張林娟，莫宏敏

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

H-矩陣是特殊矩陣中最重要的一類矩陣，在計(jì)算數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、物理學(xué)電力系統(tǒng)理論和控制論中都有廣泛的應(yīng)用.筆者擬在文獻(xiàn)[1-4]的基礎(chǔ)上給出一組判定非奇異H-矩陣的方法.

1 相關(guān)定義

定義2[5]設(shè)A=(aij)n×n∈Cn×n，若存在α∈(0，1]，對(duì)于?i∈N，有|aii|>αRi(A)+(1-α)Si(A)，則稱A為嚴(yán)格的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣；若存在正對(duì)角矩陣D使得AD為嚴(yán)格的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，則稱A為廣義的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.

為了敘述方便，引入下列劃分：

N1={i∈N:0<|aii|=αRi(A)+(1-α)Si(A)}，

N2={i∈N:0<|aii|<αRi(A)+(1-α)Si(A)}，

N3={i∈N:|aii|>αRi(A)+(1-α)Si(A)}.

顯然，N=N1⊕N2⊕N3.

定義

2 主要結(jié)果及其證明

引理1[6]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若A為廣義的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A為非奇異H-矩陣.

引理2[7]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若A為不可約的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，或A為具有非零元素鏈的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A為非奇異H-矩陣.

定理1設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若存在α∈(0，1]，對(duì)于?i∈N2，有

(1)

則A為非奇異H-矩陣.

證明由r和δi(A)的定義可知δi(A)≤r，i∈N3且0≤r<1.對(duì)于?i∈N1，記

對(duì)于?i∈N2，記

αRi(A)+(1-α)Si(A)>Pi(A)i∈N1.

(2)

設(shè)

(3)

(4)

構(gòu)造正對(duì)角矩陣X=diag(x1，x2，…，xn)，其中

令B=(bij)n×n=AX，對(duì)于?i，j∈N，有bij=xjaij.現(xiàn)只要證明B為嚴(yán)格的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣即可.

又由N3的定義可知，對(duì)于?i∈N3，有

于是對(duì)于?i∈N3，有

即|bii|>αRi(B)+(1-α)Si(B).

綜合(ⅰ)—(ⅲ)可知，對(duì)于?i∈N，有|bii|>αRi(B)+(1-α)Si(B),即B為嚴(yán)格的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.由B=AX可知A為廣義的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，再由引理1可知A為非奇異H-矩陣.

定理2設(shè)A=(aij)∈Cn×n，A不可約，若存在α∈(0，1]，對(duì)于?i∈N2，有

(5)

且至少有1個(gè)不等式是嚴(yán)格成立的，則A為非奇異H-矩陣.

證明因?yàn)锳不可約，所以存在正對(duì)角矩陣X使得AX不可約.令B=(bij)n×n=AX，bij=xjaij，?i，j∈N，則B也不可約.

下面證明B為不可約的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.因?yàn)閷?duì)于?i∈N2，(5)式中至少有1個(gè)不等式嚴(yán)格成立，不妨設(shè)j∈Jk?N2，所以

構(gòu)造正對(duì)角矩陣X=diag(x1，x2，…，xn)，其中

(ⅰ)對(duì)于?i∈N1，有|bii|>αRi(B)+(1-α)Si(B).

(ⅱ)對(duì)于?i∈N2Jk，有

對(duì)于?i∈Jk?N2，有

(ⅲ)對(duì)于?i∈N3，有

(1-α)δi(A)Si(A)>(1-α)(1-δi(A))Si(A)≥0.

綜合(ⅰ)—(ⅲ)可知，對(duì)于?i∈N，有|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B)，B不可約且至少有1個(gè)不等式嚴(yán)格成立，即B為不可約的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.由引理2可知B為非奇異H-矩陣，再由引理1可知A為非奇異H-矩陣.

定理3設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若存在α∈(0，1]，滿足以下條件：

且對(duì)于?i∈K(A)，存在非零元素鏈aij1aj1j2…ajk-1jk使得jk∈NK(A)；

(ⅱ)對(duì)于?i∈N2，有

則A為非奇異H-矩陣.

證明同定理1，略.

3 數(shù)值實(shí)例

設(shè)

取α=1，根據(jù)文獻(xiàn)[1],N的劃分為N1=?，N2={1，4}，N3={2，3，5}.因a11=5，a22=100，a33=100，a44=15，a55=30,故R1(A)=10，R2(A)=92，R3(A)=94，R4(A)=22，R5(A)=6.于是，

無法用文獻(xiàn)[1]中的定理1進(jìn)行判定.

無法用文獻(xiàn)[5]中的定理1進(jìn)行判定.

由定理1可判定A為非奇異H-矩陣.

參考文獻(xiàn)：

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