馬鳴宇，董朝陽(yáng)，馬思遷，王 青

(1. 北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191；2. 北京電子工程總體研究所, 北京 100854；3. 北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院, 北京 100191)

0 引 言

多航天器系統(tǒng)通過(guò)航天器之間信息交互和協(xié)同工作組成，與傳統(tǒng)的單個(gè)航天器相比，具有成本低、研制周期短、應(yīng)用方式靈活等優(yōu)點(diǎn)，可以更為有效地進(jìn)行工作，在深空探測(cè)[1]、交會(huì)對(duì)接[2]、對(duì)地測(cè)量[3]方面更具應(yīng)用價(jià)值。姿態(tài)協(xié)同是指通過(guò)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膮f(xié)同控制律，對(duì)航天器之間的相對(duì)姿態(tài)進(jìn)行協(xié)調(diào)，使各航天器姿態(tài)保持一致，進(jìn)而完成復(fù)雜任務(wù)。在航天器控制領(lǐng)域，姿態(tài)協(xié)同具有重要的研究意義和廣泛的應(yīng)用前景[4-6]。

在協(xié)同控制問(wèn)題中，多航天器系統(tǒng)模型由每個(gè)航天器的姿態(tài)描述和相互之間的拓?fù)浣M成，需要根據(jù)航天器之間的通信拓?fù)淅孟噜徍教炱鞯臓顟B(tài)信息構(gòu)造控制器，是一種分布式的控制方法[7]。在此情形下，文獻(xiàn)[8]結(jié)合反步法在解決多變量解耦非線性控制方面的優(yōu)勢(shì)，提出多歐拉-拉格朗日系統(tǒng)的協(xié)同跟蹤方法。文獻(xiàn)[9-10]研究了多航天器編隊(duì)的有限時(shí)間控制問(wèn)題。適用于多個(gè)航天器的抗飽和容錯(cuò)控制等問(wèn)題在文獻(xiàn)[11]得到研究。文獻(xiàn)[12]結(jié)合二階多智能體一致性協(xié)議，提出多航天器編隊(duì)循環(huán)追蹤算法。但在現(xiàn)有的大部分文獻(xiàn)[8-15]中，姿態(tài)通常采用俯仰/偏航/滾轉(zhuǎn)三通道角度模型[13]、四元數(shù)模型[11]和羅格里德參數(shù)(MRPs)[12,14-15]來(lái)描述，而這三種模型均存在有一定的局限性：歐拉角表示方法在姿態(tài)角360°大范圍變化時(shí)會(huì)產(chǎn)生奇異，使得采取角度模型所設(shè)計(jì)的控制器只適用于一定范圍內(nèi)。四元數(shù)方法避免了角度更新過(guò)程中的奇異問(wèn)題，但四元數(shù)到旋轉(zhuǎn)矩陣的映射不具有惟一性，在控制過(guò)程中可能導(dǎo)致姿態(tài)散開(kāi)，引起系統(tǒng)性能下降[16-17]。MRPs模型也同樣存在非全局與不唯一問(wèn)題?？紤]到這些不足，文獻(xiàn)[18]提出了基于特殊正交群(Special Orthogonal Group, SO(3))的姿態(tài)建模與控制方法。針對(duì)單個(gè)體控制對(duì)象，文獻(xiàn)[18]基于SO(3)研究了3D擺的姿態(tài)控制問(wèn)題，文獻(xiàn)[19]進(jìn)一步結(jié)合SO(3)模型提出面向航天器的跟蹤與全局鎮(zhèn)定方法。文獻(xiàn)[20]提出采用旋轉(zhuǎn)矩陣描述姿態(tài)的單個(gè)航天器跟蹤控制方法，克服了姿態(tài)展開(kāi)現(xiàn)象。文獻(xiàn)[21]考慮單個(gè)無(wú)人機(jī)的姿態(tài)大角度跟蹤問(wèn)題，設(shè)計(jì)了SO(3)滑模變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制器。文獻(xiàn)[22-23]研究了李群上多個(gè)剛體的姿態(tài)建模問(wèn)題，但要求拓?fù)涫菑?qiáng)連通或是無(wú)向的。SO(3)方法能夠進(jìn)行整體描述從而使模型和設(shè)計(jì)過(guò)程得到簡(jiǎn)化，相比傳統(tǒng)區(qū)分通道分別設(shè)計(jì)的方法更為統(tǒng)一，且不存在姿態(tài)動(dòng)力學(xué)中的奇異問(wèn)題，更適用于多航天器協(xié)同控制。

