于 燁，張慧君，李孝輝(1. 中國科學(xué)院國家授時中心，陜西 西安 710600； 2. 中國科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710600； 3. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049； 4. 中國科學(xué)院大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100049)

在全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，星載原子鐘的鐘差預(yù)報在優(yōu)化導(dǎo)航電文中的鐘差參數(shù)、滿足實(shí)時動態(tài)精密單點(diǎn)定位的需求和提供衛(wèi)星自主導(dǎo)航所需的先驗(yàn)信息方面具有重要作用[1-4]。但是，由于星載原子鐘非常敏感，極易受到外界和自身因素變化的影響而很難掌握其復(fù)雜細(xì)致的變化規(guī)律。因此，建立精確的原子鐘運(yùn)行模型變得非常困難，相應(yīng)的準(zhǔn)確預(yù)報衛(wèi)星鐘差也非常困難[5-7]。

目前，國內(nèi)外許多學(xué)者在鐘差預(yù)報方面開展了廣泛深入的研究，取得了一系列成果。其中，應(yīng)用較多的衛(wèi)星鐘差預(yù)報模型主要有：二次多項(xiàng)式模型(quadratic polynomial model，QPM)、灰色預(yù)報模型(gray model，GM(1,1))、最小二乘支持向量機(jī)模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、卡爾曼濾波模型等[8-13]。這些預(yù)報方法分別適用于不同條件下導(dǎo)航衛(wèi)星原子鐘鐘差的短期、中長期和長期的預(yù)報，但也均有各自的適用范圍和局限性。

本文考慮衛(wèi)星鐘差的隨機(jī)項(xiàng)呈現(xiàn)非平穩(wěn)變化趨勢，提出了GM(1,1)與ARIMA的組合預(yù)報模型。該組合模型首先采用GM(1,1)模型預(yù)報鐘差的趨勢項(xiàng)，然后利用ARIMA模型對GM(1,1)模型殘差序列進(jìn)行建模和預(yù)報，最后將GM(1,1)和ARIMA模型的預(yù)報結(jié)果對應(yīng)相加即得到鐘差的最終預(yù)報值。此外，采用IGS公布的事后精密鐘差產(chǎn)品進(jìn)行預(yù)報試驗(yàn)，通過與衛(wèi)星鐘差預(yù)報中常用的二次多項(xiàng)式模型和修正指數(shù)曲線法模型(modified exponential curve method，MECM)預(yù)報結(jié)果的對比分析，結(jié)果表明：該方法可以對GPS衛(wèi)星鐘差進(jìn)行高精度的中短期預(yù)報，驗(yàn)證了該方法的優(yōu)越性和有效性。

1 GM(1,1)預(yù)報模型

在灰色系統(tǒng)理論中，GM(1,1)預(yù)報模型是最常用的一種灰色系統(tǒng)模型，它是由一個僅包含單變量的一階微分方程所構(gòu)成的預(yù)報模型，適合對自身數(shù)據(jù)的預(yù)報[14]。

設(shè)序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，通過一次累加生成新的序列為

(1)

對累加序列X(1)建立一階微分方程

(2)

式中，參數(shù)a為發(fā)展系數(shù)；參數(shù)u為灰作用量。對式(2)離散化，可得矩陣方程

(3)

根據(jù)最小二乘法可得式(3)的最小二乘解為

(4)

將式(4)代入式(2)即可得預(yù)報模型為

(5)

式中，k為參與預(yù)報序列的個數(shù)。由以上模型即可求得未來任意時刻序列的預(yù)報值。

2 ARIMA預(yù)報模型

ARIMA(p,d,q)模型常用來做時間序列的預(yù)報，適用于平穩(wěn)時間序列。對于非平穩(wěn)時間序列需要進(jìn)行d次差分將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列，然后對平穩(wěn)時間序列進(jìn)行模型定階和模型參數(shù)的估計(jì)，最后選擇合適的模型階數(shù)建立ARIMA模型進(jìn)行預(yù)報。ARIMA(p,d,q)模型的實(shí)質(zhì)是差分運(yùn)算與ARMA(p,q)模型的組合[15]。

設(shè)有一非平穩(wěn)時間序列zt，經(jīng)過d次差分運(yùn)算已轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列xt，然后對序列xt建立ARMA(p,q)模型，其定義為

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-

-θqεt-q

(6)

