要有兩個(gè)：（1）當(dāng)存在長程關(guān)聯(lián)無序并且磁場很強(qiáng)的時(shí)候，高度簡并的手性第零朗道能級之間的散射被壓制；（2）當(dāng)磁場增大的時(shí)候,高朗道能級輔助下的背散射被削弱。

1.模型與方法

我們考慮了外爾半金屬的二帶模型，哈密頓量為[19,79]：

其中這里ν,tz,mz,m0都是系統(tǒng)參數(shù)，而σx,y,z是泡利矩陣，體帶能譜為：

令Ek=0得到兩個(gè)外爾點(diǎn)在動(dòng)量空間的坐標(biāo)，這里研究的是沿著z方向的兩個(gè)外爾點(diǎn)。在z方向加入磁場后，哈密頓量變?yōu)椋?/p>

這里選取了規(guī)范勢A=(?By,0,0)。解得第零朗道能級為：

而第±n朗道能級為：

其中以及磁長

將哈密頓量H0離散到立方晶格[80]。我們先采用以下近似隨后作傅里葉變換即可得到實(shí)空間格點(diǎn)哈密頓量。離散化后的結(jié)果如下[81?82]：

其中這里x(y,z) 表示沿著x(y,z)方向的單位矢量。表示在第 n個(gè)格點(diǎn)位置產(chǎn)生 (↑,↓)的電子。簡單起見，令a=1。 我們在離散化的體系中引入了各向異性的長程無序V(r)[83?85]。體系的哈密頓量寫成：

對i的求和包含所有隨機(jī)分布于 [r1,r2,···rn]格點(diǎn)的雜質(zhì)，其中ri=(r||,rz)為空間坐標(biāo)。Vi為安德森無序模型中的隨機(jī)在位勢能，在 [?W/2,W/2]之間均勻取值，其中W是無序強(qiáng)度。x-y平面與z方向的雜質(zhì)勢的作用范圍 (impurity potential rang)分別是ξ||和ξz。 當(dāng)ξ||=ξz，V(r)描述各向同性長程無序，而當(dāng)ξ||=ξz→0，V(r)描述短程無序。長程無序表示我們在(ri,||,ri,z)引入的一個(gè)強(qiáng)度為Vi的無序，這個(gè)無序會(huì)在ri||,riz格點(diǎn)產(chǎn)生隨著同(ri,||,ri,z)距離增大而衰減的勢場。當(dāng)雜質(zhì)勢的范圍趨近于0時(shí)，就相當(dāng)于某個(gè)格點(diǎn)處的雜質(zhì)只作用在這一格點(diǎn)，這就是典型的安德森無序模型描述的情況。

首先我們考慮沿著z方向的兩端口輸運(yùn)，在x?y取周期性邊界條件。我們只把無序加在大小為Lx×Ly×Lz的中心區(qū)，兩端半無限長導(dǎo)線則都不引入無序。為了計(jì)算中心區(qū)的本征電導(dǎo)率，需要將導(dǎo)線的接觸電阻去掉，因此中心區(qū)的本征電導(dǎo)[86?88]為其中N為導(dǎo)線中對應(yīng)的模式數(shù)，GLB是Landauer-B¨uttiker電導(dǎo)。滿足GLB=e2/hTr[ΓLGrΓRGa][89]， 其中Gr(EF)=[Ga(EF)]?=[EF?Hcen?∑n=L,RΣn]?1是推遲/超前格林函數(shù)。線寬函數(shù)其中表示左右半無限長導(dǎo)線的推遲/超前自能，可以通過迭代或者轉(zhuǎn)移矩陣求解[90?91]。 中心區(qū)的電導(dǎo)率被定義為σ=同時(shí)我們計(jì)算了在不同的無序強(qiáng)度W以及磁場?下的態(tài)密度這里采用了核多項(xiàng)式方法[92](kernel polynomial method)，其中En是N×N無序哈密頓量矩陣的第n個(gè)本征值。數(shù)值參數(shù)設(shè)置為tz=m0=ν=1,mz=0,a=1,EF=?0.2,?=Ba2/?0。

2.半經(jīng)典玻爾茲曼輸運(yùn)理論

當(dāng)z方向存在強(qiáng)磁場時(shí)，系統(tǒng)沿著該方向有高度簡并的朗道能級。如圖4所示，不存在磁場時(shí)，可觀測到外爾點(diǎn)位于動(dòng)量空間存在磁場時(shí)，外爾點(diǎn)消失并形成獨(dú)特的手性第零朗道能級。 我們采用玻爾茲曼方程研究體系的磁阻，在弛豫時(shí)間近似下[93]，電導(dǎo)率為：

其中τ(kF)是輸運(yùn)弛豫時(shí)間，表示粒子發(fā)生背散射所經(jīng)歷的時(shí)間，是z方向的費(fèi)米速度。是干凈樣品的態(tài)密度。我們注意到費(fèi)米速度νF隨著磁場強(qiáng)度的增加而減小，而態(tài)密度N0(EF)隨著磁場的增大而增大。弛豫時(shí)間按照玻爾茲曼方程的定義：

圖4.不同磁場強(qiáng)度下的外爾半金屬的色散關(guān)系。(a)磁場相位 ?=0； (b)磁場相位 ?=π/30。圖片來自文獻(xiàn) [36]。

其中說明只有背散射能夠在第零朗道能級間發(fā)生，它們對輸運(yùn)起決定性作用。其中最外層表示對所有無序取系綜平均。我們將無序分成四小類，分別研究它們的弛豫時(shí)間以及電導(dǎo)率：

[1]短程無序。如果

由于νF隨著磁場強(qiáng)度B的增大而減小，因此dσ/dB為負(fù)[94?95]。

[2]第一類長程無序。當(dāng)長程無序滿足

弛豫時(shí)間和電導(dǎo)滿足：

其中ξ||和ξz分別是x?y平面和z方向的關(guān)聯(lián)長度，ni是雜質(zhì)濃度，

[3]第二類長程無序。對于各向異性無序

其中

[4]第三類長程無序。各向異性無序滿足

其中同時(shí)成立的時(shí)候，三類長程無序均變成短程無序。而當(dāng)ξz→0和ξ||→0有且僅有一個(gè)成立的時(shí)候，第一類長程無序分別轉(zhuǎn)化為第二類和第三類長程無序。

當(dāng)x?y平面內(nèi)的無序很平滑的時(shí)候，即ξ||?lB，我們發(fā)現(xiàn)電導(dǎo)率σ取決于態(tài)密度而且隨著磁場增大而增大 (見 Eq.(67))。因?yàn)榈诹憷实滥芗壍暮啿⒛Ｊ綆缀酹?dú)立，弛豫時(shí)間近似與 B無關(guān) （見 Eq.(66)）。對于z方向的光滑無序ξz?1/kF,因?yàn)橘M(fèi)米速度隨著磁場的增大而減小，Eq.(69)表明電導(dǎo)會(huì)隨著磁場強(qiáng)度的增加而減小。但是由于背散射被壓制（此時(shí)背散射需要大動(dòng)量轉(zhuǎn)移），導(dǎo)致弛豫時(shí)間非常長(見Eq.(68))，電導(dǎo)率還是非常的巨大。因此在這種情況下，高朗道能級輔助的背散變得很重要，導(dǎo)致 Eq.(69)的結(jié)果不再準(zhǔn)確。此外，對第一類長程無序，盡管 Eq.(65)給出磁導(dǎo)率是正的，但是我們發(fā)現(xiàn)定量上并不準(zhǔn)確。有意思的是當(dāng)朗道能級間隔特別大時(shí)，因?yàn)轶w系的輸運(yùn)弛豫時(shí)間非常之大，此時(shí)體系就像一個(gè)彈道導(dǎo)體，玻爾茲曼輸運(yùn)理論，即Eq.(69)的結(jié)果，再次適用。

3.數(shù)值結(jié)果

圖5(a)和 (b)分別是長程無序ξ||=ξz=2,ni=0.02與短程無序ξ||=ξz=0.01,ni=1條件下本征電導(dǎo)G在不同無序強(qiáng)度下的結(jié)果。我們發(fā)現(xiàn)對于特定的無序強(qiáng)度，不同尺寸的中心區(qū)的電導(dǎo)率σ會(huì)重合成一條曲線（如圖 5(c)和(d)）。 圖 5(c)顯示在長程無序情況下，電導(dǎo)率σ隨著?先增加后減小。通過分析玻爾茲曼輸運(yùn)理論的結(jié)果，在長程無序情況下，產(chǎn)生電導(dǎo)率峰的原因是態(tài)密度的增加和費(fèi)米速度減小之間的競爭。而在圖5(d)中，電導(dǎo)率隨著磁場的增大而減小，這是由費(fèi)米速度減小造成的。

圖5.中心區(qū)本征電導(dǎo) G在 (a)長程無序ξ||=ξz=2,ni=0.02和(b)短程無序ξ||=ξz=0.01,ni=1條件下隨磁場?的變化關(guān)系。(c),(d)分別與(a),(b)對應(yīng)，但縱軸相應(yīng)得替換為電阻率σ=GLz/(LxLy)。對于給定的無序強(qiáng)度W，我們選取了幾種不同的中心區(qū)尺寸Lx×Ly×Lz，其它參數(shù)已在圖中標(biāo)出。圖片來自文獻(xiàn)[36]。

圖6.物理量 σW2在(a)第一類長程無序ξ||=ξz=2,ni=0.02和(b)短程無序ξ||=ξz=0.01,ni=1條件下隨磁場?的變化關(guān)系。中心區(qū)尺寸Lx×Ly×Lz=20×60×100。(c)(d)分別與(a)和(b)對應(yīng)，而縱坐標(biāo)替換為態(tài)密度N(EF)，其中無序強(qiáng)度W 已在圖中標(biāo)出。圖片來自文獻(xiàn)[36]。

為了檢驗(yàn)玻爾茲曼方程的正確性，我們計(jì)算了σW2,它應(yīng)該正比于（這個(gè)結(jié)果可以通過 Eq.(63),(65),(67),(69)驗(yàn)證）。這個(gè)結(jié)果說明σW2應(yīng)與無序強(qiáng)度W無關(guān)。也就是說，對于不同強(qiáng)度的無序，所有的曲線都應(yīng)該是重合的。在圖6(b)中（短程無序），這些曲線非常接近，表明玻爾茲曼輸運(yùn)的結(jié)果近似正確。在圖6(a)中，峰值對應(yīng)的磁場強(qiáng)度隨著無序的增大而增大。因此對于第一類長程無序的情況，玻爾茲曼方程的結(jié)果并不符合實(shí)際的情況。此外我們發(fā)現(xiàn)在這種情況下的態(tài)密度已經(jīng)嚴(yán)重偏離干凈樣品的結(jié)果（圖6(c)）。而對于短程無序，這個(gè)近似是合理的。我們發(fā)現(xiàn)長程無序情況下，有較大的能級展寬，表明高朗道能級輔助的背散很重要。這種無序引起的大的能級展寬行為和以前強(qiáng)磁場下的無序二維電子氣體系的態(tài)密度研究相一致[96?97]。 因此我們發(fā)現(xiàn)了一種不能用玻爾茲曼輸運(yùn)理論描述的正磁導(dǎo)率情況。下面我們將研究出現(xiàn)這一現(xiàn)象的物理機(jī)制。

