趙 民，劉百奇，粟 華

(1. 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076；2. 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研發(fā)中心，北京 10076；3. 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西北工業(yè)大學(xué)，西安 710072)

0 引 言

進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的進(jìn)步，航空航天領(lǐng)域取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。一方面，傳統(tǒng)飛機(jī)、導(dǎo)彈、火箭等飛行器面臨著跨代發(fā)展機(jī)遇；另一方面，高超聲速武器、重復(fù)使用空天飛行器、空間機(jī)動(dòng)平臺(tái)等新概念飛行器不斷涌現(xiàn)，使現(xiàn)代飛行器總體設(shè)計(jì)的復(fù)雜程度和設(shè)計(jì)維度呈幾何增長(zhǎng)。這些因素對(duì)飛行器的系統(tǒng)性能、可靠性、研制周期及研制成本提出了更高要求[1-3]，迫切需要發(fā)展更為先進(jìn)的飛行器總體設(shè)計(jì)方法以支撐未來(lái)發(fā)展[5]。多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(Multidisciplinary Design Optimization，MDO)是一種針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，通過(guò)分析并利用各個(gè)學(xué)科的耦合效應(yīng)與協(xié)同機(jī)制，尋求系統(tǒng)的綜合性能最優(yōu)[6-7]。目前，該方法在工程結(jié)構(gòu)、飛行器設(shè)計(jì)等領(lǐng)域已經(jīng)得到了初步應(yīng)用[8-9]。

傳統(tǒng)MDO主要處理確定性多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(Deterministic MDO，DMDO)問(wèn)題[10]，在飛行器的設(shè)計(jì)、研制及試驗(yàn)過(guò)程中，假設(shè)各種參數(shù)及條件都是確定性的。實(shí)際上，材料屬性、載荷環(huán)境、幾何尺寸、制造環(huán)境等都包含大量隨機(jī)因素，建模過(guò)程中的各種假設(shè)也會(huì)引入認(rèn)知模糊，導(dǎo)致這兩類不確定性普遍存在，降低了系統(tǒng)可靠性并增加了設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。傳統(tǒng)工程設(shè)計(jì)方法通過(guò)考慮設(shè)計(jì)裕度和保留設(shè)計(jì)余量來(lái)確保系統(tǒng)的可靠性，嚴(yán)重依賴設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，難以適應(yīng)未來(lái)發(fā)展需求。為滿足復(fù)雜耦合系統(tǒng)高可靠性、高安全性要求，UMDO技術(shù)逐漸發(fā)展為飛行器領(lǐng)域重點(diǎn)關(guān)注的前沿技術(shù)之一[2],[5],[11-15]。

UMDO的核心思想是采用量化方法來(lái)有效管理設(shè)計(jì)過(guò)程中的不確定性因素，在保證安全性、可靠性的前提下深度挖掘設(shè)計(jì)裕度，提升設(shè)計(jì)質(zhì)量。UMDO在傳統(tǒng)MDO的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮不確定性因素的影響，結(jié)合不確定性分析方法和優(yōu)化技術(shù)，通過(guò)多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化以獲取系統(tǒng)的穩(wěn)健可靠最優(yōu)解。國(guó)內(nèi)外眾多科研機(jī)構(gòu)將UMDO作為現(xiàn)代先進(jìn)飛行器總體設(shè)計(jì)的支撐技術(shù)之一，開(kāi)展重點(diǎn)研究。美國(guó)國(guó)家航天航空局(NASA)于2002年發(fā)表了《UMDO應(yīng)用于飛行器設(shè)計(jì)的機(jī)遇和挑戰(zhàn)》，深入分析UMDO應(yīng)用于飛行器設(shè)計(jì)的需求和困難，為UMDO應(yīng)用研究提供了思路和方向[5]；美國(guó)Sandia國(guó)家實(shí)驗(yàn)室將原子能領(lǐng)域的不確定性研究成果推廣應(yīng)用于工程系統(tǒng)不確定性設(shè)計(jì)，系統(tǒng)地研究了不確定性的分類、定義、分析和建模[16]；美國(guó)空軍研究實(shí)驗(yàn)室(AFRL)在《空軍基于能力的科技戰(zhàn)略2030》中聚焦未來(lái)長(zhǎng)期挑戰(zhàn)(FLTC)，對(duì)集成系統(tǒng)的可靠性提出了設(shè)計(jì)要求；美國(guó)國(guó)防高級(jí)研究計(jì)劃局(DARPA)于2015年啟動(dòng)了“定量化物理系統(tǒng)的不確定性”項(xiàng)目(EQUIPS)，旨在通過(guò)發(fā)展數(shù)學(xué)工具和方法來(lái)解決復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)問(wèn)題，以有效的定量、傳遞和管理多源的不確定性影響。國(guó)內(nèi)外許多大學(xué)也開(kāi)展了UMDO研究，并取得了大量研究成果。