值得注意的是，基于SO(3)的相關(guān)控制方法目前仍有一些問(wèn)題需要解決：一是現(xiàn)有的SO(3)方法多考慮的是以單個(gè)航天器為對(duì)象的控制問(wèn)題，而對(duì)于多個(gè)航天器SO(3)協(xié)同控制的研究還比較有限，而SO(3)誤差具有多種不同形式[24]，在存在信息交互的多航天器系統(tǒng)中SO(3)指令和控制器形式都需要重新設(shè)計(jì)；二是SO(3)方法雖然能夠避免姿態(tài)動(dòng)力學(xué)更新過(guò)程中的奇異問(wèn)題，在指令和實(shí)際姿態(tài)相差180°時(shí)誤差方程中會(huì)出現(xiàn)矩陣不可逆的情形[25]，使得現(xiàn)有SO(3)控制器大多為誤差的線性反饋形式[26-27]，限制了非線性方法的應(yīng)用?；？刂品椒ň哂惺諗克俣瓤?、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)，因此在文獻(xiàn)[9-10,28-29]都取得有效的應(yīng)用。但是，如前文所述，這些文獻(xiàn)中的滑?？刂品椒ň谒脑獢?shù)或MRPs基礎(chǔ)上提出，存在一定的局限。同時(shí)，SO(3)的特殊性使得滑模方法很難直接應(yīng)用于多航天器SO(3)姿態(tài)模型。

為了解決這些問(wèn)題，本文考慮將SO(3)模型引入多航天器系統(tǒng)，提出基于SO(3)的姿態(tài)協(xié)同控制方法。注意到SO(3)形式與傳統(tǒng)姿態(tài)描述不同，文中首先對(duì)多航天器系統(tǒng)中SO(3)協(xié)同指令進(jìn)行研究，根據(jù)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種采用旋轉(zhuǎn)矩陣形式的姿態(tài)指令，進(jìn)一步定義了SO(3)上的協(xié)同誤差。為避免控制器奇異，結(jié)合反步法思想采用不同的滑模面得到了SO(3)非線性協(xié)同控制器，并給出了穩(wěn)定性證明。文中使用包含五個(gè)航天器的協(xié)同控制系統(tǒng)對(duì)所提方法進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果與理論分析相符，校驗(yàn)了基于SO(3)協(xié)同控制方法能夠避免奇異問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)多航天器穩(wěn)定的姿態(tài)協(xié)同。

1 多航天器姿態(tài)協(xié)同系統(tǒng)建模

1.1 航天器SO(3)模型

在三維空間中，航天器本體坐標(biāo)系與慣性系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以使用一個(gè)正交變換矩陣R來(lái)表示，而這些正交變換矩陣構(gòu)成了特殊正交群SO(3)：

SO(3)={R∈R3×3|RRT=I3,detR=1}

(1)

對(duì)于給定的航天器姿態(tài)均對(duì)應(yīng)SO(3)中的一個(gè)元素R，即航天器的姿態(tài)可以通過(guò)R進(jìn)行建模。設(shè)Ω=[ω1ω2ω3]T，定義hat映射為：

(2)

hat映射將任意三維向量映射為三維反對(duì)稱(chēng)矩陣。其逆運(yùn)算稱(chēng)為vee映射，記為∨：

(3)

根據(jù)以上定義，考慮含有N個(gè)航天器的協(xié)同控制系統(tǒng)，其中第i個(gè)航天器的姿態(tài)模型可以描述為：

(4)