圖7.物理量 σW2在 (a)第三類長程無序 ξ||=0.01,ξz=2,ni=0.28和 (b)第二類長程無序 ξ||=2,ξz=0.01,ni=0.08條件下隨磁場 ?的變化關(guān)系。中心區(qū)尺寸Lx×Ly×Lz=20×50×100。(c)(e)與 (d)(f)的參數(shù)分別與 (a)(b)對應(yīng)，無序強(qiáng)度W 已在圖中標(biāo)出。圖片來自文獻(xiàn)[36]。

圖8.物理量 σW2在 (a)第三類長程無序 ξ||=0.01,ξz=2,ni=0.28和 (b)第二類長程無序 ξ||=2,ξz=0.01,ni=0.08條件下隨磁場 ?的變化關(guān)系。中心區(qū)尺寸Lx×Ly×Lz=20×50×100。(c)(e)與 (d)(f)的參數(shù)分別與 (a)(b)對應(yīng)，無序強(qiáng)度W 已在圖中標(biāo)出。圖片來自文獻(xiàn)[36]。

前面我們已經(jīng)指出分別當(dāng)ξz→0,ξ||→0，第一類長程無序(ξz=ξ||)可以轉(zhuǎn)化為第二類和第三類長程無序。為了更深入的理解各向同性無序效應(yīng)對磁電導(dǎo)的影響，研究第二類以及第三類長程無序是很有必要得。

我們研究了弱的各向異性長程無序，如圖 7(b)，我們發(fā)現(xiàn)在弱長程無序條件下ξ||=2,ξz=0.01,ni=0.08，σ出現(xiàn)一個(gè)電導(dǎo)峰。從Eq.(67)，可分析得出這是態(tài)密度與費(fèi)米速度相互競爭導(dǎo)致的，并且σW2的曲線（圖 7(e)）近乎重合，這表明這種情況下的輸運(yùn)結(jié)果可以采用玻爾茲曼輸運(yùn)方程來描述。但對于圖 7(a)，ξ||=0.01,ξz=2,ni=0.28，我們觀測到一個(gè)電導(dǎo)率峰。這是因?yàn)閦方向的長程關(guān)聯(lián)無序?qū)е聑方向大的輸運(yùn)弛豫時(shí)間，因此壓制了kz方向的背散射。另外我們發(fā)現(xiàn)這種情況下σW2曲線并沒有重合（圖 7(c)），它意味著玻爾茲曼輸運(yùn)方程不適用。在圖7(c)中，不難發(fā)現(xiàn)σW2隨著W增加而下降。這是因?yàn)閷τ诘谌愰L程無序，第零朗道能級內(nèi)的背散射被壓制，體系在z方向有非常長的輸運(yùn)弛豫時(shí)間。也就是說，這樣直接的背散射不能發(fā)生，而這種高朗道能級作為中間態(tài)的散射變得十分重要。因此，z方向的長程無序情況下（第三類長程無序），高朗道能級輔助的背散射將會(huì)決定體系的輸運(yùn)性質(zhì)。

如果繼續(xù)增大無序強(qiáng)度，態(tài)密度將遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離干凈樣品，意味著費(fèi)米面位置的能級展寬變得明顯（圖 8(e),(f)）。同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)由于無序強(qiáng)度的影響，磁導(dǎo)率峰也會(huì)移動(dòng)到一個(gè)更大的磁場強(qiáng)度位置（圖 8(a)～(d)）。在長程關(guān)聯(lián)強(qiáng)無序條件下，不僅費(fèi)米面附近的能級展寬很重要，而且高朗道能級輔助的背散起決定性作用。隨著磁場的增大，朗道能級間隔增大，導(dǎo)致弛豫時(shí)間增加，并且從圖8(e),(f)可出看出態(tài)密度也增大，因此電導(dǎo)率隨著磁場的增大而增大。在特定磁場下，隨著無序得增加，能帶展寬增加，輸運(yùn)弛豫時(shí)間減小。很自然地期待，體系需要更高的磁場來增大朗道能級間隔，從而抵抗這種減小趨勢。因此電導(dǎo)峰將會(huì)隨著無序的增加而移動(dòng)到強(qiáng)磁場位置。我們注意到各向同性長程無序的定性結(jié)果與文獻(xiàn)[107]一致，但定量結(jié)果不相同。這是因?yàn)楦呃实滥芗壿o助的背散射在以前的研究中被忽略，而這個(gè)機(jī)制可以起很大的作用。

4.討論和結(jié)論

我們研究了強(qiáng)磁場下，長程無序和短程無序?qū)?Weyl半金屬體系的輸運(yùn)性質(zhì)的影響。在弱的短程無序情況下可以得到單調(diào)的負(fù)磁阻效應(yīng)，這是因?yàn)橘M(fèi)米速度隨著磁場增大而減?。欢鴮τ陂L程無序，磁阻可以是正的。對于沿著外爾點(diǎn)方向的弱長程無序，因?yàn)樵摲较虻谋成⒈粔褐?，體系的弛豫時(shí)間很長。因此高朗道能級輔助的背散射很重要，這種情況下玻爾茲曼方程不再適用。弱的x-y平面的長程無序可以導(dǎo)致正磁電導(dǎo)率，這與玻爾茲曼方程的結(jié)果一致。對于強(qiáng)的長程無序情況下，這時(shí)候體系存在隨著無序增加而向強(qiáng)磁場方向移動(dòng)的電導(dǎo)峰。在量子極限下長程無序可以給出外爾半金屬的正磁電導(dǎo)，但因?yàn)楦呃实滥芗壿o助的背散射這一原因，這樣的結(jié)果并不能通過玻爾茲曼方程獲得?？傮w來說，正磁電導(dǎo)有兩個(gè)機(jī)制：第一，量子極限下，x-y方向的長程關(guān)聯(lián)無序壓制朗道能級內(nèi)的散射； 第二，增加磁場時(shí)，相鄰的兩個(gè)朗道能級之間的間隔增大，導(dǎo)致高朗道能級輔助的背散射減小。我們的這些結(jié)果對最近的外爾半金屬磁輸運(yùn)實(shí)驗(yàn)有重要的指導(dǎo)意義。

B.第一類外爾半金屬中的無序與金屬–絕緣體相變

1.背景與主要結(jié)果

在這一小節(jié)，我們將通過解析以及數(shù)值方法研究外爾半金屬在無序下的相變特性。包括外爾點(diǎn)和費(fèi)米弧在隨機(jī)勢散射下的穩(wěn)定性以及無序誘導(dǎo)的金屬絕緣體轉(zhuǎn)變[37]。之前的研究都集中單個(gè)外爾點(diǎn)的性質(zhì)[98?102]。理論上單個(gè)外爾點(diǎn)的體系即使在強(qiáng)無序條件下也不能發(fā)生安德森局域化。在實(shí)際外爾半金屬材料中， NO-GO定理保證了手性相反的外爾點(diǎn)必須成對出現(xiàn)[59?60]，因此研究一對外爾點(diǎn)的局域化問題是十分必要的。因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)外爾點(diǎn)動(dòng)量空間逐漸接近或強(qiáng)的谷（不同手性的外爾點(diǎn)）間散射使得體系無法定義手性，兩個(gè)外爾點(diǎn)能夠發(fā)生湮滅[103]。

我們主要研究了三維磁性外爾半金屬體系，該體系可以通過沿z方向堆疊二維量子反常霍爾效應(yīng)層獲得[108]。我們考慮兩個(gè)外爾點(diǎn)靠得很近得情況，即它們分別處于布里淵區(qū)邊界或同時(shí)位于布里淵區(qū)中心。對前一種情況，我們發(fā)現(xiàn)外爾點(diǎn)對無序很敏感，兩個(gè)外爾點(diǎn)在布里淵區(qū)邊界混合最終湮滅并打開拓?fù)浞瞧接沟膸?，從而引起外爾半金屬到三維量子反?；魻枒B(tài)的轉(zhuǎn)變。而對于后一種情況，我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)外爾點(diǎn)在無序存在下是穩(wěn)定的。對于最初處于普通絕緣體狀態(tài)的體系，帶隙會(huì)隨著無序的增加而減小并最終閉合，從而會(huì)在布里淵區(qū)中心產(chǎn)生一對相互排斥的外爾點(diǎn)，從而引發(fā)絕緣體到外爾半金屬態(tài)的相變。雖然在動(dòng)量空間嚴(yán)格分離的外爾點(diǎn)對弱無序是穩(wěn)定的，但我們發(fā)現(xiàn)足夠強(qiáng)的無序能夠誘導(dǎo)出擴(kuò)展的體態(tài)從而引發(fā)從外爾半金屬相到三維擴(kuò)散反?；魻柦饘?diffusive anomalous Hall metal)[104]的轉(zhuǎn)變。進(jìn)一步增加無序強(qiáng)度，體系從三維擴(kuò)散金屬進(jìn)入安德森絕緣體。我們通過局域化長度以及霍爾電導(dǎo)率[105?106]的計(jì)算，研究了無序誘導(dǎo)的多重相變，并且得到了外爾半金屬在無序下的完整相圖（見圖10）。

我們考慮二帶模型[108]：

其中tx,y,z,m0,mz是模型的參數(shù)，σx,y,z為泡利矩陣。波矢kx,y,z取值范圍處于第一布里淵區(qū)內(nèi)，Lx×Ly×Lz為體系尺寸，晶格常數(shù)a=1。H0可以看作量子反常霍爾體系沿著z方向的堆疊，tz,mz分別是層間耦合強(qiáng)度和交換場強(qiáng)度。從以上哈密頓量不難得到體態(tài)能譜：

其中 ?z=mz?tzcoskz+m0(2?coskx?cosky)，注意到當(dāng)H0關(guān)于σz的部分存在時(shí)，即因此H0(k)并不滿足時(shí)間反演對稱性，該二帶模型只存在一對外爾點(diǎn)，是最簡外爾半金屬緊束縛模型。在對角項(xiàng)引入安德森無序，最終得到無序存在下的模型：