目前，不確定性研究可分為基于概率理論和非概率理論兩類?；诟怕世碚摰牟淮_定性建模、分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)展較為完善[17-18]，但受限于估計(jì)概率分布所需的數(shù)據(jù)樣本容量。非概率理論因其具有處理“數(shù)據(jù)不充足、認(rèn)知不充分”問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)受到較多關(guān)注[19-20]。實(shí)際上，由于工程問(wèn)題的復(fù)雜性，單一理論都無(wú)法獨(dú)立解決。因此，綜合應(yīng)用概率和非概率理論的隨機(jī)/認(rèn)知混合不確定性條件下的UMDO理論成為當(dāng)前研究熱點(diǎn)[10,21-25]。雖然UMDO在理論研究方面取得了較多成果，但在面向工程應(yīng)用時(shí)仍面臨以下困難：

(1)建模復(fù)雜性。飛行器系統(tǒng)工程不僅需要考慮設(shè)計(jì)、制造和使用過(guò)程中客觀存在的隨機(jī)不確定性，還要考慮由于人的主觀認(rèn)識(shí)不足或信息缺乏而導(dǎo)致的認(rèn)知不確定性。對(duì)于隨機(jī)不確定性，存在如何準(zhǔn)確估計(jì)分布函數(shù)參數(shù)和驗(yàn)證分布模型合理性的問(wèn)題；對(duì)于認(rèn)知不確定性，存在如何建立不確定性因素的非概率模型問(wèn)題。因此，對(duì)不確定性源的認(rèn)知與建模是解決建模復(fù)雜性的關(guān)鍵。

(2)求解復(fù)雜性。在UMDO尋優(yōu)過(guò)程中不僅要考慮不確定性的傳遞影響，在每個(gè)優(yōu)化搜索點(diǎn)還需要執(zhí)行耗時(shí)的不確定性分析以計(jì)算可靠性和穩(wěn)健性，計(jì)算成本極大增加。目前，解決求解復(fù)雜性的研究主要集中于三個(gè)方面：一是研究不確定性的傳播與量化方法，以提高不確定性分析的效率；二是研究靈敏度分析方法和優(yōu)化策略，濾除對(duì)系統(tǒng)影響較小的不確定性變量，減少迭代次數(shù)；三是研究UMDO的過(guò)程分解技術(shù)，以提高UMDO過(guò)程的組織與協(xié)調(diào)性能。

圍繞以上難點(diǎn)，本文從不確定性源建模、不確定性靈敏度分析、多學(xué)科不確定性分析、魯棒性多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)4個(gè)方面梳理UMDO研究的技術(shù)體系，并結(jié)合飛行器總體設(shè)計(jì)流程與應(yīng)用需求，提出UMDO在飛行器各主要設(shè)計(jì)階段的應(yīng)用模式。最后，結(jié)合我國(guó)飛行器總體精細(xì)化設(shè)計(jì)能力的發(fā)展需求，分析了目前UMDO在工程應(yīng)用過(guò)程中存在的問(wèn)題和未來(lái)的發(fā)展設(shè)想。

UMDO問(wèn)題定義

UMDO通過(guò)在MDO中引入不確定性變量，將原來(lái)只追求性能最優(yōu)化的MDO問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)闈M足穩(wěn)健性和可靠性要求下的尋求性能最優(yōu)化的UMDO問(wèn)題。根據(jù)穩(wěn)健性和可靠性需求的不同，UMDO可以分為基于可靠性的MDO(Reliability Based MDO，RBMDO)和基于穩(wěn)健性的MDO(Robust MDO)。

