馮振欣，郭建國(guó)，周 軍

(西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，西安 710072)

0 引 言

高超聲速飛行器乘波體氣動(dòng)布局構(gòu)型和機(jī)身推進(jìn)一體化設(shè)計(jì)能夠帶來(lái)高升阻比、低波阻等適用于高超聲速巡航飛行的理想條件[1]。與此同時(shí), 也引入了推進(jìn)/控制/氣動(dòng)的嚴(yán)重耦合, 導(dǎo)致超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)推力對(duì)攻角變化非常敏感[2]。此外, 高超聲速飛行器復(fù)雜的飛行環(huán)境及模型高度非線性問(wèn)題也使得其飛行走廊變得非常狹窄。因此, 高超聲速飛行器控制性能問(wèn)題成為當(dāng)下控制器設(shè)計(jì)的一個(gè)難點(diǎn)。

目前，高超聲速飛行器控制研究取得了積極進(jìn)展，典型如滑?？刂品椒╗3-4]，反步法[5]，自適應(yīng)魯棒控制方法[6]等。上述方法雖然能夠保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，即確保飛行器各狀態(tài)跟蹤誤差最終收斂到零/零附近的小鄰域內(nèi), 但是并未對(duì)飛行器的瞬態(tài)響應(yīng)(如超調(diào)量, 收斂時(shí)間)做出限制。事實(shí)上,由于飛行姿態(tài)與發(fā)動(dòng)機(jī)推力耦合嚴(yán)重, 不合適的跟蹤指令/姿態(tài)變化過(guò)大都會(huì)使得發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣道流量捕獲量下降, 導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)推力變化，進(jìn)而降低飛行系統(tǒng)的控制品質(zhì)。

目前解決這一類問(wèn)題主要有兩種思路：一種是直接對(duì)姿態(tài)角進(jìn)行約束, 將姿態(tài)角的幅值約束在某個(gè)特定范圍內(nèi), 從而降低發(fā)動(dòng)機(jī)推力與姿態(tài)耦合因素對(duì)控制品質(zhì)的影響。如文獻(xiàn)[7]采用模型預(yù)測(cè)控制算法對(duì)高超聲速飛行器的狀態(tài)和控制輸入進(jìn)行了限制，但是該方法計(jì)算量較大；文獻(xiàn)[8]在高超聲速飛行器控制器設(shè)計(jì)中引入指令濾波器，該方法能夠有效應(yīng)對(duì)狀態(tài)幅值、帶寬、速率約束問(wèn)題, 取得了較好的控制效果；文獻(xiàn)[9]則采用積分型障礙Lyapunov函數(shù)方法解決高超聲速飛行器攻角約束以及輸入非線性問(wèn)題, 滿足了控制系統(tǒng)的需求。但是由于高超聲速飛行器姿態(tài)與推進(jìn)的耦合關(guān)系高度非線性, 因此無(wú)法精確給出攻角約束的邊界。此外, 攻角測(cè)量困難也制約了上述方法的廣泛應(yīng)用。

另一種思路是對(duì)飛行器高度指令和速度指令進(jìn)行限制, 間接降低控制系統(tǒng)對(duì)姿態(tài)角變化的需求。傳統(tǒng)的方法是引入?yún)⒖寄Ｐ? 令飛行器高度和速度子系統(tǒng)分別跟蹤參考模型給出的相應(yīng)指令。但是考慮到飛行器氣動(dòng)參數(shù)大范圍不確定和外部擾動(dòng)的影響, 有必要對(duì)高超聲速飛行器全過(guò)程跟蹤軌跡進(jìn)行限制。如文獻(xiàn)[10]將預(yù)設(shè)性能方法引入高超聲速飛行器控制器設(shè)計(jì)中, 該方法的基本思路是：設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)性能函數(shù), 即確保穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差收斂到一個(gè)預(yù)先設(shè)定區(qū)域的同時(shí), 收斂速度及超調(diào)量滿足預(yù)先設(shè)定的條件, 然后采用非線性映射函數(shù)進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)化, 最后針對(duì)新的非受限系統(tǒng)設(shè)計(jì)backstepping控制器, 從而兼顧了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能。