V1,2(r)在 [?W/2,W/2]之間均勻取值，其中W表示無序強(qiáng)度。

圖9是干凈外爾半金屬哈密頓量H0的相圖。當(dāng)tz=0，層與層之間解耦。相圖中有三個(gè)紅色方塊標(biāo)記的臨界點(diǎn)，當(dāng)mz/m0=0，狄拉克點(diǎn)位于布里淵區(qū)中心(0,0)。 而對于mz/m0=?2,mz/m0=?4,狄拉克點(diǎn)分別位于布里淵區(qū)的邊界 (0,π),(π,0)。 它們分出三個(gè)有帶隙的相（正常絕緣體和兩個(gè)量子反?；魻栃?yīng)相）。二維霍爾電導(dǎo)率為（左側(cè)），e2/h（右側(cè)）[109]。 當(dāng)?shù)那闆r下，體系為三維量子反?；魻枒B(tài)，存在一個(gè)體帶隙和完全量子化的霍爾電導(dǎo)率[108]。更重要的是，從圖上我們不難發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)外爾半金屬相。相圖幾個(gè)相變邊界為mz=±tz?4m0,±tz?2m0,±tz。外爾半金屬擁有成對的外爾點(diǎn)，它們隨著tz的變換在kz方向上分離。在對應(yīng)的兩個(gè)外爾半金屬相，外爾點(diǎn)分別位于動(dòng)量空間中的 (π,π,±arccos(mz+4m0)/tz),(0,π,±arccos(mz+2m0)/tz)以及 (π,0,±,arccos(mz+2m0)/tz),(0,0,±arccos(mz)/tz)。

圖9.不存在無序時(shí)外爾半金屬在tz/m0?mz/m0平面的相圖，對應(yīng)未引入無序的哈密頓量H0，本圖片摘自文獻(xiàn)。圖片來自文獻(xiàn)[37]。

圖10.體系在W-mz平面的相圖。圖中實(shí)線是通過局域化長度獲得的。實(shí)三角形是W=0的條件下，獲得的兩個(gè)相點(diǎn)。藍(lán)色虛線為自洽玻恩近似的結(jié)果圖片來自文獻(xiàn)[37]。

不失一般性，我們把關(guān)注點(diǎn)鎖定在?0.714＜mz/m0＜1.429，并且設(shè)定tz/m0= 0.479，即圖 9中圓圈所標(biāo)示區(qū)域。這個(gè)區(qū)域的外爾半金屬相 (?1≤mz/tz≤1)，存在一對位于的外爾點(diǎn)。當(dāng)外爾半金屬經(jīng)過普通絕緣體邊界到三維量子反?；魻栃?yīng)邊界,相應(yīng)的，外爾點(diǎn)從中心(0,0,0)移動(dòng)到布里淵區(qū)邊界(0,0,π)。

圖11.(a)-(f)表示歸一化的局域化長度 Λ=λ(L)/L與無序 W 的關(guān)系。這里給了不同的幾種 mz的參數(shù)。體系長度L=8,10,12,14其他的參數(shù)m0=2.1,tx,y,z=1圖片來自 文獻(xiàn) [37]。

主要結(jié)論總結(jié)在無序相圖中，如圖10所示，體系存在四個(gè)不同的相（三維擴(kuò)散反?；魻柦饘傧啵鉅柊虢饘傧?，三維量子反?；魻栂嘁约鞍驳律^緣體），和五個(gè)可能的無序誘導(dǎo)的相變，依m(xù)z從小到大分別為：(1)量子反?；魻枒B(tài)–擴(kuò)散金屬–絕緣體，(2)外爾半金屬–量子反?；魻枒B(tài)–擴(kuò)散金屬–絕緣體，(3)外爾半金屬–擴(kuò)散金屬–絕緣體，(4)絕緣體–外爾半金屬–擴(kuò)散金屬–絕緣體，(5)絕緣體–擴(kuò)散金屬–絕緣體。相圖的邊界（實(shí)線部分）是通過數(shù)值方法計(jì)算霍爾電導(dǎo)率以及局域化長度獲得的。我們發(fā)現(xiàn)弱無序下外爾半金屬–量子反?；魻枒B(tài),外爾半金屬–絕緣體相變的相邊界與自洽玻恩近似的結(jié)果符合得很好。弱無序誘導(dǎo)的不同拓?fù)潆娮討B(tài)之間的轉(zhuǎn)變，擴(kuò)展了拓?fù)浒驳律^緣體以及無序和拓?fù)鋺B(tài)相互作用物理機(jī)制的理解[32?34]。

我們通過局域化長度來研究安德森金屬絕緣體相變并確定相變的邊界。我們考慮三維棒狀樣品長度為Lz、寬度為Lx=Ly=L，其中x,y方向采用了周期性邊界條件，樣品的局域化長度λ(L)通過轉(zhuǎn)移矩陣方法得到[110?112]。當(dāng)重整化局域化長度Λ=λ(L)/L隨著樣品寬帶L增加，說明體系電子存在拓展態(tài)，為金屬相；相反如果Λ隨著L的增大而減小，表示電子處于局域態(tài)，體系為絕緣相。如果重整化的局域化長度Λ不隨著體系的尺度L而變化，它對應(yīng)一個(gè)相變點(diǎn)。如圖 11，我們計(jì)算了不同mz條件下的重整化局域化長度隨著樣品尺寸的改變。在圖11(a)中，mz=?0.714m0，在弱無序下Λ隨著L的增加而減小，體系處于絕緣的三維量子反?；魻栂?。當(dāng)W≈6的時(shí)候dΛ/dL=0，對應(yīng)一個(gè)相變點(diǎn)。繼續(xù)增大無序，重整化局域化長度滿足dΛ/dL＞0，體系進(jìn)入金屬相，而這個(gè)區(qū)域具有非零的霍爾電導(dǎo)率（見圖12(a)），因此我們認(rèn)為這個(gè)區(qū)域?yàn)閿U(kuò)散金屬相。進(jìn)一步增大無序W，體態(tài)電子全部局域化，因此強(qiáng)無序下體系轉(zhuǎn)變?yōu)榘驳律^緣體。這個(gè)無序誘導(dǎo)的多重相變（量子反?；魻枒B(tài)–擴(kuò)散金屬–絕緣體），這與多層量子霍爾體系以及三維Z2拓?fù)浣^緣體中的相變特性是相似的[113?115]。

圖10顯示，量子反常霍爾態(tài)與外爾半金屬的相邊界向外爾半金屬傾斜，這表明在量子反常霍爾相附近的干凈的外爾半金屬相（即：當(dāng)外爾點(diǎn)在接近π時(shí)）對無序不穩(wěn)定，它將隨著無序的增加發(fā)生外爾半金屬–量子反?；魻枒B(tài)–擴(kuò)散金屬–絕緣體的一系列相變。這個(gè)意外的結(jié)果可直接從圖11(b)mz/m0=?0.452和(c)mz/m0=?0.382中的局域化長度的標(biāo)度行為看出來。為了理解這個(gè)結(jié)果，我們在本節(jié)第二部分通過做弱無序下的自洽玻恩近似來考慮無序誘導(dǎo)的能帶重整化行為。有趣的是，無序?qū)δ軒е卣钪匾挠绊懯菍ν負(fù)滟|(zhì)量mz的修正，這將會(huì)增加能帶的反轉(zhuǎn)，從而引起兩個(gè)外爾點(diǎn)在布里淵區(qū)邊界相互“吸引”。當(dāng)兩個(gè)外爾點(diǎn)在布里淵區(qū)邊界相遇時(shí)，這對外爾點(diǎn)將湮滅，同時(shí)體系會(huì)打開一個(gè)非平庸的能隙，從而導(dǎo)致外爾半金屬相到三維量子反?；魻栂嗟霓D(zhuǎn)變。我們后面部分將會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)相變可以由費(fèi)米弧的消失和體系產(chǎn)生整數(shù)化的量子霍爾電導(dǎo)率的現(xiàn)象來表征。通過類似上面的方法，我們對圖10中外爾半金屬和絕緣體相進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)另一個(gè)奇特的結(jié)果。當(dāng)外爾半金屬相接近于絕緣體相的時(shí)候，由于無序?qū)z的重整化使得外爾點(diǎn)相互“排斥”并遠(yuǎn)離，因此布里淵區(qū)中心的兩個(gè)外爾點(diǎn)對弱無序很穩(wěn)定。這就解釋了為什么圖11(f)中局域化長度Λ在W≈3.3附近表征出一個(gè)相變臨界點(diǎn)。這個(gè)標(biāo)度行為肯定了上面的相變過程。因此，當(dāng)一對具有相反手征的外爾點(diǎn)在足夠遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界的時(shí)候，它們對弱無序下的谷間散射是穩(wěn)定的。值得注意的是，在足夠強(qiáng)的無序下，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)從外爾半金屬到擴(kuò)散金屬的直接相變。這就是相圖中外爾半金屬–擴(kuò)散金屬–絕緣體和絕緣體–外爾半金屬–擴(kuò)散金屬–絕緣體相變的由來。這種相變是由強(qiáng)無序下體系突然出現(xiàn)體態(tài)導(dǎo)致的。因此，從圖 11(d)～(e)中的第一個(gè)臨界點(diǎn)和(f)中第二個(gè)臨界點(diǎn)兩邊dΛ/dL＞0的行為中，我們可以看到兩個(gè)金屬態(tài)之間的不尋常相變。實(shí)際上，外爾半金屬和三維擴(kuò)散金屬可以通過霍爾電導(dǎo)率的量子化行為加以區(qū)分。

對于三維外爾半金屬，對給定的kz， 它在二維xy平面的量子化電導(dǎo)率滿足，整體的電導(dǎo)率[117]為其中為階躍函數(shù)。求和化積分以后表示外爾點(diǎn)到布里淵區(qū)中心的距離。從這里不難看出，當(dāng)兩個(gè)外爾點(diǎn)在布里淵區(qū)邊界的時(shí)候，兩個(gè)外爾點(diǎn)之間的距離最大，這時(shí)有最大霍爾電導(dǎo)率σxy=e2/h。

圖12.(a)-(f)平均的霍爾電導(dǎo)率σxy與無序W 的函數(shù)。樣品大小30×30×8。mz已在圖中標(biāo)出。圖片來自文獻(xiàn)[37]。