當(dāng)考慮滿足約束的可靠性時(shí)，包含n個(gè)學(xué)科的RBMDO問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可以表示為：

當(dāng)考慮滿足約束和目標(biāo)函數(shù)的穩(wěn)健性時(shí)，包含n個(gè)學(xué)科的RobustMDO問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表示為：

其中，μf和σf分別為目標(biāo)函數(shù)f的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；μgi和σgi分別為約束函數(shù)gi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；ki>0是由設(shè)計(jì)者給定的安全因子。

1 UMDO技術(shù)體系

對(duì)于一個(gè)飛行器UMDO問(wèn)題，首先需要分析整個(gè)總體設(shè)計(jì)過(guò)程中可能存在的不確定性因素，對(duì)不確定性源進(jìn)行建模和量化，構(gòu)建UMDO問(wèn)題；通過(guò)不確定性靈敏度分析預(yù)測(cè)影響飛行器可靠性的各輸入變量之間的相對(duì)重要程度，對(duì)不確定性分析、預(yù)測(cè)與優(yōu)化提供指導(dǎo)；考慮多學(xué)科耦合特性，分析不確定性因素對(duì)模型輸出影響的分布特征；最后，基于魯棒性不確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲取滿足魯棒性約束的綜合性能最優(yōu)解。針對(duì)上述設(shè)計(jì)流程，UMDO的技術(shù)體系可歸納為如下四個(gè)方面。

1.1 不確定性源建模

準(zhǔn)確、可靠地描述不確定性因素是構(gòu)建UMDO問(wèn)題的關(guān)鍵之一，必須對(duì)不確定性源的構(gòu)成、建模和量化開(kāi)展深入研究。不確定性源建模指通過(guò)合適的數(shù)學(xué)方法對(duì)設(shè)計(jì)優(yōu)化中涉及的不確定性因素進(jìn)行描述和量化，根據(jù)不確定性因素的類型，采用相應(yīng)的不確定性理論進(jìn)行建模。

美國(guó)Sandia國(guó)家實(shí)驗(yàn)室將不確定性分為可認(rèn)知不確定性和不可認(rèn)知不確定性，并采用證據(jù)理論對(duì)混合不確定性進(jìn)行了建模[26]；Hazelrigg[27-28]研究了仿真模型中可能存在的誤差，將其劃分為數(shù)學(xué)模型誤差、計(jì)算仿真誤差、模型參數(shù)誤差和計(jì)算誤差；Delaurentis[29]將飛行器設(shè)計(jì)不確定性分為操作/環(huán)境層、系統(tǒng)層和學(xué)科層不確定性三類；Padmanabhan[30]從MDO角度出發(fā)將不確定性分為變化型、決策型和建模型不確定性三類；劉寶碇等[31]將不確定性劃分為隨機(jī)性、模糊性、粗糙性、模糊隨機(jī)性、隨機(jī)模糊性等多種類型。

目前，被廣泛認(rèn)可的是將不確定性分為隨機(jī)型和認(rèn)知型兩大類。其中，隨機(jī)不確定性的參數(shù)建模方法有概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、貝葉斯統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過(guò)程理論；認(rèn)知不確定性通常需要根據(jù)具體特點(diǎn)選擇相應(yīng)的非概率數(shù)學(xué)工具[50-51]進(jìn)行描述，如證據(jù)理論[26,34-36]、模糊集理論[37-39]、可能性理論[40]、區(qū)間數(shù)理論[20,24-25,41-44]、凸集理論[19-20,45]等。對(duì)于隨機(jī)與認(rèn)知不確定性同時(shí)存在的情況，通常需要采用混合建模方法，如基于模糊隨機(jī)理論的不確定性混合建模方法[46]、基于概率與證據(jù)理論的不確定性混合建模方法[47-48]等。常用不確定性理論如表1所示。上述各種不確定性建模方法從不同角度給出了不確定性的度量標(biāo)準(zhǔn)，由于工程問(wèn)題較為復(fù)雜，實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)不確定性源的特點(diǎn)選擇最為適合的建模方法。