ARIMA模型建立與預(yù)報的步驟可歸結(jié)為如下過程：

(1) 根據(jù)時間序列散點(diǎn)圖、自相關(guān)函數(shù)、偏相關(guān)函數(shù)和ADF單位根檢驗(yàn)其方差、趨勢變化規(guī)律，從而對序列的平穩(wěn)性進(jìn)行識別。

(2) 若是非平穩(wěn)時間序列，需對時間序列進(jìn)行d次差分處理轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。

(3) 利用平穩(wěn)時間序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)圖確定模型階數(shù)。

(4) 進(jìn)行模型參數(shù)的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。

(5) 選擇合適的參數(shù)建立ARIMA模型并進(jìn)行外推預(yù)報。

3 組合預(yù)報過程

衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)序列可以認(rèn)為是由趨勢項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)兩部分疊加而成，針對它的這一特點(diǎn)，提出了一種基于GM(1,1)與ARIMA的組合預(yù)報模型。運(yùn)用此組合模型去預(yù)報衛(wèi)星鐘差的預(yù)報流程如圖1所示，具體步驟如下所述：

(1) 衛(wèi)星鐘差觀測數(shù)據(jù)預(yù)處理。首先剔除衛(wèi)星鐘差觀測序列中的異常鐘差數(shù)據(jù)，然后采用拉格朗日插值法將缺失的鐘差數(shù)據(jù)補(bǔ)齊。

(2) 利用GM(1,1)預(yù)報模型提取衛(wèi)星鐘差序列的趨勢項(xiàng)，并且對其進(jìn)行外推預(yù)報。

(3) 利用ARIMA預(yù)報模型對GM(1,1)模型的模型殘差建模，即對衛(wèi)星鐘差的隨機(jī)項(xiàng)部分進(jìn)行建模并外推預(yù)報。

(4) 將利用GM(1,1)模型預(yù)報的趨勢項(xiàng)序列和利用ARIMA模型預(yù)報的隨機(jī)項(xiàng)序列對應(yīng)相加，即得到衛(wèi)星鐘差序列最終的預(yù)報值。

圖1 基于GM(1,1)和ARIMA組合模型的衛(wèi)星鐘差預(yù)報流程

4 算例與分析

4.1 數(shù)據(jù)來源

為了驗(yàn)證該組合模型的有效性，從IGS服務(wù)器(ftp:∥cddis.gsfc.nasa.gov/)上下載了2017年3月5日至7日共3天的IGS事后精密鐘差產(chǎn)品，其采樣間隔為15 min。考慮目前在軌的GPS衛(wèi)星有30多顆且我國北斗二代系統(tǒng)均搭載的是銣原子鐘，因此隨機(jī)選3顆裝載銣原子鐘的衛(wèi)星進(jìn)行預(yù)報試驗(yàn)，它們分別為PRN17(Block ⅡF-M-Rb)、PRN03(Block ⅡF-Rb)和PRN16( Block ⅡR-Rb)號衛(wèi)星。

4.2 建模方案與結(jié)果分析

算例中采用12 h鐘差數(shù)據(jù)(2017年3月5日00:00至12:00)共49個歷元，分別建立二次多項(xiàng)式模型(QPM)、修正指數(shù)曲線法(MECM)預(yù)報模型、GM(1,1)與ARIMA的組合模型(GM(1,1)+ARIMA)，對未來6、12、24和48 h的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行中短期預(yù)報。

由于本試驗(yàn)使用的是IGS服務(wù)器上公布的事后精密鐘差產(chǎn)品，其自身的誤差小于0.1 ns，故可以作為“真值”，使用均方根誤差(RMS)作為統(tǒng)計(jì)量，用于檢驗(yàn)二次多項(xiàng)式模型、修正指數(shù)曲線法預(yù)報模型、GM(1,1)與ARIMA的組合模型所預(yù)報結(jié)果的準(zhǔn)確程度。

將接下來6、12、24和48 h的實(shí)際觀測鐘差數(shù)據(jù)與各模型預(yù)報的鐘差數(shù)據(jù)對應(yīng)相減即得到預(yù)報誤差，取各模型預(yù)報誤差序列的均方根誤差(RMS)為衡量預(yù)報精度的標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)果如圖2—圖5和表1—表4所示。其中圖2、圖3和圖4分別為用12 h鐘差數(shù)據(jù)建立二次多項(xiàng)式模型、修正指數(shù)曲線法預(yù)報模型、GM(1,1)與ARIMA的組合模型預(yù)報未來6、12、24和48 h鐘差數(shù)據(jù)的預(yù)報誤差變化圖，圖5為各模型預(yù)報鐘差的平均預(yù)報精度對比圖。表1、表2和表3分別為用12 h鐘差數(shù)據(jù)建立二次多項(xiàng)式模型、修正指數(shù)曲線法預(yù)報模型、GM(1,1)與ARIMA的組合模型預(yù)報未來6、12、24和48 h鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報誤差的最大值(Max)、平均值(Mean)和均方根誤差(RMS)統(tǒng)計(jì)表。