圖12(a)表示，三維量子反?；魻枒B(tài)有一個(gè)完全量子化的電導(dǎo)平臺σxy=e2/h直到W≈6.0體系進(jìn)入擴(kuò)散金屬態(tài)，對應(yīng)地體態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橥卣箲B(tài)，此時(shí)σxy的量子化不復(fù)存在并且隨著W的增大而減小，同時(shí)這個(gè)區(qū)域存在普適電導(dǎo)漲落，這與圖11(a)的結(jié)果一致。在圖12(b)～(c)中，體系最先處于靠近三維量子反?；魻枒B(tài)的外爾半金屬相，這時(shí)因?yàn)閮蓚€(gè)外爾點(diǎn)不在布里淵區(qū)邊界并且在布里淵區(qū)分離，根據(jù)前面電導(dǎo)率的定義，產(chǎn)生σxy=7e2/8h分?jǐn)?shù)化的霍爾電導(dǎo)平臺。繼續(xù)增大無序，這對外爾點(diǎn)到達(dá)布里淵區(qū)邊界并湮滅掉，這時(shí)費(fèi)米弧變成一系列的邊緣態(tài)，霍爾電導(dǎo)率達(dá)到三維量子反常霍爾態(tài)的最大霍爾電導(dǎo)率σxy=e2/h。繼續(xù)增大無序，體系進(jìn)入擴(kuò)散金屬態(tài)，并最終進(jìn)入到安德森絕緣態(tài)。圖 12(d)～(e)顯示，體系并沒有達(dá)到最大霍爾電導(dǎo)率。即外爾點(diǎn)并沒達(dá)到布里淵區(qū)邊界并湮滅，而是直接進(jìn)入了擴(kuò)散金屬態(tài)，即體系發(fā)生了從外爾半金屬–金屬的相變。圖12(f)顯示，隨著無序的增大，體系在W≈3.3的時(shí)候帶隙閉合，從普通絕緣相(σxy=0)進(jìn)入到外爾半金屬相,并且隨著無序的增大，兩個(gè)外爾點(diǎn)之間的距離增大，電導(dǎo)率逐漸增加，但是兩個(gè)外爾點(diǎn)還未達(dá)到布里淵區(qū)邊界，體系就從外爾半金屬相進(jìn)入擴(kuò)散金屬相。我們需要強(qiáng)調(diào)，霍爾電導(dǎo)計(jì)算結(jié)果與局域化長度的結(jié)果在定量上也是非常一致的。

2.自洽玻恩近似

在玻恩近似下，我們把無序?qū)w系的影響考慮成格林函數(shù)的自能修正：

圖13.不同無序強(qiáng)度W 和mz的情況下自洽玻恩近似獲得的能帶圖。色散關(guān)系對應(yīng)準(zhǔn)三維樣品，其中z方向是無限長的，Lx=Ly=14a并選取周期性邊界條件。重整化后的質(zhì)量z通過Eq.(75)得出。紅色點(diǎn)線標(biāo)記兩個(gè)外爾點(diǎn)的位置。其它參數(shù)已在圖中標(biāo)出。

其中H0是未引入無序的哈密頓量，而H為引入無序后的哈密頓量?！础ぁぁぁ当硎緦λ袩o序的系綜平均，可以把無序?qū)е碌淖阅苄拚纸鉃椋?/p>

從而獲得重整化的質(zhì)量和費(fèi)米能：

因?yàn)榱汶A玻恩近似的結(jié)果是把所有能級移動(dòng)一個(gè)常數(shù)，因此我們需要考慮更高階的玻恩近似的費(fèi)曼圖修正。自洽玻恩近似[34]與一階玻恩近似的區(qū)別在于，散射后的傳播子采用費(fèi)曼圖修正后的結(jié)果，而玻恩近似的傳播子為自由的傳播子，在這里對應(yīng)未引入無序哈密頓量的傳播子。這樣可以得到自洽玻恩近似的表達(dá)式：

其中a=1,tx,y,z=1,m0=2.1,EF=0。很容易驗(yàn)證?Σ0=0,因此費(fèi)米能并沒有發(fā)生重整化，但是因此質(zhì)量發(fā)生了重整化。

如圖13，在W=0的情況下，我們選取了mz=[?1.2,?1,?0.8,0.8,1,1.2]， 引入無序以后mz重整化后為，其中m0=2.1。正值與負(fù)值分別表示靠近外爾半金屬–絕緣體和量子反?；魻枒B(tài)–外爾半金屬的相邊界。整個(gè)結(jié)果與我們之前的分析（圖10～圖12）是一致的。

總的來說，我們研究了具有兩個(gè)外爾點(diǎn)的外爾半金屬在無序下的相變特性，最終首次獲得了外爾半金屬在無序下的完整相圖。在弱無序下，當(dāng)外爾點(diǎn)在布里淵區(qū)靠近的時(shí)候，如果兩個(gè)外爾點(diǎn)處于布里淵區(qū)邊界，那么這對外爾點(diǎn)將會(huì)在邊界湮滅，發(fā)生外爾半金屬到三維量子反?；魻枒B(tài)的相變。同時(shí)無序也可以在布里淵區(qū)中心閉合體帶隙并產(chǎn)生一對外爾點(diǎn)，從而發(fā)生從絕緣體到外爾半金屬的轉(zhuǎn)變。強(qiáng)的無序可以使體系發(fā)生從外爾半金屬到擴(kuò)散金屬的相變。這一結(jié)果對于具有多對外爾點(diǎn)的外爾半金屬體系的研究具有重要的指導(dǎo)意義。

C.第二類外爾半金屬在無序條件下的相圖

1.第二類外爾半金屬背景簡介

上面的兩個(gè)工作主要集中在第一類外爾半金屬體系中，本小節(jié)我們研究第二類外爾半金屬在無序下的相圖。我們首先簡單介紹一些關(guān)于第二類外爾半金屬的背景。在第一類外爾半金屬被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證后不久，物理學(xué)家就提出了一類破壞洛倫茲規(guī)范的外爾半金屬體系，它的哈密頓量形式為：

其中σx,y,z是泡利矩陣，而σ0是個(gè)2×2的單位矩陣，α是可調(diào)節(jié)的參數(shù)。kxσ0的作用使得外爾半金屬的哈密頓量的洛倫茲不變性被破壞，這里我們給出一個(gè)簡單證明。

洛倫茲不變性可以理解為在四維坐標(biāo)變換下（變換不能改變時(shí)間演化方向和度規(guī)的號差）實(shí)驗(yàn)觀測到的物理規(guī)律是相同的(physics looks the same)。我們構(gòu)造拉氏密度

因?yàn)轶w系的自旋為?/2，所以?為旋量場（旋量與矢量雖然可以具有相同的生成元，但是基底不同，旋量選擇雙群表示，因此它們在洛倫茲變換下的結(jié)果不同），我們可以將旋量場看做標(biāo)量場對L進(jìn)行洛倫茲變換，雖然泡利矩陣原本與坐標(biāo)無關(guān)，現(xiàn)在需要將其看作矢量進(jìn)行洛倫茲變換。這樣的過程與將旋量場做洛倫茲變換，而泡利矩陣與坐標(biāo)無關(guān)所得到的結(jié)果一致。洛倫茨變換的結(jié)果為：

其中為洛倫茲變換的群表示。變換后x→x′，因此泡利矩陣和與偏微分算符對應(yīng)的坐標(biāo)都發(fā)生改變。考慮到洛倫茲變換滿足因此得到：

從上式，可看出洛倫茲變換只是對坐標(biāo)作了改變，但是整個(gè)拉氏密度的形式與系數(shù)都沒有發(fā)生變化?？紤]到測度在洛倫茲變換下也是不變的，因此第一類外爾半金屬的哈密頓量滿足洛倫茲規(guī)范不變性。下面證明i?xσ0會(huì)破壞洛倫不變性，同理該項(xiàng)在變換下的結(jié)果為：

變換后得拉氏密度與洛倫茲變換的表示有關(guān)，因此洛倫茲規(guī)范被破壞。這里需要強(qiáng)調(diào)的是，只要kxσ0這一項(xiàng)不為0，即外爾錐只要發(fā)生傾斜，洛倫茲規(guī)范就不復(fù)存在。

圖14.(a)表示第一類外爾半金屬的能帶色散關(guān)系。(b)外爾錐存在傾斜，但還是第一類外爾半金屬，此時(shí)洛倫茲不變性已經(jīng)被破壞。(c)外爾錐傾斜很大，使得外爾點(diǎn)的態(tài)密度不再是0，而具有一個(gè)有限值。體系稱為第二類外爾半金屬。

真空必須服從洛倫茲規(guī)范，這是相對論的要求，因此哈密頓量 Eq.(77)描述的粒子在真空中是不可能存在的，但是凝聚態(tài)材料中準(zhǔn)粒子激發(fā)并不需要滿足洛倫茲規(guī)范。當(dāng)α＞1，這個(gè)哈密頓量就是描述第二類外爾半金屬中準(zhǔn)粒子激發(fā)的低能有效哈密頓量。第二類外爾半金屬在理論提出后[20,116]很快就被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[21]，其中可能是第二類外爾半金 屬 材 料 有 MoTe2[43,118]、WTe2[119]、LaAlGe[120]、TaIrTe4[121]、PtTe2[122]以及 Ta3S2[123]。

洛倫茲變換并不能幫我們區(qū)分第一類外爾半金屬以及第二類外爾半金屬，這是因?yàn)榈谝活愅鉅柊虢饘俚耐鉅栧F傾斜以后仍有可能是第一類外爾半金屬（如圖14(a,b)所示），只有當(dāng)外爾錐傾斜達(dá)到一定程度，W外爾錐發(fā)生了傾倒，此時(shí)外爾點(diǎn)具有了有限態(tài)密度，體系才是第二類外爾半金屬（如圖14(c)所示）。

下面我們采用轉(zhuǎn)移矩陣以及自洽玻恩近似方法計(jì)算了存在傾斜項(xiàng)的第一類外爾半金屬 (WSM1)以及第二類外爾半金屬 (WSM2)在無序影響下的相變特性[39]。

2.模型和干凈樣品的相圖

傾斜外爾半金屬的哈密頓量可以寫成如下形式H=H0+Htilt。其中H0就是第一類外爾半金屬的哈密頓量

傾斜項(xiàng)[124]為

其中at,bt都是實(shí)數(shù)，而I2×2是單位矩陣。

圖15.存在傾斜項(xiàng)的外爾半金屬在無序?yàn)榱銜r(shí)的相圖，參數(shù)為tx=ty=tz=1,m0=2.1。圖片來自文獻(xiàn) [39]。

可以驗(yàn)證這個(gè)體系H的時(shí)間反演以及空間反演對稱性都被破缺。H0具有空間反演對稱和粒子–空穴對稱性，但前面已經(jīng)證明H0的時(shí)間反演對稱被破壞。考慮哈密頓量Htilt，非零的at破缺空間反演對稱性，使得Weyl點(diǎn)不在同一個(gè)能量。而非零的bt破缺粒子–空穴對稱性。因此當(dāng)at?0,bt0我們可以獲得兩種不同的類型的外爾點(diǎn)，一個(gè)外爾點(diǎn)對應(yīng)第一類外爾半金屬，而另外一個(gè)手性相反的外爾點(diǎn)對應(yīng)第二類外爾半金屬。但此時(shí)體系非常復(fù)雜，不利于相變性質(zhì)的研究。所以這里只關(guān)注at=0的情況，此時(shí)哈密頓量H具有空間反演對稱性，兩個(gè)外爾點(diǎn)不僅屬于同一類型，而且具有相同的能量。