1.2 不確定性靈敏度分析

不確定性建模需要大量的數(shù)據(jù)支撐，在設(shè)計(jì)過(guò)程中引入過(guò)多的不確定性因素會(huì)造成巨大的分析與計(jì)算成本。因此，在UMDO中需要對(duì)不確定性因素進(jìn)行靈敏度分析以提供搜索方向或輔助變量篩選。不確定性靈敏度分析包括局部靈敏度分析和全局靈敏度分析兩類。局部靈敏度分析用于確定可靠度或

表1 不確定性理論Table 1 Uncertainty theory

某一狀態(tài)變量在當(dāng)前點(diǎn)鄰域內(nèi)對(duì)各不確定性變量的偏導(dǎo)數(shù)信息，以此對(duì)UMDO尋優(yōu)提供搜索方向，提高搜索效率；全局靈敏度分析又被稱為重要性測(cè)度分析，用于量化模型本身與模型輸入中各項(xiàng)可變因素對(duì)模型輸出變化的影響程度[49]，對(duì)各不確定性因素的重要性進(jìn)行排序，濾除不重要因素，降低UMDO問(wèn)題的復(fù)雜度。

對(duì)不確定性靈敏度分析的研究目前主要集中在隨機(jī)不確定性的概率靈敏度分析方法，如微分方法、響應(yīng)面方法、方差分解方法、傅里葉振幅靈敏度測(cè)試方法、抽樣仿真方法等[50-52,54]。其中，抽樣仿真方法，只需對(duì)不確定性變量空間進(jìn)行抽樣和仿真獲取樣本數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)單易行而被廣泛應(yīng)用；分析方法包括相關(guān)系數(shù)、回歸分析、方差分解等[50,55]。相關(guān)系數(shù)法只能構(gòu)建線性靈敏度關(guān)系，適應(yīng)性不強(qiáng)，回歸分析在非線性程度較高時(shí)誤差較大，均不適合于多學(xué)科耦合造成的高非線性不確定性問(wèn)題；方差分解方法精度較高，但計(jì)算成本較大。對(duì)于大計(jì)算量仿真模型的不確定性靈敏度分析問(wèn)題[52-53]，伴隨方法(Adjoint Sensitivity Analysis Procedure, ASAP)是一種有效的計(jì)算方法，如果伴隨模型與原始模型同步分析，ASAP僅需要少量的額外計(jì)算，適合于復(fù)雜工程應(yīng)用情況。關(guān)于認(rèn)知不確定性的靈敏度方法主要包括基于證據(jù)理論發(fā)展的抽樣仿真方法[56-57]和解析微分方法[58]。Guo等[59-60]提出了通過(guò)證據(jù)理論計(jì)算可信性和似然性測(cè)度之間的差距的方法，以量化不確定性分布的影響大小。

全局靈敏度分析方法目前研究較少，通常都是將整個(gè)系統(tǒng)作為黑箱子處理以避免多學(xué)科耦合帶來(lái)的影響，并不適用于學(xué)科較多、計(jì)算消耗大的情況，因此需要結(jié)合MDO求解架構(gòu)的特點(diǎn)發(fā)展多學(xué)科下的全局靈敏度分析方法。

1.3 多學(xué)科不確定性分析

多學(xué)科不確定性分析是根據(jù)系統(tǒng)輸入、系統(tǒng)本身及外部環(huán)境的不確定性對(duì)系統(tǒng)輸出的不確定性分布進(jìn)行量化，是不確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)的核心，也被稱為多學(xué)科不確定性傳播與量化。不確定性分析的實(shí)現(xiàn)方法可分為侵入式和非侵入式兩類[61]。

侵入式方法通過(guò)對(duì)系統(tǒng)控制方程添加不確定性項(xiàng)，直接將不確定性影響納入系統(tǒng)模型，不適合于無(wú)法獲取分析模型的情況，主要包括多項(xiàng)式混沌展開(kāi)[62-63]、隨機(jī)有限元譜分析[64-66]、矩平衡方法[67]、協(xié)方差匹配方法[68-69]、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法[70]等。非侵入式方法將系統(tǒng)模型作為黑箱處理，只根據(jù)輸入輸出關(guān)系分析不確定性影響，無(wú)需修改系統(tǒng)模型，主要包括蒙特卡洛仿真、泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)近似法、一階可靠度法、二階可靠度法、區(qū)間分析方法等[1]，以及基于多學(xué)科求解架構(gòu)的并行子空間不確定性分析方法[71-73]、基于協(xié)同優(yōu)化的隱式不確定性傳播方法[74]、PADMA分布式求解框架[75]等。