式中，R∈SO(3)為航天器本體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，Ωi∈R3為航天器的角速度，Ji∈R3為航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Mi∈R3為控制輸入力矩。

1.2 航天器通信拓?fù)涿枋?/h3>

2 SO(3)姿態(tài)協(xié)同指令設(shè)計(jì)與誤差方程

(5)

(6)

(7)

在得到協(xié)同指令Rdi后，需要將實(shí)際姿態(tài)Ri與指令信號(hào)Rdi之間的誤差轉(zhuǎn)換到R3空間中以構(gòu)造控制器。由vee映射定義SO(3)中姿態(tài)誤差為：

(8)

同時(shí)，由于

(9)

選取角速度誤差eΩi為

(10)

基于上述SO(3)中姿態(tài)誤差模型，下面對(duì)誤差的狀態(tài)方程進(jìn)行推導(dǎo)。

(11)

進(jìn)一步，對(duì)eRi求導(dǎo)并代入可得：

(12)

同樣，對(duì)eΩi求導(dǎo)可得：

(13)

(14)

3 基于反步滑模的SO(3)控制器設(shè)計(jì)

在非線性模型和的基礎(chǔ)上，記：

(15)

(16)

則航天器i的SO(3)誤差模型可以用如下方程表示：

(17)

(18)

式中，

γi(t)=

(19)

于是，該步的虛擬控制量就可以設(shè)計(jì)為：

(20)

考慮對(duì)虛擬控制量的跟蹤誤差，選取滑模面s2i為：

(21)

(22)

(23)

(24)

選取期望的滑模面趨近律為：

(25)

Mi= -Ji(K2is2i+P2i|s2i|1/2°sgn(s2i)+

(26)

(27)

Mi= -Ji(K2is2i+P2i|s2i|1/2°sgn(s2i)+

(28)

4 協(xié)同穩(wěn)定性分析

在本節(jié)中，以定理的形式給出了所提SO(3)協(xié)同控制方法的穩(wěn)定性結(jié)論。

定理1. 考慮N個(gè)航天器組成的系統(tǒng)(4)，若航天器之間的通信拓?fù)浒蓸?shù)，那么根據(jù)所設(shè)計(jì)的協(xié)同指令(5)-(7)與滑模控制器(26)和(28)，多航天器系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)指令跟蹤，達(dá)到穩(wěn)定的姿態(tài)協(xié)同。

證. 證明主要分為兩個(gè)部分，首先證明滑?？刂破髂軌蛲瓿蓪?duì)協(xié)同指令信號(hào)的有效跟蹤，進(jìn)一步證明所設(shè)計(jì)的協(xié)同指令和控制器能夠?qū)崿F(xiàn)多航天器之間有效的姿態(tài)協(xié)同。

(29)

(30)

(31)

注2. 面向多航天器的SO(3)控制方法研究了與針對(duì)個(gè)體的SO(3)方法有較大不同。除了要考慮自身狀態(tài)以外，有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的出現(xiàn)使得指令與控制器的設(shè)計(jì)需要利用有限的相鄰航天器狀態(tài)信息。此外的不同之處在于，在基于SO(3)的協(xié)同控制問(wèn)題中還需要研究有效的協(xié)同指令。而姿態(tài)指令Rdi的設(shè)計(jì)要求在能夠使得航天器實(shí)現(xiàn)協(xié)同的同時(shí)，須滿(mǎn)足Rdi屬于SO(3)的條件，而通常在姿態(tài)角或四元數(shù)模型中采用相鄰航天器信息線性組合的方式不滿(mǎn)足此要求。因此，在文中在考慮協(xié)同指令時(shí)，在式(5)-(7)中對(duì)Rdi各列向量進(jìn)行向量積運(yùn)算，保證向量之間的正交性后做歸一化處理，使得Rdi∈SO(3)。得這也是多航天器協(xié)同控制設(shè)計(jì)所需要解決的關(guān)鍵步驟。

5 仿真校驗(yàn)

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的基于SO(3)的協(xié)同控制器的有效性，在本節(jié)中給出兩個(gè)算例進(jìn)行仿真分析。