同上一節(jié)類似，我們引入無序

均勻分布于[?W/2,W/2]，W表示無序強(qiáng)度。

圖15為干凈樣品的相圖當(dāng)mz＜?tz，兩個(gè)外爾點(diǎn)在布里淵區(qū)邊界湮滅，體系進(jìn)入三維量子反?；魻枒B(tài)。當(dāng)mz＞tz的時(shí)，兩個(gè)外爾點(diǎn)在布里淵區(qū)的中心湮滅，體系進(jìn)入普通絕緣態(tài)。而處于?tz≤mz≤tz的時(shí)候，體系存在兩個(gè)在空間分離的外爾點(diǎn)。為了區(qū)分第一類外爾半金屬與第二類外爾半金屬，我們分析體能帶的群速度[125]，最終得到?1＜bt＜1對應(yīng)第一類外爾半金屬，|bt|＞1對應(yīng)第二類外爾半金屬。

圖16展示體系能帶結(jié)構(gòu)E-kz隨著傾斜項(xiàng)bt的演變。當(dāng)bt=0.95的時(shí)候，雖然外爾錐已經(jīng)傾斜（如圖14(b)），但是并沒有轉(zhuǎn)變成第二類外爾半金屬。但是bt＞1時(shí)，外爾錐的邊界跨過費(fèi)米面，這時(shí)體系為第二類外爾半金屬，該結(jié)果與圖15是一致的。

3.轉(zhuǎn)移矩陣的數(shù)值結(jié)果

圖16.能帶結(jié)構(gòu) E-kz隨傾斜項(xiàng)的演化，其中 kx=ky=0,at=0,mz=0.190m0，bt的數(shù)值已在圖中標(biāo)出?？煽闯鯾t=1是第一類和第二類外爾半金屬的分界點(diǎn)。

這里同樣采用轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算了重整化的局域化長度Λ=λM/M，其中Mx=My=M。 隨著樣品寬度M的增大，如果Λ也增大，體系處于金屬態(tài)，反之體系處于絕緣態(tài)。

同上一節(jié)，我們通過分析圖17給出的轉(zhuǎn)移矩陣的結(jié)果，對應(yīng)地獲得了存在傾斜項(xiàng)的外爾半金屬在無序下的完整相圖（見圖 18(a)）。 對于小的bt，如bt=0.2,0.4,0.6，當(dāng)W=0的時(shí)，對應(yīng)第一類外爾半金屬。增加無序W，系統(tǒng)依次經(jīng)過三維量子反?；魻栂?、擴(kuò)散金屬(diffusive metal)相以及普通絕緣相。中間的三維量子反?；魻栂嘣赽t=0時(shí)難以被轉(zhuǎn)移矩陣的結(jié)果清晰表征，因此在上一節(jié)的工作中可能被忽略了，這個(gè)相在最近的一個(gè)工作中被強(qiáng)調(diào)[126]（at=bt=0的情況下）。有意思的是，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)介于外爾半金屬和擴(kuò)散金屬中間的三維量子反?；魻栂嘣赽t?0的時(shí)候變得非常明顯，因?yàn)閐Λ/dM隨著傾斜強(qiáng)度bt的引入而變得更大了（如圖17(a),(b)）。這個(gè)中間相可以理解為雜質(zhì)引起的谷間散射使得兩個(gè)谷合并，因此可以看成三維量子反常霍爾態(tài)的延伸，上一節(jié)中的三維量子反常霍爾態(tài)和第一類外爾半金屬的相邊界可能需要修正。

圖17.不同bt下，重整化局域化長度Λ關(guān)于無序強(qiáng)度W 的曲線。插圖著重展示相變點(diǎn)附近的細(xì)節(jié)嗎，其它參數(shù)與圖16一致。圖片來自文獻(xiàn)[39]。

圖18.相圖 bz-W；kx=ky=0,at=0,mz=0.190 m0。(a)轉(zhuǎn)移矩陣法獲得的完整相圖。其中實(shí)線與實(shí)點(diǎn)對應(yīng)從轉(zhuǎn)移矩陣獲得的相邊界，而虛線以及空心圓圈對應(yīng)可能的相邊界（這些區(qū)域點(diǎn)的局域化長度太長了，數(shù)值不能獲得準(zhǔn)確結(jié)果）(b)自洽玻恩近似獲得的相圖。圖片來自文獻(xiàn)[39]。

對于更大的傾斜度bt=0.8（圖 17.(c)），只有從第一類外爾半金屬–擴(kuò)散金屬–絕緣體的相變被觀測到。但是三維量子反?；魻枒B(tài)可能仍然存在于第一類外爾半金屬與擴(kuò)散金屬這兩個(gè)相之間。這是因?yàn)閷τ谛〉臒o序強(qiáng)度，Λ很大(≈102)且收斂性很差，因此轉(zhuǎn)移矩陣法很難給出準(zhǔn)確的結(jié)果，因此采用虛線以及空心圓圈來表示這些區(qū)域?？傮w來說，當(dāng)0＜bt＜1的時(shí)候，隨著傾斜強(qiáng)度bt的增加，安德森轉(zhuǎn)變（金屬–絕緣體轉(zhuǎn)變）需要的無序強(qiáng)度越來越弱。

當(dāng)bt≈1的時(shí)候，不管無序強(qiáng)度多弱，金屬相都消失（如圖17(d)），相應(yīng)的Λ也非常的小。 也就是說，當(dāng)bt趨向于1的時(shí)候，小的無序也能誘導(dǎo)出絕緣體相變。這是因?yàn)槠渲幸粭l能帶近乎是平的，這導(dǎo)致一個(gè)無限大的有效質(zhì)量，按照安德森無序理論，這條平帶在非常弱的無序下即發(fā)生局域化。注意到大動(dòng)量散射在這個(gè)模型中是被允許的，因此另外一條非平的能帶在無序誘導(dǎo)的谷間散射下與平帶耦合，從而使得非平能帶中的電子也進(jìn)入局域態(tài)。因此在真實(shí)材料中，第一類外爾半金屬和第二類外爾半金屬的相邊界也許是沒有物理意義的，因?yàn)楹苋醯臒o序就能破壞外爾半金屬相。

當(dāng)bt=1.3，1.4以及1.6，轉(zhuǎn)移矩陣的結(jié)果顯示兩個(gè)金屬相出現(xiàn)在相變點(diǎn)兩側(cè)（如圖17(e)Wc≈3.5兩側(cè)）。因?yàn)樵赪=0的時(shí)，體系必須是第二類外爾半金屬，因此在弱無序下的結(jié)果是第二類外爾半金屬相，而較強(qiáng)無序下的結(jié)果是擴(kuò)散金屬相。而對于小的bt，比如bt=1.2或者大的bt=1.8，2，重整化局域化長度Λ在弱無序下很大。因此在這些區(qū)域不能采用轉(zhuǎn)移矩陣法獲得精確的結(jié)果。此外沒有數(shù)值證據(jù)表明在擴(kuò)散金屬–第二類外爾半金屬之間還存在三維量子反?；魻栂啵覀冋J(rèn)為對于第二類外爾半金屬，中間的三維量子反常霍爾相應(yīng)該是不存在的。因?yàn)榈诙愅鉅柊虢饘僭谫M(fèi)米能有非零的態(tài)密度，兩個(gè)外爾點(diǎn)之間的散射不像在第一類外爾半金屬中那么重要了。有意思的是，我們發(fā)現(xiàn)同等條件下（如圖17(a),(f)中W=10時(shí)），第二類外爾半金屬的局域化長度也要比第一類外爾半金屬的局域化長度大一個(gè)數(shù)量級。一方面第二類外爾半金屬比第一類外爾半金屬在無序下輸運(yùn)性質(zhì)更好，有利于它的器件應(yīng)用；另外一方面，對于第一類外爾半金屬輸運(yùn)弛豫時(shí)間與量子弛豫時(shí)間比值很大（見最后一節(jié)），由于第二類外爾半金屬比第一類外爾半金屬有更長的局域化長度，我們預(yù)期該比值會(huì)更顯著，這個(gè)效應(yīng)能被當(dāng)前實(shí)驗(yàn)觀測到。

圖19.(a)-(b)自能對角部分的虛部 ?[Σ0]±?[Σz]與無序強(qiáng)度 W 的關(guān)系。(c)費(fèi)米能附近的態(tài)密度與無序強(qiáng)度 W 的關(guān)系。(d)-(e)自能的實(shí)部 ?[Σ0]與 ?[Σz]與無序強(qiáng)度 W 的關(guān)系。?[Σ0]會(huì)移動(dòng)費(fèi)米面的位置，?[Σz]會(huì)重整化拓?fù)滟|(zhì)量 mz， 能近似采用?[Σz]=?0.02W2擬合。圖片來自文獻(xiàn)[39]。

4.自洽玻恩近似

為了更好的理解第二類外爾半金屬在無序下的相變，我們通過自洽玻恩近似計(jì)算了體系的自能修正。如圖 19(a),(b)，自能的虛部決定準(zhǔn)粒子的壽命，?[Σ0]±?[Σz]都小于 0，并且隨著bt以及W的增大都是減小的。這表示在無序下的外爾半金屬有兩種準(zhǔn)粒子，他們的壽命均隨著傾斜強(qiáng)度以及無序強(qiáng)度的增大而減小。費(fèi)米能的態(tài)密度與Σ0的虛部有關(guān)， 其表達(dá)式為：

當(dāng)bt＜1時(shí)，費(fèi)米面的態(tài)密度是零，這時(shí)候兩個(gè)外爾點(diǎn)都是第一類外爾點(diǎn)，與之前的分析一致。存在一個(gè)特定的無序強(qiáng)度Wcl(如圖 19(c))，當(dāng)W＜Wcl的時(shí)候，體系在費(fèi)米面的態(tài)密度仍然為0，而當(dāng)W＞W(wǎng)cl的時(shí)候，費(fèi)米能級有非零的態(tài)密度，體系進(jìn)入擴(kuò)散金屬相。根據(jù)Wcl我們得到了圖18(b)中的藍(lán)色實(shí)心圓以及藍(lán)色實(shí)線。這條線區(qū)分了第一類外爾半金屬與擴(kuò)散金屬相，它定性來看與轉(zhuǎn)移矩陣給出結(jié)果趨勢上一致，但定量上并不相同，而且自洽玻恩近似也不能得到圖18.(a)的三維量子反常霍爾相。而對bt＞1，由于第二類外爾半金屬在費(fèi)米面上也具有非零的態(tài)密度，因此自洽玻恩近似不能給出Wcl，自洽玻恩近似也不能給出第二類外爾半金屬與擴(kuò)散金屬的相邊界。