不確定性分析依據(jù)建模理論可分為概率方法和非概率方法兩類。由于概率論具有完善的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，基于概率論的隨機(jī)不確定性分析研究更為廣泛，在實(shí)際工程應(yīng)用中較為普及。混合不確定性分析方法的主要思想是分別對(duì)隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性的影響進(jìn)行量化，然后將兩者序貫執(zhí)行以分析混合不確定性的綜合影響。目前混合不確定分析研究較少，主要包括基于概率論和模糊集理論的可靠度上下限分析方法[76-78]、基于概率理論和區(qū)間分析的混合可靠度分析方法[79-80]等。由于飛行器設(shè)計(jì)的學(xué)科模型一般都是計(jì)算成本高、耗時(shí)長(zhǎng)的高擬真度模型，采用嵌套執(zhí)行混合不確定分析的計(jì)算成本將非常巨大。因此，需要發(fā)展更高效的混合不確定性分析方法。

1.4 魯棒性多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)

不確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)指根據(jù)穩(wěn)健性和可靠性要求，通過(guò)在設(shè)計(jì)空間搜索過(guò)程中不斷調(diào)用不確定性分析，以尋求穩(wěn)健可靠性最優(yōu)解的優(yōu)化過(guò)程。根據(jù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的不同要求，可分為穩(wěn)健性設(shè)計(jì)和可靠性設(shè)計(jì)。當(dāng)同時(shí)考慮目標(biāo)函數(shù)穩(wěn)健性和約束條件可靠性時(shí)，將其稱為魯棒性多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)。

穩(wěn)健性設(shè)計(jì)[81]最早由日本學(xué)者Taguchi提出。其思想是在系統(tǒng)有不確定性輸入的條件下，通過(guò)優(yōu)化目標(biāo)、設(shè)計(jì)參數(shù)及約束條件的合理設(shè)計(jì)，盡可能減小不確定性因素對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的影響。隨著穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法的不斷完善[82-85]，20世紀(jì)80年代后逐步發(fā)展成為機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域的重要研究方向[86]?，F(xiàn)代穩(wěn)健設(shè)計(jì)對(duì)其進(jìn)一步深化，不僅追求系統(tǒng)性能最優(yōu)化，同時(shí)把系統(tǒng)性能偏差最小也作為優(yōu)化目標(biāo)，以獲得可行、穩(wěn)健的綜合最優(yōu)解。穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)際上是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，包括性能最優(yōu)化和設(shè)計(jì)約束的穩(wěn)健性。目前廣泛采用的是加權(quán)求和法[87]、演化類算法[88-89]、基于偏好的規(guī)劃法[90-91]、折中法[92-93]等。

可靠性設(shè)計(jì)最早出現(xiàn)于機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域[94-95]，并隨產(chǎn)品可靠性要求的不斷提高逐步得到重視?？煽啃栽O(shè)計(jì)需在每一個(gè)搜索點(diǎn)進(jìn)行可靠性分析，計(jì)算復(fù)雜度劇增。求解這類UMDO問(wèn)題通常有兩種思路。

一種是從不確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)角度出發(fā)，將UMDO問(wèn)題分解為確定性MDO問(wèn)題和可靠性分析問(wèn)題。在工程應(yīng)用中經(jīng)常采用一些近似求解方法將可靠性約束轉(zhuǎn)化為等價(jià)的確定性約束條件，將不確定性優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定性優(yōu)化問(wèn)題以降低計(jì)算復(fù)雜度。這些方法包括角空間分析法[96]、最差情況分析法[97]、可靠設(shè)計(jì)空間法[98]、變化模式分析法[99]、近似極限狀態(tài)函數(shù)法[100]、基于梯度的優(yōu)化方法[101]等。上述等價(jià)轉(zhuǎn)換并沒(méi)有對(duì)設(shè)計(jì)方案的實(shí)際可靠度進(jìn)行計(jì)算，因此獲取優(yōu)化方案可靠度的計(jì)算精度有限。另一種解決方法是將傳統(tǒng)優(yōu)化與可靠性分析的兩層嵌套循環(huán)轉(zhuǎn)化為一個(gè)單層循環(huán)的單層方法(Single Level Approach，SLA)，包括單層序貫優(yōu)化法、單層融合優(yōu)化法等。單層序貫優(yōu)化法的思路是根據(jù)前一次循環(huán)的不確定性分析信息將可靠性約束轉(zhuǎn)化為等價(jià)的確定性約束，以此將不確定性優(yōu)化問(wèn)題解耦為確定性優(yōu)化與可靠性分析，通過(guò)序貫迭代求解，包括安全因子法[102](Safety Factor Based Approach，SFA)和序列優(yōu)化與可靠性分析法(Sequential Optimization and Reliability Assessment，SORA)[103]等。單層融合優(yōu)化法通過(guò)將內(nèi)層循環(huán)搜索所得的MPP點(diǎn)簡(jiǎn)化為等價(jià)的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，并作為約束條件引入外層優(yōu)化，包括單層單向量(Single Loop Single Vector，SLSV)法[104]和單層雙變量(Single Loop Double Vector，SLDV)法[105]。