本文提出一種基于時(shí)變障礙Lyapunov函數(shù)的新型高超聲速飛行器控制算法, 結(jié)合動(dòng)態(tài)面控制, 該方法可同時(shí)兼顧高度和速度子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能和瞬態(tài)響應(yīng), 且無(wú)需進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)化, 相比傳統(tǒng)預(yù)設(shè)性能方法, 降低了控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜度；同時(shí), 設(shè)計(jì)自適應(yīng)非線性干擾觀測(cè)器對(duì)飛行過(guò)程中強(qiáng)不確定上界進(jìn)行估計(jì), 從而增強(qiáng)控制系統(tǒng)的適應(yīng)性。此外, 本文還引入誤差輔助變量以降低飛行器執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和特性對(duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)的影響。Lyapunov理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及有界性。

1 高超聲速飛行器縱向運(yùn)動(dòng)模型

高超聲速飛行器縱向平面動(dòng)力學(xué)模型為[11]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：V,H,γ,α,q分別為高超聲速飛行器的速度、飛行高度、航跡角、攻角和俯仰角速率。Iyy,m,g分別為俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、飛行器質(zhì)量和重力加速度。T,D,L,Myy分別為發(fā)動(dòng)機(jī)推力、空氣阻力、升力、俯仰力矩, 可描述為

(6)

本文引入障礙Lyapunov函數(shù)理論解決飛行狀態(tài)預(yù)設(shè)性能問(wèn)題, 下面給出相關(guān)引理。

(7)

V→∞, 當(dāng)|x|→kc

(8)

(9)

(10)

引理2[13]: 對(duì)于任意δ>0以及ε∈R,有不等式成立:

(11)

式中：tanh(·)是雙曲正切函數(shù)。

2 控制器設(shè)計(jì)

控制目標(biāo)：1) 飛行高度H和速度V分別穩(wěn)定跟蹤高度和速度指令(假設(shè)速度和高度指令及其導(dǎo)數(shù)均有界)且飛行過(guò)程中跟蹤誤差不超出預(yù)設(shè)邊界；2)閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)均有界。

2.1 高度子系統(tǒng)設(shè)計(jì)

假設(shè)1. 由于高超聲速飛行器巡航段攻角及航跡角變化較小, 可近似認(rèn)為 sinα≈α, sinγ≈γ。

結(jié)合假設(shè)1, 令x1=H,x2=γ,x3=α,x4=q, 則高度子系統(tǒng)可描述為

(12)

式中：g1=V,f2=L0/(mV)-gcosx2/V,g2=(Lα+T)/(mV),f3=-(L+Tx3)/(mV)+gcosx2/V,g4=Mδe/Iyy,f4=(MT+M0(α))/Iyy,u=δe。di(i=1,2,3,4)包含系統(tǒng)非線性高階截?cái)嗾`差, 參數(shù)攝動(dòng)及外部不確定。

假設(shè)2. 式(12)中的干擾項(xiàng)di連續(xù)且滿足|di|≤Di,i=1,2,3,4。Di為未知正常數(shù)。

結(jié)合動(dòng)態(tài)面法, 高度子系統(tǒng)控制器推導(dǎo)過(guò)程如下：

1) 令z1=x1-x1d, 對(duì)z1求導(dǎo)可得

(13)

式中：z1為高度跟蹤誤差,x1d為高度指令。

設(shè)計(jì)新型時(shí)變障礙Lyapunov函數(shù)

(14)

式中：B1(t)=(kc1-kb1)e-c1t+kb1為高度預(yù)設(shè)邊界函數(shù), 其中,kc1為允許的最大初始高度跟蹤誤差,kb1為穩(wěn)態(tài)誤差邊界,c1為收斂速度參數(shù), 且均為正數(shù)。