接著我們研究自能的實(shí)部，因?yàn)?[Σ0]與動(dòng)量k無關(guān)，它僅僅移動(dòng)費(fèi)米面。因?yàn)殡娮涌昭▽ΨQ，當(dāng)bt=0的時(shí)候 Σ0也為零。對于非零的bt，理論上費(fèi)米能級發(fā)生移動(dòng)，使得體系獲得有限的態(tài)密度(bt＜1)，但從圖19(d)可看出這種移動(dòng)并不明顯，我們推測圖19.(c)描述的物理機(jī)制在外爾半金屬到擴(kuò)散金屬的相變中占據(jù)主導(dǎo)地位。與此同時(shí)?[Σz]是負(fù)的，并且隨著無序強(qiáng)度W的增加而減小，說明無序的作用總是趨向于使能帶反轉(zhuǎn)得更厲害，理論上這種趨勢會(huì)使得體系在Wc2≈8.4從外爾半金屬轉(zhuǎn)變?yōu)槿S量子反?；魻枒B(tài)（如圖 18(b))）。但通過比較圖 18.(a)和 (b),我們發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)移矩陣的結(jié)果與自洽玻恩近似的結(jié)果并不自洽，這是因?yàn)樽郧⒉６鹘浦贿m用于弱無序的情況，它給出的三維量子反?；魻栃?yīng)在轉(zhuǎn)移矩陣的結(jié)果中并沒有體現(xiàn)出來，而且自洽玻恩近似中也不能預(yù)測普通絕緣體相。

玻恩近似常被用來研究無序體系的相變性質(zhì)，通過以上具體的研究，我們給出了玻恩近似的適用范圍，這對后續(xù)的無序體系物性研究有一定的指導(dǎo)意義。

IV.外爾半金屬中拓?fù)銲MBERT-FEDOROV效應(yīng)

A.背景

圖20.入射光線與出射光線的中心不在同一個(gè)位置，圖中標(biāo)出了Imbert-Fedorov位移DIF以及Goos-Hnchen位移DGH。

外爾半金屬的能帶具有三個(gè)方向的線性色散關(guān)系，與光學(xué)中頻率波矢色散關(guān)系完全類似，一些新奇光學(xué)現(xiàn)象可能在外爾電子體系出現(xiàn)，在本節(jié)我們研究了這一問題。我們初中開始接觸的幾何光學(xué)告訴我們，入射光、反射光與折射光在同一平面，且相交于同一點(diǎn)。這是因?yàn)閹缀喂鈱W(xué)考慮的是平面波的光，而實(shí)際情況下，攜帶信息的應(yīng)該是光束。有限大小的光束在平面內(nèi)的反射的情況就相當(dāng)復(fù)雜了。這里我們介紹光束中心在平面內(nèi)以及平面外的位移。

Goos-Hnchen位移:早在 17世紀(jì)，牛頓就推測光束中心在介質(zhì)表面反射的時(shí)候會(huì)有一個(gè)在入射平面內(nèi)的位移。兩個(gè)世紀(jì)之后Goos與H¨anchen兩人成功測量出了這個(gè)面內(nèi)位移，稱為 Goos-H¨anchen(GH)位移[128]（如圖(20)中的DGH）。由于GH位移特征長度是亞波長，所以近年來GH位移在光波導(dǎo)以及微波腔體有重要應(yīng)用。理論上，GH位移已經(jīng)在多個(gè)層次上得到了解釋，并且拓展到其他光學(xué)體系。原因在于，GH位移的本質(zhì)是由于光的波粒二象性導(dǎo)致，由于自然界所有已知粒子都具有波粒象性。所以GH位移不僅存在于光子的反射過程中，也存在于原子[129]、中子[130]、電子[131]等體系。GH位移亦存在于石墨烯等極端相對論材料的電子反射過程中[133]。

Imbert-Fedorov位移:另外一種超越幾何光學(xué)定律的位移是 Imbert-Fedorov(IF)位移，這個(gè)位移是指反射平面之外的橫向位移（如圖 20中的DIF）。與GH位移簡單的物理起源相比，IF位移的物理起源則相對復(fù)雜甚至引起了很多爭論。最開始是 Fedorov和 Imbert通過波印廷矢量來來討論 IF位移的存在性[132,134]。之后 在 1965年，Schilling首次利用平面波疊加和干涉原理給出 IF位移的表達(dá)式的完整形式[135]。在 1987年，F(xiàn)edoseyev和 Player發(fā)現(xiàn) IF位移與光的動(dòng)量守恒有關(guān)[136]。1992年，Liberman和Zel’dovich通過引入了光的自旋軌道耦合效應(yīng)[137]，重新推導(dǎo)出了 IF位移和 Schilling公式。2004年，Onoda等人把 IF位移看作光子的霍爾效應(yīng)，通過幾何貝里相位將 IF位移推導(dǎo)出來[138]。最近，Bliokh等人給出了完整的理論辦法推導(dǎo)出IF位移，并且預(yù)言了角度 IF位移[139]。這個(gè)理論于2008年在實(shí)驗(yàn)上被Hosten和Kwiat驗(yàn)證。Hosten等人利用弱測量辦法成功測出了左旋光和右旋光具有相反的Imbert-Fedorov位移[140]。迄今所有的關(guān)于IF位移的爭議都已經(jīng)消失，而且GH位移和IF位移可以統(tǒng)一于波包在反射過程中發(fā)生形變這一框架下。GH位移在石墨烯中已經(jīng)理論預(yù)言，但由于石墨烯是二維體系，因此不存在IF位移。為了研究極端相對論條件下IF位移，我們希望在三維體系即外爾半金屬體系中尋求這一效應(yīng)[40]。

B.weyl半金屬體系中的 IF位移

為了研究GH位移以及IF位移，我們利用外爾半金屬體系構(gòu)造一個(gè)pn結(jié)[40,141]，哈密頓量滿足如下形式

在x=0存在躍變的勢壘。我們用體系的本征態(tài)構(gòu)造高斯波包，波包從x＜0入射到x=0平面，產(chǎn)生反射。入射高斯波包滿足：

其中x,y)為高斯分布函數(shù)。波包展寬為 ?ks,并且存在最大值位置，即波包中心波包表達(dá)式中的ψin(k,r)滿足定態(tài)方程Hψin=Eψin，在x＜0求解的結(jié)果

有同理構(gòu)造反射波包：

而ψre(k,r)只需要將kx→?kx,α→π?α得到：

圖21.(a)外爾半金屬pn結(jié)示意圖。(b)不同手性外爾費(fèi)米子的GH位移和IF位移與入射角的依賴關(guān)系。圖中的黃色區(qū)域?qū)?yīng)全反射區(qū)域。λF=?νi/E為費(fèi)米波長。(c)(d)不同入射角θ=30,45,60情況下,GH位移(c)和IF位移(d)隨著界面勢能V的依賴關(guān)系。圖片來自文獻(xiàn)[40]。

從Eq.(90)和Eq.(91)可看出，因?yàn)榉瓷湎辔坏拇嬖冢瓷鋾r(shí)波包的疊加情況會(huì)發(fā)生改變。由于這個(gè)原因反射波包的中心會(huì)發(fā)生位移。為了計(jì)算波包中心的位置，我們采用stationary phase method或者把波包的積分積出，高斯波包的中心位于波包函數(shù)的最大值位置。

stationaryphasemethod：對于F(x)=∫dkf(k?k0)eiα(k,x)，F(xiàn)(x)的最大值在x0,并且滿足 dα(k,x0)/dk|k0。

這里采用高斯積分可以計(jì)算入射以及反射波包中心的位置分別為：

其中下標(biāo)±表示上旋量以及下旋量，同理反射波包的中心位于：

相減我們可以得到在z方向以及y方向的位移得到：

圖22.(a)正的GH位移，以及手性依賴的IF位移。(b)負(fù)的GH位移，以及手性依賴的IF位移。圖中紅色綠色表示兩個(gè)不同的手性錐。圖中GH位移可以調(diào)節(jié)，但是IF位移是手性依賴的。圖片來自文獻(xiàn)[40]。

其中α=arctan(νyky/νzkz)，而反射相位仍然未知，因此需要求解反射相位。我們這里主要考慮全反射情況|r|=1，x＞0區(qū)域的波函數(shù)必須是指數(shù)衰減的。根據(jù)ψin+ψre與右側(cè)衰減波函數(shù)的連續(xù)性條件，因?yàn)楣茴D量只有一階導(dǎo)數(shù)，所以只需考慮波函數(shù)在x=0連續(xù)即可得到：

相位表達(dá)式中其中按照波函數(shù)上下旋量的權(quán)重，我們得到方向?qū)?yīng)GH位移，z方向?qū)?yīng)IF位移。經(jīng)過簡單計(jì)算，最終獲得了GH位移以及IF位移的表達(dá)式：

其中是手性的定義。選擇，因此β=γ=1。從方程(90)和(91)我們不難發(fā)現(xiàn)：第一，GH位移依賴界面勢能V，而IF位移與界面勢能V無關(guān)，即IF位移對界面不敏感。第二，GH位移與外爾費(fèi)米子的手性無關(guān)，而IF位移依賴于外爾費(fèi)米子的手性。

圖21(c)顯示 GH位移大小依賴于勢能V，并且GH位移的正負(fù)可通過V調(diào)控。圖21(d)顯示IF位移與V無關(guān)，但卻是谷依賴的（這里谷等價(jià)于Weyl費(fèi)米子手性）。谷依賴的IF位移提供了新的方法去實(shí)現(xiàn)谷電子學(xué)（如圖22）。

C.半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程

上一小節(jié)告訴我們，IF位移與界面的具體情況完全無關(guān)，究其原因它是一個(gè)拓?fù)湫?yīng)，下面我們給出它的拓?fù)淦鹪础Ｔ诘诙」?jié)，我們得到了外爾半金屬具有非零的貝里曲率，根據(jù)文獻(xiàn)[77]，貝里曲率結(jié)合動(dòng)量的改變會(huì)提供一個(gè)反常速度項(xiàng)：