另一種是從MDO角度出發(fā)，采用過(guò)程分解方法將原UMDO問(wèn)題分解為多個(gè)并行執(zhí)行的子問(wèn)題，借鑒DMDO過(guò)程[8]運(yùn)用多學(xué)科協(xié)同思想并行求解以提高效率。Mcallister等[106]提出不確定性CO過(guò)程，將基于一階Talyor展開(kāi)的期望值/方差概率估計(jì)方法集成于CO框架中；曹鴻鈞[19]采用凸集理論對(duì)不確定性變量建模，在CO基礎(chǔ)上提出多學(xué)科系統(tǒng)協(xié)同穩(wěn)健優(yōu)化(Collaborative Robust Optimization，CRO)方法；Gu和Renaud[74]提出了基于CO框架的隱式系統(tǒng)不確定性分析方法，建立了穩(wěn)健協(xié)同優(yōu)化(Robust Collaborative Optimization，RCO)過(guò)程；Padmanabhan和Batill[107]在CSSO方法基礎(chǔ)上，提出將UMDO問(wèn)題分解為若干獨(dú)立的學(xué)科優(yōu)化子問(wèn)題，采用并行計(jì)算以提高求解效率；蘇子健[108]在CSSO框架中集成基于二階全局靈敏度方程的過(guò)程分解，實(shí)現(xiàn)了多學(xué)科下的不確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)；許林[109]將不確定性分析方法引入BLISS 2000框架，提出基于隨機(jī)不確定性的BLISS優(yōu)化過(guò)程；Kokkolaras[110]提出概率目標(biāo)層級(jí)分析法，將ATC擴(kuò)展到包含隨機(jī)變量的層次系統(tǒng)UMDO問(wèn)題求解；Liu[111]和Xiong[112]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出改進(jìn)的概率目標(biāo)層級(jí)分析法。

魯棒性多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)解決了MDO無(wú)法保證最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)的可靠性和穩(wěn)健性的問(wèn)題，但計(jì)算量過(guò)大是UMDO向飛行器設(shè)計(jì)領(lǐng)域推廣的主要瓶頸之一。因此，應(yīng)結(jié)合現(xiàn)有工業(yè)領(lǐng)域需求和多學(xué)科耦合特點(diǎn)，在MDO原有求解架構(gòu)基礎(chǔ)上發(fā)展更為高效、精確的魯棒性多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

2 UMDO的工程應(yīng)用

由于UMDO在解決復(fù)雜多學(xué)科系統(tǒng)上具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，在飛行器設(shè)計(jì)領(lǐng)域也受到了廣泛關(guān)注，并得到初步應(yīng)用。Delaurentis[113]將UMDO方法引入超音速客機(jī)的概念設(shè)計(jì)，考慮氣動(dòng)與控制的緊密耦合，獲得了優(yōu)化方案；Chen[114]等將基于對(duì)策論的UMDO應(yīng)用于高速民機(jī)的總體設(shè)計(jì)，通過(guò)降低各學(xué)科對(duì)其他學(xué)科的敏感度以提高各學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化的靈活性；Aminpour[115]等提出了RBMDO方法，通過(guò)集成CAE軟件將其應(yīng)用于某客機(jī)翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化，在提高可靠性的同時(shí)降低了機(jī)翼質(zhì)量；許林[109]在飛行器MEMS構(gòu)件的設(shè)計(jì)優(yōu)化中引入U(xiǎn)GBLISS 2000優(yōu)化過(guò)程，提高了構(gòu)件的穩(wěn)健性和可靠性；姚雯[4]等采用GBCSSUO方法進(jìn)行衛(wèi)星總體設(shè)計(jì)，給出滿足穩(wěn)健性和可靠性要求的最優(yōu)總體方案。