表1 PRN17號衛(wèi)星各模型預(yù)報誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表2 PRN03號衛(wèi)星各模型預(yù)報誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖2 PRN17用12 h數(shù)據(jù)建模預(yù)報

圖3 PRN03用12 h數(shù)據(jù)建模預(yù)報

圖4 PRN16用12 h數(shù)據(jù)建模預(yù)報

表3 PRN16號衛(wèi)星各模型預(yù)報誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖5 各模型預(yù)報鐘差的平均預(yù)報精度比較

表4 精密衛(wèi)星鐘差預(yù)報結(jié)果的平均RMS ns

結(jié)合圖2—圖5和分析表1—表4的統(tǒng)計(jì)量可以看出：在所選擇的預(yù)報時間長度內(nèi)，GM(1,1)與ARIMA組合模型對于PRN03衛(wèi)星鐘差預(yù)報的精度最高，其次是PRN17衛(wèi)星，再次是PRN16衛(wèi)星，且該組合模型預(yù)報的均方根誤差均小于二次多項(xiàng)式模型和修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報對應(yīng)的均方根誤差。這說明對于衛(wèi)星鐘差預(yù)報，該組合模型較常用的二次多項(xiàng)式模型和修正指數(shù)曲線法模型有更高的預(yù)報精度和穩(wěn)定性。在短期預(yù)報中， 6 h預(yù)報的平均預(yù)報精度控制在1 ns以內(nèi)，相比于常用的二次多項(xiàng)式模型，平均預(yù)報精度提高了29.70%，相比于修正指數(shù)曲線法，平均預(yù)報精度提高了18.39%；12 h預(yù)報的平均預(yù)報精度控制在2 ns以內(nèi)，相比于常用的二次多項(xiàng)式模型，平均預(yù)報精度提高了43.75%，相比于修正指數(shù)曲線法，平均預(yù)報精度提高了33.90%；24 h預(yù)報的平均預(yù)報精度控制在2 ns以內(nèi)，相比于常用的二次多項(xiàng)式模型，平均預(yù)報精度提高了67.62%，相比于修正指數(shù)曲線法，平均預(yù)報精度提高了61.40%。在中長期預(yù)報中， 48 h預(yù)報的平均預(yù)報精度控制在5 ns以內(nèi)，相比于常用的二次多項(xiàng)式模型，平均預(yù)報精度提高了76.21%，相比于修正指數(shù)曲線法，平均預(yù)報精度提高了70.49%。

5 結(jié) 語

針對衛(wèi)星鐘差呈趨勢項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)變化的特點(diǎn)，本文將GM(1,1)模型與ARIMA模型有機(jī)地結(jié)合起來，建立了一種基于GM(1,1)與ARIMA的組合模型，并將其應(yīng)用于衛(wèi)星鐘差的中短期預(yù)報。該組合預(yù)報模型首先采用GM(1,1)模型預(yù)報衛(wèi)星鐘差序列中的趨勢項(xiàng)成分，然后提取出衛(wèi)星鐘差序列中的隨機(jī)項(xiàng)成分并建立ARIMA模型，最后將兩部分預(yù)報的結(jié)果對應(yīng)相加即得到衛(wèi)星鐘差的最終預(yù)報值。該方法不僅顧及了衛(wèi)星鐘差序列變化的特點(diǎn)，而且充分發(fā)揮了GM(1,1)模型和ARIMA模型各自的優(yōu)勢，具有所需建模數(shù)據(jù)少、易于實(shí)現(xiàn)和計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)。從上述預(yù)報試驗(yàn)的結(jié)果可以看出，該組合模型只需要使用較少的鐘差數(shù)據(jù)建模即可實(shí)現(xiàn)高精度的預(yù)報，尤其是在中長期的預(yù)報中。該方法相比于各單一預(yù)報方法，突出了其預(yù)報的有效性和優(yōu)越性，從而驗(yàn)證了該組合方法的有效性和可行性。

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