注2.本文選取的邊界函數(shù)B1(t)與傳統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能函數(shù)形式相同, 區(qū)別在于本文將該函數(shù)作為時(shí)變約束邊界引入到障礙Lyapunov函數(shù)方法設(shè)計(jì)中, 而非誤差轉(zhuǎn)化和映射, 降低了控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜度。

對(duì)式(14)求導(dǎo)可得

(15)

選取虛擬控制量x2c

(16)

設(shè)計(jì)非線性自適應(yīng)律

(17)

注3.為避免微分爆炸, 本文在每一步中引入一階濾波器，以獲取經(jīng)過(guò)濾波器的虛擬控制量xid

(18)

式中：i=2,3,4,τi∈(0,1)為待設(shè)計(jì)常數(shù)。

定義誤差z2=x2-x2d,y2=x2d-x2c, 式(15)寫為

(19)

2) 對(duì)z2求導(dǎo)可得

(20)

選取虛擬控制量x3c

(21)

(22)

式中：η2=z2,l2,Γ2均為正數(shù)。

定義誤差z3=x3-x3d,y3=x3d-x3c, 則有

(23)

3) 對(duì)z3求導(dǎo)可得

(24)

設(shè)計(jì)虛擬控制量x4c

(25)

(26)

式中:η3=z3,l3,Γ3均為正數(shù)。

定義誤差z4=x4-x4d,y4=x4d-x4c, 則有

(27)

(28)

式中：ξ為誤差輔助變量。u為系統(tǒng)實(shí)際輸入,uc為控制器產(chǎn)生的控制指令。ξ用來(lái)確保即使出現(xiàn)執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和, 控制系統(tǒng)依然穩(wěn)定。

(29)

式(28)代入(29)可得

(30)

選取控制量為

(31)

(32)

將式(31)代入(30)可得

(33)

定理1. 對(duì)于高度子系統(tǒng)(式(12)), 采用控制律(31), 若滿足條件：①x1(0)0且有：

則高超聲速飛行器高度跟蹤誤差全過(guò)程滿足預(yù)設(shè)性能, 即|z1(t)|

證. 選取Lyapunov函數(shù)

(34)

式(34)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo), 將式(19), (23), (27), (33)代入得

(35)

由yi,i=2,3,4的定義可知,yi滿足

(36)

定義Λi=max|xic(t)|,t≥0,i=2,3,4,τi>0, 由Young不等式

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

綜合式(37)-(41)及引理2, 式(35)可進(jìn)一步寫為

(42)

若存在μ1>0滿足條件②, 則式(42)可寫為

(43)

1) 對(duì)式(43)兩邊同時(shí)積分可得

(44)

2.2 速度子系統(tǒng)設(shè)計(jì)

(45)

設(shè)計(jì)新型時(shí)變障礙Lyapunov函數(shù)

(46)

式中：BV(t)=(kcv-kbv)e-cvt+kbv為速度預(yù)設(shè)邊界函數(shù), 其中kcv為允許的最大初始速度跟蹤誤差,kbv為穩(wěn)態(tài)誤差邊界,cv為調(diào)節(jié)收斂速度參數(shù), 且均為正數(shù)。

對(duì)式(46)求導(dǎo)可得

(47)

設(shè)計(jì)速度子系統(tǒng)控制器

(48)

采用自適應(yīng)律估計(jì)不確定項(xiàng)d5的上界

(49)

式中：l5,Γ5均為正數(shù)。

將式(48)代入(47)可得

(50)

選取Lyapunov函數(shù)

(51)

對(duì)(51)求導(dǎo)并結(jié)合引理2可得

(52)

2.3 穩(wěn)定性分析

定理2. 對(duì)于高超聲速飛行器控制系統(tǒng)(式(1)～(5)), 采用控制律(31)和(48), 如果滿足條件：①x1(0)0且滿足：μ=min{μ1,μ2}。則有以下結(jié)論成立： 1) 高超聲速飛行器高度H和速度V飛行過(guò)程中跟蹤誤差不超出預(yù)設(shè)邊界; 2) 閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)均有界。

證. 選取Lyapunov函數(shù)

W=W1+W2

(53)

式(53)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

(54)