雖然UMDO已經(jīng)引起工業(yè)界的重視，并作為未來(lái)的重點(diǎn)研究方向之一。但目前并沒(méi)有形成一套清晰、完成且規(guī)范的方法流程來(lái)指導(dǎo)UMDO技術(shù)向工業(yè)領(lǐng)域的推廣。因此，本文以考慮不確定性的飛行器總體設(shè)計(jì)過(guò)程為研究對(duì)象，基于目前飛行器設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)流程和組織架構(gòu)特點(diǎn)，提出一套面向飛行器總體設(shè)計(jì)的UMDO應(yīng)用模式。

3 面向飛行器總體設(shè)計(jì)的UMDO應(yīng)用模式

飛行器設(shè)計(jì)是一個(gè)復(fù)雜過(guò)程，不僅需考慮性能、成本、周期、可靠性等需求，還需考慮當(dāng)前技術(shù)水平、實(shí)驗(yàn)條件、制造能力等客觀約束，每一個(gè)環(huán)節(jié)都存在大量不確定性因素。尤其是新概念飛行器，缺乏必要的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)和參考數(shù)據(jù)，在設(shè)計(jì)初期存在著大量認(rèn)知不確定性因素。隨著設(shè)計(jì)過(guò)程的深入和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的增加，一些認(rèn)知不確定性因素會(huì)逐漸轉(zhuǎn)化為確定性因素或模型參數(shù)的隨機(jī)不確定性，而一些原來(lái)確認(rèn)的不確定性因素也會(huì)因?yàn)樵O(shè)計(jì)過(guò)程的深入而發(fā)生變化。同時(shí)，分析模型的改變也會(huì)造成不確定性因素對(duì)系統(tǒng)影響的變化。因此，飛行設(shè)計(jì)過(guò)程是一個(gè)包含大量不確定性因素的復(fù)雜系統(tǒng)工程。

飛行器系統(tǒng)工程的全壽命周期包括概念設(shè)計(jì)、初步設(shè)計(jì)、詳細(xì)設(shè)計(jì)、生產(chǎn)制造、使用運(yùn)行、維護(hù)與報(bào)廢六個(gè)階段。每個(gè)階段都會(huì)產(chǎn)生大量的不確定性因素，如圖1所示。其中，概念設(shè)計(jì)階段的不確定因素多為認(rèn)知不確定性，初步設(shè)計(jì)階段的不確定因素主要為隨機(jī)與認(rèn)知的混合不確定性，詳細(xì)設(shè)計(jì)階段的不確定因素主要為隨機(jī)不確定性。因此，無(wú)法采用一套不確定性方法來(lái)實(shí)現(xiàn)飛行器全階段的總體設(shè)計(jì)，需要針對(duì)各階段的不確定性因素分布特點(diǎn)和設(shè)計(jì)需求，分別提出相應(yīng)的UMDO應(yīng)用模式。

圖1 飛行器各階段的不確定性因素Fig.1 Uncertainty factors in each phase of the aircraft

3.1 概念設(shè)計(jì)階段的UMDO流程

概念設(shè)計(jì)階段將設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)要求，從而進(jìn)行設(shè)計(jì)概念和方案探索，最終獲得基準(zhǔn)方案，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的研制過(guò)程和總體性能影響最大。概念設(shè)計(jì)階段由于對(duì)設(shè)計(jì)對(duì)象認(rèn)識(shí)不足，需要考慮的不確定性因素主要包括：