由于x方向界面勢能在x=0的改變，x方向動(dòng)量發(fā)生改變，結(jié)合y方向的貝里曲率?y，從而導(dǎo)致z方向的位移：

進(jìn)一步令νx=νy=ν||,νz=ν⊥，于是得到的IF位移為

從上式不難看出，半經(jīng)典理論得到的IF位移與在相同條件下的全量子計(jì)算結(jié)果（Eq.(97)）一致。在上述推導(dǎo)中，我們只利用了全反射時(shí)x方向動(dòng)量大小相等方向相反和外爾點(diǎn)的貝里曲率有磁單極的形式，這兩個(gè)性質(zhì)是普適的，與具體材料細(xì)節(jié)無關(guān)，因此IF位移是一個(gè)拓?fù)湮灰啤?/p>

D.IF位移導(dǎo)致的反常速度

我們考慮如圖23(a)所示的外爾半金屬三明治結(jié)構(gòu)，在區(qū)域II注入外爾費(fèi)米子。三個(gè)區(qū)域的電勢也在圖a的下圖中標(biāo)出。如果體系關(guān)于x=0中心對稱，GH位移在左右兩側(cè)是同向等大的，而IF位移則在兩個(gè)交界面等大反向。要得到IF位移的效應(yīng)，必須要破壞體系關(guān)于中心的鏡面對稱。我們使三個(gè)區(qū)域沿著z方向的費(fèi)米速度不同，這樣很顯然破壞了鏡面對稱性。外爾費(fèi)米子在區(qū)域II來回多次反射后，GH位移與IF位移會(huì)在x，y方向積累，形成反常速度：

其中表示兩次反射之間的時(shí)間差。入射引起的正常速度為νn,y=νsinθcos?,νn,z=νcosθsin?,總的速度為νt,y(z)=νn,y(z)+νa,y(z)，而且IF引起的反常速度總是垂直于外爾費(fèi)米子的傳播平面。

給定入射角，可以計(jì)算最終的位移。不考慮反常速度，到達(dá)區(qū)域II底部的時(shí)間為T0=h/νn,z,考慮反常速度后T1=h/νt,z，最終在y方向產(chǎn)生的位移為：

圖23.(a)外爾半金屬三明治結(jié)構(gòu)示意圖。參數(shù)設(shè)為費(fèi)米能E=100 meV，勢能差V=150 meV，高度h=10μm，三個(gè)區(qū)域 z方向的速度 νIz=νL=1.2×106m/s,νIIz=ν=106m/s,νIIIz=νR=0.8×106m/s其它方向速度為 106m/s。除正常速度外，體系中還存在GH位移和IF位移引起的反常速度。(b)Weyl費(fèi)米子在區(qū)域II的運(yùn)動(dòng)軌跡，對應(yīng)黑色箭頭。電子由透射電子顯微鏡注入，注入角為θ，h是結(jié)構(gòu)的高度，d是中間區(qū)的寬度，θ=30,d=50 nm。通常情況下運(yùn)動(dòng)軌跡處于平面ABMN,但是由于IF移動(dòng)，兩個(gè)谷的運(yùn)動(dòng)平面分別位于ABRS和ABPQ，在空間分離。(c)GH位移引起的反常速度與入射角度的關(guān)系。(d)IF位移引起的反常速度與入射角的關(guān)系。(e)GH位移與IF位移引起的總的反常速度。(f)反常速度在空間引起的正負(fù)位移SN,QN。圖片來自文獻(xiàn)[40]。

由上式，我們最終得到圖23(c)～(f)。實(shí)線表示y方向，虛線表示z方向。GH位移與谷無關(guān)，而IF位移中紅色與綠色分別對應(yīng)兩個(gè)不同的谷。因此最終導(dǎo)致總的反常速度也是谷依賴的（圖23(e)）。而兩個(gè)不同谷的費(fèi)米子最后會(huì)在空間分開積累（如圖23(f)），使得制作谷電子器件成為可能。如圖24(f)所示，我們采用這個(gè)結(jié)構(gòu)構(gòu)造了谷器件，(a)(b)是不考慮GH位移和IF位移時(shí)的谷積累，可以看到兩個(gè)谷在空間的同一個(gè)位置，而當(dāng)引入GH和IF位移后如圖24(c)～(e)所示，兩個(gè)谷的積累效果在空間被分開。

這里必須指出，IF位移還可以幫助判斷費(fèi)米弧結(jié)構(gòu)是否存在。我們發(fā)現(xiàn)Weyl半金屬與真空的交界面處入射的外爾費(fèi)米子是不存在IF位移的（詳見[141]）。由于IF位移需要手性能夠被很好得定義（它與手性密切相關(guān)），這就表明了在外爾半金屬與真空交界面上存在兩種手性外爾費(fèi)米子的混合模式，費(fèi)米弧表面態(tài)是連接兩種手性費(fèi)米子的通道，因此IF位移可以充分體現(xiàn)費(fèi)米弧存在性的物理本質(zhì)。我們前文也提到了，判斷外爾半金屬最重要的依據(jù)就是費(fèi)米弧和線性能帶，而對于磁性材料的費(fèi)米弧和線性能帶很難直接通過角分辨光電子能譜來表征。但是通過這一方法，我們只需要觀測體系與真空交界面不存在IF位移，而同種材料構(gòu)造的pn結(jié)存在手性依賴的IF位移，這就能證明手性費(fèi)米子與表面費(fèi)米弧的存在。

此外，IF位移的起源于貝里曲率。貝里曲率雖然是規(guī)范不變量，因此從理論上來說是能夠被測量的，但是一直以來鮮有可行的實(shí)驗(yàn)方案去探測凝聚態(tài)材料的貝里曲率。通過IF位移的拓?fù)淦鹪?，我們可以通過量化的關(guān)系

得到材料中的貝里曲率。因此這使得在實(shí)驗(yàn)上探測貝里曲率這一重要物理量成為可能。

E.總結(jié)

本節(jié)我們把光學(xué)中的概念 Goos-Hanchen位移和Imbert-Fedorov位移應(yīng)用到了拓?fù)浒虢饘袤w系。我們通過全量子力學(xué)方法得到了外爾費(fèi)米子波包在p-n結(jié)界面存在勢能可調(diào)的Goos-Hanchen位移和拓?fù)浔Ｗo(hù)的Imbert-Fedorov位移。同時(shí)，我們通過半經(jīng)典波包動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)出了Imbert-Fedorov位移，并得到了相同的結(jié)果。我們發(fā)現(xiàn)Goos-Hanchen位移與外爾費(fèi)米子手性無關(guān)，而Imbert-Fedorov位移卻依賴于外爾費(fèi)米子手性，同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)Imbert-Fedorov位移可導(dǎo)致谷極化效應(yīng)。另外，我們提出Imbert-Fedorov位移可應(yīng)于直接探測體系的貝里曲率。最后我們介紹了外爾費(fèi)米子在外爾半金屬與真空交界面處反射過程，我們發(fā)現(xiàn)外爾費(fèi)米子會(huì)在反射過程中發(fā)手性混合，這從一個(gè)新的角度說明了外爾半金屬表面態(tài)費(fèi)米弧存在的原因。最近外爾半金屬IF位移的概念得到了進(jìn)一步推廣,具體可參考文獻(xiàn)[142-145]。

圖24.(f)采用IF位移構(gòu)造的谷器件示意圖；(a)(b)表示不考慮GH位移和IF位移的時(shí)候，兩個(gè)不同手性費(fèi)米子在空間的積累，顏色越深表示積累的密度越高。(c)-(e)表示考慮GH與IF位移以后，兩個(gè)谷的外爾費(fèi)米子在空間的積累，可以看到兩個(gè)谷的載流子在空間被分開。圖片來自文獻(xiàn)[40]。

最后我們比較光學(xué)中的IF位移與外爾半金屬中IF位移。雖然外爾半金屬中的IF位移和光學(xué)中IF位移都是三維效應(yīng)，但是二者存在許多顯著的差異：（1）光學(xué)中的IF位移來自于解麥克斯韋方程組，而外爾半金屬中的IF位移來自于解外爾方程，不同類型的方程自然會(huì)給出不同的結(jié)果。（2）在光子自旋霍爾效應(yīng)中，霍爾電流是光子的自旋流，而外爾半金屬IF效應(yīng)中，霍爾電流是手性電子流。（3）光子的偏振（自旋）并不是好量子數(shù)，并且在反射過程中改變。然而IF效應(yīng)中手性則是個(gè)好量子數(shù)，并不會(huì)在反射過程中發(fā)生改變。這會(huì)使得外爾半金屬中的IF位移和光子的IF位移差異明顯。例如：垂直入射時(shí)，由于光子在反射過程中偏振方向反號，導(dǎo)致光子的IF消失。與之對比，由于手性在反射過程中保持不變，導(dǎo)致垂直入射情況下外爾半金屬中的IF位移達(dá)到極大值。

V.外爾半金屬中單雜質(zhì)波包散射效應(yīng)

A.背景

在固體材料中，引入電場會(huì)加速電子產(chǎn)生隨電場增大而增大的漂移速度。由于雜質(zhì)缺陷的原因，這個(gè)漂移速度必然存在一個(gè)上限雖然繼續(xù)增大電場電子漂移更劇烈，但是與雜質(zhì)的碰撞與散射也加劇，兩者相互競爭，最終達(dá)到穩(wěn)定，因此得到:

表I.各種拓?fù)浒虢饘僦谐哌w移率，表格來自文獻(xiàn)[149]。

圖25.(a)外爾費(fèi)米子波包在雜質(zhì)下的散射示意圖。b為散射碰撞因子，θ,?對應(yīng)入射方向的參量。(b)手性保護(hù)位移在不同散射角度下與費(fèi)米能的關(guān)系。(c)手性保護(hù)位移?ch在波包散射后出現(xiàn)，紅色箭頭表示手性為C=?1的波包出射方向。(d)手性為C=?1的波包出射動(dòng)量空間分布圖，沿 z方向看，出射動(dòng)量分布構(gòu)成一個(gè)螺旋圖，半徑對應(yīng)手性保護(hù)位移的大小。圖片來自文獻(xiàn)[146]。

其中τt是輸運(yùn)弛豫時(shí)間，τt越大，初始動(dòng)量被弛豫的時(shí)間越長，達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)漂移速度越大，雜質(zhì)散射的作用越弱。遷移率的定義為，這個(gè)公式表明輸運(yùn)弛豫時(shí)間越長，雜質(zhì)散射越弱，遷移率越高。下面我們定義一個(gè)新的物理量，量子弛豫時(shí)間τq。輸運(yùn)弛豫時(shí)間可認(rèn)為是電場方向的動(dòng)量被碰撞弛豫掉的平均時(shí)間。量子弛豫時(shí)間是電子與雜質(zhì)發(fā)生兩次碰撞所經(jīng)歷的平均時(shí)間，它可通過能級的展寬來估算。單電子近似下，量子弛豫時(shí)間與輸運(yùn)弛豫時(shí)間都可以通過散射界面得到：