算例1 在本算例中，考慮由5個(gè)航天器組成的協(xié)同控制系統(tǒng)，各航天器的參數(shù)和初始值在表1中給出。

表1 航天器參數(shù)與初始條件Table 1 Parameters and initial conditions of spacecraft

初始姿態(tài)對(duì)應(yīng)的R陣為：

航天器之間的有向通信拓?fù)淙鐖D1所示。對(duì)應(yīng)的圖為：a14=0.58,a23=0.33,a25=0.11,a32=0.25,a41=0.21,a43=0.4,a51=0.37。

圖1 航天器之間的通信拓?fù)銯ig.1 Communication topology between spacecrafts

進(jìn)一步，采用文中所設(shè)計(jì)的控制器和進(jìn)行仿真?？刂破鲄?shù)設(shè)置為：K1i= diag(1.15, 1.15, 1.15)，K2i=diag(0.15,0.15,0.15)，P1i= 10-2×diag(3, 3, 3)，P2i= 10-2×diag(3, 3, 3)。仿真結(jié)果在圖2～圖5中給出。

需要注意的是，在控制器設(shè)計(jì)與仿真過(guò)程中，姿態(tài)均使用SO(3)中的R矩陣來(lái)表示，而為了方便結(jié)果展示，文中將R轉(zhuǎn)換成姿態(tài)角度：圖2～圖4分別給出了各航天器俯仰、偏航和滾轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化曲線。從圖2～4中可以看出，在初始姿態(tài)角度小于90°時(shí)，各航天器能夠以較快速度收斂實(shí)現(xiàn)姿態(tài)協(xié)同。

文中以航天器5為例在圖5中給出了其控制輸入的變化情況，其它航天器與之類(lèi)似。由圖可見(jiàn)航天器控制力矩符合實(shí)際情況，在約10 s后收斂為0，與姿態(tài)變化趨勢(shì)相符，協(xié)同性能良好。

圖2 各航天器俯仰角變化曲線Fig.2 Illustration of the pitch angles of spacecraft

圖3 各航天器偏航角變化曲線Fig.3 Illustration of the yaw angles of spacecraft

圖4 各航天器滾轉(zhuǎn)角變化曲線Fig.4 Illustration of the roll angles of spacecraft

圖5 航天器5的控制力矩Fig.5 Control input of the 5th spacecraft

為了定量描述姿態(tài)協(xié)同的準(zhǔn)確程度，引入?yún)f(xié)同誤差函數(shù)Qa來(lái)表示多航天器之間的姿態(tài)差異，而通過(guò)Qa值的變化反映協(xié)同控制效果。定義Qa為：

(32)

式中，εi=ri-r1,ri=[θiψiφi]T,θi、ψi和φi分別為航天器的俯仰角、偏航角和滾轉(zhuǎn)角。同時(shí)，為了說(shuō)明本文基于SO(3)協(xié)同控制方法的優(yōu)勢(shì)，文中采用相同初始條件和參數(shù)進(jìn)行了對(duì)比仿真，如圖6所示。其中，方法1為本文方法；文獻(xiàn)[11]基于四元數(shù)模型采用了滑?？刂破?，記為方法2；方法3為文獻(xiàn)[6]中使用MRPs姿態(tài)模型的有限時(shí)間協(xié)同控制方法。

從圖中可以看出，姿態(tài)協(xié)同誤差隨著時(shí)間的增長(zhǎng)逐漸收斂為0，說(shuō)明各航天器實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)協(xié)同。各個(gè)方法的Qa收斂到1°的時(shí)間分別為4.89 s，5.15 s和9.29 s，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的SO(3)滑模控制方法的快速性和有效性。

算例2 進(jìn)一步，為了驗(yàn)證所提出的SO(3)協(xié)同控制方法在航天器姿態(tài)大范圍變化時(shí)的適用性和優(yōu)勢(shì)，在本算例中進(jìn)一步設(shè)置各航天器具有較大的初始姿態(tài)，且航天器之間相對(duì)姿態(tài)相差較遠(yuǎn)。算例2中各航天器的初始值在表2中給出，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等其他參數(shù)與算例1中相同。