若存在μ>0且滿足條件②, 則式(48)可寫為

(55)

式中：β=β1+β2,μ=min{μ1,μ2}。

1) 對(duì)式(55)兩邊同時(shí)積分可得

W(t)≤W(0)e-μt+β/μ(1-e-μt)

(56)

3 仿真校驗(yàn)

以某型高超聲速飛行器縱向動(dòng)力學(xué)模型對(duì)本文控制器進(jìn)行校驗(yàn), 模型及氣動(dòng)參數(shù)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。飛行器初始高度為25 908 m; 初始速度2310.384 m/s;γ0=0°,α0=0°,q(0)=0 rad/s,δe(0)=0°。實(shí)際控制量幅值限制為：Φ∈[0.05,1.5],δe∈[-20°,20°]。

速度子系統(tǒng)跟蹤速度階躍指令Vc= 121.92 m/s；高度子系統(tǒng)跟蹤高度指令hc= 400 m, 要求飛行過(guò)程中高度和速度跟蹤誤差分別滿足：|z1|

(57)

選取控制增益kv=1.5,k1=2,k2=2,k3=20,k4=0.5,一階濾波器參數(shù)τi=0.05(i=2,3,4),干擾觀測(cè)器增益Γ1=1.5,Γ2=0.75,Γ3=0.015,Γ4=0.000 65,Γ5=0.2,l1=0.0001,l2=0.03,l3=l4=l5=0.1,δ2=0.001,δ1=δ3=δ4=0.1,δ5=0.01。

圖1 高度及速度跟蹤曲線Fig.1 Curves of height and velocity

圖2 高度誤差跟蹤曲線Fig.2 Tracking error curves of height

圖3 速度誤差跟蹤曲線Fig.3 Tracking error curves of speed

圖4 航跡角、攻角和俯仰角速率變化曲線Fig.4 Curves of flight path angle, angle of attack and pitch rate

如圖1～5所示, 在外部擾動(dòng)作用下選取相同的控制參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)面法[3](DSC), 本文算法不加干擾補(bǔ)償(TVBLF)和本文算法加干擾補(bǔ)償(TVBLF+ADOB)三種控制方案進(jìn)行校驗(yàn)。從兩方面進(jìn)行分析。

另一方面,對(duì)比無(wú)干擾補(bǔ)償控制方案(TVBLF) 和有干擾補(bǔ)償?shù)目刂品桨?TVBLF+ADOB)。從圖2、圖3可以看出，兩種方案作用下高度和速度跟蹤誤差均能滿足預(yù)設(shè)性能要求, 但是顯然引入干擾補(bǔ)償?shù)姆桨父櫨雀? 因此, 說(shuō)明本文設(shè)計(jì)自適應(yīng)干擾觀測(cè)器能夠提升控制系統(tǒng)的適應(yīng)性和精度。此外, 本文引入輔助誤差變量ξ抑制輸入飽和帶來(lái)的影響,因此當(dāng)跟蹤誤差逼近邊界時(shí), 控制輸入需求有所增加(見(jiàn)圖5(b)), 與定理1結(jié)論一致。

4 結(jié) 論

針對(duì)高超聲速飛行器強(qiáng)不確定及多約束問(wèn)題,提出了一種基于動(dòng)態(tài)面法的新型時(shí)變對(duì)數(shù)型障礙Lyapunov函數(shù)控制器。實(shí)現(xiàn)了高度和速度穩(wěn)態(tài)誤差收斂的同時(shí), 還確保收斂速度、超調(diào)量等瞬態(tài)性能要求。設(shè)計(jì)了自適應(yīng)干擾觀測(cè)器對(duì)參數(shù)攝動(dòng)及外部干擾的上界進(jìn)行估計(jì), 提高了控制系統(tǒng)精度和適應(yīng)性。本文還引入誤差輔助子系統(tǒng)補(bǔ)償輸入飽和的影響。仿真結(jié)果表明, 本文控制器兼顧了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能, 且閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)均有界。

參 考 文 獻(xiàn)

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