νf,ni分別表示費(fèi)米速度與雜質(zhì)濃度。?表示立體角，σ(θ,?) 是微分散射截面。Rτ=τt/τq是一個(gè)與輸運(yùn)密切相關(guān)的重要物理量，一般而言，Rτ大表明載流子經(jīng)過多次碰撞后仍保持原來的運(yùn)動(dòng)方向，電場對載流子加速效果明顯，遷移率高。如果微分散射截面是常數(shù)的話，多數(shù)情況下，這兩個(gè)時(shí)間是一個(gè)量級的，例如在普通二維電子氣和石墨烯體系中Rτ=2。但對于高遷移率GaAs二維電子氣等，因?yàn)檩d流子層與雜質(zhì)層在空間上分離，使得Rτ可以達(dá)到10～100這樣地量級。

最近幾年，大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明拓?fù)浒虢饘袤w系Rτ達(dá)到了 104量級[147]，如表 I所示，相應(yīng)的拓?fù)浒虢饘伲ㄍ鉅柊虢饘伲┑倪w移率非常高，達(dá)到了107cm2.v.s?1。二維電子氣高遷移率來源于載流子與雜質(zhì)層的空間分離，為什么外爾半金屬體系的載流子與雜質(zhì)在空間上是重疊的，卻會(huì)有如此高的弛豫時(shí)間比值和載流子遷移率？由于遷移率是材料最重要的指標(biāo)，是材料在電子器件應(yīng)用方面的基礎(chǔ)，因此外爾半金屬的高遷移率問題是拓?fù)鋺B(tài)研究的核心問題之一。我們在這一部分提供解決該問題的新思路[146]。

我們考慮Weyl半金屬體系。波包被單雜質(zhì)的散射，如圖25(a)所示，體系哈密頓量為：

B.手性保護(hù)位移

νij是速度參量，代表ki方向的費(fèi)米速度，定義手性C=sgn[detνij]。 為了簡便我們?nèi)「飨蛲缘那闆r，即H=C?νk·σ。前一節(jié)，我們得到了外爾費(fèi)米子波包在界面散射會(huì)產(chǎn)生橫向位移（IF位移），因此我們期待波包受雜質(zhì)散射也存在橫向位移。雖然散射也可能會(huì)導(dǎo)致縱向位移，但是縱向位移不提供角動(dòng)量，不會(huì)產(chǎn)生明顯的物理效應(yīng)。由于體系具有z軸的旋轉(zhuǎn)對稱性，因此可以考慮雜質(zhì)散射過程中z方向的角動(dòng)量守恒，從而得到手性保護(hù)位移。由于外爾費(fèi)米子無質(zhì)量，其手性和螺旋度是一致的，而螺旋度是自旋角動(dòng)量在正則動(dòng)量方向的投影。手性C=±1分別對應(yīng)自旋與動(dòng)量平行與反平行的情況。受到雜質(zhì)散射前后，自旋角動(dòng)量改變量為其中r表示波包出射方向的單位矢量 (sinθcos?,sinθsin?,cosθ)，此式表示最初沿著z方向的自旋，散射后沿著散射方向，他們之間的差值就是自旋改變量。對應(yīng)的軌道角動(dòng)量該變量為 ?L=δch×pout，其中δch= ?ch(sinθ0cos?0,sinθ0sin?0,cosθ0) 是散射過程中的橫向位移，pout=pr是散射波包的正則動(dòng)量。我們考慮正入射，經(jīng)過散射后，波包處于x-y平面內(nèi)如圖 25(c)(d)所示。 散射后手性位移矢量滿足θ0=π/2,?0=?±π/2?？紤]z方向角動(dòng)量守恒，即得到手性保護(hù)位移大?。?/p>

進(jìn)而得到橫向位移矢量：

對于手性C=±1的外爾費(fèi)米子，圖 25(b)是不同散射角度下，手性保護(hù)位移與費(fèi)米能的關(guān)系，可以看到隨著θ增大，?ch劇烈增加。

C.半經(jīng)典分析

在波包散射過程中，我們定義碰撞因子b，其物理意義是波包中心到散射中心的垂直距離（見圖25(a)）。按照波包散射理論，波包對散射截面貢獻(xiàn)的幾率P(θ,b)，會(huì)隨著b的增加而呈指數(shù)衰減[148]：

其中 ?r表示波包展寬，σ(θ)是平面波散射截面。而由于手性保護(hù)位移的存在使得：

圖26. (a)量子弛豫時(shí)間（紅色實(shí)線）和輸運(yùn)弛豫時(shí)間（藍(lán)色實(shí)線）隨著費(fèi)米能的變化關(guān)系。其中 (b) 波包散射（藍(lán)色實(shí)線）和平面波散射（紅色虛線）對應(yīng)的弛豫時(shí)間比值Rτ和Rτ0。圖片來自文獻(xiàn) [146]。

從而將P(θ,b)修正為：

背散情況下θ=π，?ch→∞P(θ,b)→0，這表明背散被手性保護(hù)位移完全壓制。同時(shí)當(dāng)θ比較大時(shí)，由于?ch對的修正也很大，造成P(θ,b)隨著θ的增大呈指數(shù)衰減。這也就意味著，外爾半金屬中的大角度散射也被壓制，只有小角度散射才是可能的。小角度散射是二維電子氣超高遷移率的物理原因，但這里導(dǎo)致這一現(xiàn)象的物理機(jī)制是完全不同的，二維電子氣大角度散射被壓制來源于載流子與雜質(zhì)在空間分離，而在外爾半金屬體系，這一現(xiàn)象來自于手性保護(hù)位移?ch。為了更深入的理解以上結(jié)果，我們采用量子力學(xué)中處理散射問題的一般方法來作進(jìn)一步驗(yàn)證。

D.波包散射

體系哈密頓量為：

其中V(r)為無序或缺陷，在玻恩近似下，散射波滿足：

圖27.實(shí)驗(yàn)測量的弛豫時(shí)間比值，圖中分立的點(diǎn)取值于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，藍(lán)色實(shí)線是我們理論預(yù)測。圖片來自文獻(xiàn)[150]

其中G(r?r′)為不考慮無序與缺陷時(shí)的格林函數(shù)，它滿足的演化方程：

其中H0=?νk·σ。 與之前構(gòu)造波包的方法類似，我們得到入射波包：

其中是波包展寬,根據(jù)格林函數(shù)與入射波包，可得到散射波包：

進(jìn)而散射波包散射幾率為：

經(jīng)過一系列的計(jì)算后，得到波包對散射截面貢獻(xiàn)的幾率：

?ch=不難發(fā)現(xiàn)采用量子力學(xué)方法也得到了與半經(jīng)典方法相同的指數(shù)修正項(xiàng)，再次驗(yàn)證了手性保護(hù)位移修正碰撞因子大小，進(jìn)而導(dǎo)致了大角度下波包散射概率的急劇減小。

為了計(jì)算量子弛豫時(shí)間與輸運(yùn)弛豫時(shí)間，我們將碰撞因子積掉，碰撞因子的截?cái)郻c取決于雜質(zhì)濃度。根據(jù)Eq.(105)和Eq.(106)可以得到弛豫時(shí)間如圖26(a)所示。雜質(zhì)濃度取為1018cm?3,bc=5 nm大約是最近鄰雜質(zhì)距離的一半。兩個(gè)弛豫時(shí)間都會(huì)在高費(fèi)米能位置達(dá)到飽和。而圖26(b)顯示，Rτ隨著費(fèi)米能接近Weyl點(diǎn)而陡增。弛豫時(shí)間比很大意味著體系具有很高的遷移率，這就是外爾半金屬中超高電子遷移率的機(jī)制。這一機(jī)制已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，如圖27所示，北京大學(xué)賈爽研究組在TaAs樣品分別測定了輸運(yùn)弛豫時(shí)間和量子弛豫時(shí)間，在費(fèi)米能級靠近外爾點(diǎn)時(shí)，弛豫時(shí)間比值Rτ突然增大。

VI.總結(jié)

隨著物理學(xué)家的努力，拓?fù)涓拍罱Y(jié)合凝聚態(tài)材料展現(xiàn)給我們越來越豐富的物理特性。繼拓?fù)浣^緣體之后，外爾半金屬作為一種全新的拓?fù)浒虢饘賾B(tài)擁有非常新奇的物性和豐富的輸運(yùn)現(xiàn)象。我們著重介紹了外爾半金屬體系一些基本的概念如手性反常、手性磁效應(yīng)、貝里曲率、手性朗道能級等一系列與輸運(yùn)相關(guān)的物性。我們相信對外爾半金屬的深入研究能夠幫助我們更好的揭示拓?fù)溥@一數(shù)學(xué)概念在凝聚態(tài)研究中所起的作用。

在這篇綜述中，也著重介紹了過去幾年我們在外爾半金屬輸運(yùn)領(lǐng)域的工作。我們介紹了無序?qū)深愅鉅柊虢饘俚挠绊懖⒎謩e獲得了第一類以及第二類外爾半金屬在無序下的完整相圖。與自洽玻恩近似的結(jié)果相比較，弱無序下的外爾點(diǎn)仍然是穩(wěn)定的，此外我們發(fā)現(xiàn)第二類外爾半金屬的輸運(yùn)性質(zhì)比第一類外爾半金屬更優(yōu)越。我們研究了無序類型對外爾半金屬磁阻的影響，分別考慮了兩種特定的無序：長程無序以及短程無序。我們發(fā)現(xiàn)對于長程無序高朗道能級輔助的背散變的很重要，這種情況下玻爾茲曼方程不再適用。我們研究了外爾半金屬中類光學(xué)輸運(yùn)，在此基礎(chǔ)上得到了外爾半金屬的GH和IF位移，我們發(fā)現(xiàn)IF位移是一種手性保護(hù)的拓?fù)湮灰?，它完全取決于外爾半金屬的拓?fù)涮匦?，基于這些特性，我們提出IF位移能夠在判斷費(fèi)米弧、構(gòu)造谷量子器件、測定貝利曲率方面具有巨大的應(yīng)用前景。最后我們利用手性保護(hù)拓?fù)湮灰铺岢隽送負(fù)浒虢饘僦械某唠娮舆w移率問題的一種可能解釋。

致 謝

感謝一直以來謝心澄、孫慶豐在本綜述所總結(jié)工作中的指導(dǎo)與合作，感謝與汪自強(qiáng)、劉海文、宋俊濤、吳宜家的合作以及他們在本綜述中的貢獻(xiàn)。感謝與王乾君、潘義明、賈爽、盧海舟、修發(fā)賢、唐維等的深入討論。感謝國家自然科學(xué)基金11534001、國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃2014CB920901以及江蘇省自然科學(xué)基金杰出青年項(xiàng)目BK20160007的資助。

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