表2 航天器初始條件Table 2 Initial conditions of spacecraft

針對(duì)此時(shí)大姿態(tài)角度的情形，同樣將仿真結(jié)果轉(zhuǎn)換為姿態(tài)角并在圖6～圖9中給出，控制輸入曲線在圖10中給出。需要注意的是，在傳統(tǒng)方法中采用姿態(tài)角描述姿態(tài)時(shí)，為了保證姿態(tài)與角度的一一對(duì)應(yīng)，通常定義[30]俯仰角θ∈(-180°,180°]，偏航角ψ∈(-90°,90°]，滾轉(zhuǎn)角φ∈(-180°,180°]。在此種定義下，即使相鄰兩個(gè)時(shí)刻姿態(tài)是連續(xù)變化的，但由于定義范圍的限制，在運(yùn)行過(guò)程中也可能會(huì)出現(xiàn)姿態(tài)角度“跳變”的情況。如圖8所示，航天器2的偏航角在仿真開(kāi)始后逐漸減小，在0.5 s附近由于達(dá)到定義域下界而產(chǎn)生了“跳變”，同時(shí)引起滾轉(zhuǎn)角發(fā)生變化以滿(mǎn)足定義域要求。

圖6 姿態(tài)誤差Qa對(duì)比曲線Fig.6 Comparative results of the attitude errors Qa

圖7 各航天器俯仰角變化曲線Fig.7 Illustration of the pitch angles of spacecraft

圖8 各航天器偏航角變化曲線Fig.8 Illustration of the yaw angles of spacecraft

圖9 各航天器滾轉(zhuǎn)角變化曲線Fig.9 Illustration of the roll angles of spacecraft

圖10 航天器5的控制力矩Fig.10 Control input of the 5th spacecraft

作為對(duì)比，圖11中給出了采用R∈SO(3)描述的航天器姿態(tài)變化情況。記Rij為R中的第i行第j列的元素，由于R23包含了三通道姿態(tài)角的信息，因此選取R中的元素R23進(jìn)行觀察。從圖11中可以看出實(shí)際上航天器的姿態(tài)并未發(fā)生“跳變”，是連續(xù)變化的。相比之下，圖8中的姿態(tài)角不連續(xù)是由于其定義范圍造成的，而在姿態(tài)角大范圍變化時(shí)出現(xiàn)的“跳變”情況會(huì)使得傳統(tǒng)基于姿態(tài)角的控制器很難繼續(xù)有效工作。這也對(duì)比說(shuō)明了SO(3)方法的優(yōu)勢(shì)。結(jié)合圖7至圖10可以看出，本文提出的基于SO(3)的協(xié)同控制避免了奇異問(wèn)題，在航天器大姿態(tài)角運(yùn)動(dòng)時(shí)仍能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定的姿態(tài)協(xié)同，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)方法的適用性和有效性。

圖11 采用SO(3)描述的航天器姿態(tài)變化曲線Fig.11 Attitudes of spacecraft on SO(3)

6 結(jié) 論

本文在考慮有向通信拓?fù)涞那闆r下，建立了多航天器系統(tǒng)SO(3)非線性模型。利用相鄰航天器的狀態(tài)信息設(shè)計(jì)了旋轉(zhuǎn)矩陣形式的姿態(tài)協(xié)同指令，并在保證指令屬于SO(3)群的基礎(chǔ)上，給出了SO(3)協(xié)同誤差表示。進(jìn)一步結(jié)合反步法，在協(xié)同誤差較大時(shí)，采用無(wú)奇異滑模面構(gòu)造非線性協(xié)同控制器；而在協(xié)同誤差較小時(shí)，切換到無(wú)補(bǔ)償項(xiàng)的滑模面以使得誤差快速收斂到零，保證了姿態(tài)全局范圍內(nèi)的無(wú)奇異性和收斂性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法能夠有效地實(shí)現(xiàn)多航天器姿態(tài)協(xié)同。

參 考 文 獻(xiàn)

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