1)設(shè)計(jì)指標(biāo)的模糊性；

2)人為簡(jiǎn)化導(dǎo)致的分析模型誤差；

3)科技進(jìn)步與技術(shù)創(chuàng)新引起的設(shè)計(jì)參數(shù)變化。

此階段很多的不確定性是未知但有界的，設(shè)計(jì)者更關(guān)注設(shè)計(jì)方案的可靠性和不確定性影響下系統(tǒng)輸出響應(yīng)量的變化范圍。區(qū)間模型適合于不確定信息較少、可靠性要求高的場(chǎng)合，因此可采用區(qū)間模型對(duì)概念設(shè)計(jì)階段的不確定性進(jìn)行描述和量化。概念設(shè)計(jì)階段UMDO設(shè)計(jì)流程如圖2所示，根據(jù)設(shè)計(jì)要求和約束條件建立符合設(shè)計(jì)需求的備選方案，基于不確定性區(qū)間模型計(jì)算各方案性能指標(biāo)的變化范圍，進(jìn)而確定系統(tǒng)性能和費(fèi)用，最終根據(jù)費(fèi)用、風(fēng)險(xiǎn)、性能等準(zhǔn)則選擇出基準(zhǔn)設(shè)計(jì)方案。

圖2 概念設(shè)計(jì)階段的UMDO設(shè)計(jì)流程Fig.2 UMDO design process of the conceptual design phase

3.2 初步設(shè)計(jì)階段的UMDO流程

初步設(shè)計(jì)階段的主要工作是對(duì)概念設(shè)計(jì)階段得到的基準(zhǔn)方案進(jìn)行細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)。在初步設(shè)計(jì)階段的不確定性建模過(guò)程中，需要考慮的不確定性因素包括隨機(jī)與認(rèn)知兩類不確定性。

對(duì)于隨機(jī)不確定性因素，可以通過(guò)特定的隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)獲得其變化規(guī)律，隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，其不確定性不會(huì)隨之減少。如結(jié)構(gòu)分析時(shí)的環(huán)境溫度、外部載荷等外在不確定因素，以及結(jié)構(gòu)尺寸、材料特性等內(nèi)在不確定因素。對(duì)于認(rèn)知不確定性，是指對(duì)研究對(duì)象或外部環(huán)境認(rèn)知不足或數(shù)據(jù)缺少造成的不確定性，無(wú)法通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)獲得其變化規(guī)律。這兩類不確定性的具體表現(xiàn)如下：

1)知識(shí)缺乏造成的數(shù)學(xué)模型和真實(shí)模型之間的差異；

2)信息缺乏造成的對(duì)給定模型參數(shù)估計(jì)的不準(zhǔn)確；

3)離散化、舍入誤差等造成的計(jì)算誤差；

4)設(shè)計(jì)過(guò)程中輸入變量的不確定性；

5)運(yùn)行環(huán)境的不確定性；

6)加工和人為誤差。

初步設(shè)計(jì)階段的UMDO流程如圖3所示。在初步設(shè)計(jì)階段，需要依托大量的學(xué)科分析和有限的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立基于混合不確定的系統(tǒng)分析模型，開(kāi)展考慮混合不確定性的優(yōu)化設(shè)計(jì)來(lái)優(yōu)化飛行器的綜合性能，從而獲得滿足可靠性和穩(wěn)健性約束的飛行器最優(yōu)方案。隨著學(xué)科模型復(fù)雜度的增加，計(jì)算消耗開(kāi)始成為設(shè)計(jì)過(guò)程中的主要考慮因素，可引入代理模型技術(shù)來(lái)降低UMDO的計(jì)算消耗。

圖3 初步設(shè)計(jì)階段的UMDO設(shè)計(jì)流程Fig.3 UMDO design process of the preliminary design phase

3.3 詳細(xì)設(shè)計(jì)階段的UMDO流程

詳細(xì)設(shè)計(jì)階段主要解決管理協(xié)調(diào)的問(wèn)題，尤其是各分系統(tǒng)之間、系統(tǒng)與環(huán)境之間的接口問(wèn)題，還要組織周密的試驗(yàn)以驗(yàn)證新系統(tǒng)的性能是否滿足系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求。與初步設(shè)計(jì)階段相比，詳細(xì)設(shè)計(jì)階段包含更多的復(fù)雜學(xué)科分析，重點(diǎn)對(duì)各分系統(tǒng)、各學(xué)科進(jìn)行細(xì)節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)，原則上不再進(jìn)行總體綜合優(yōu)化。由于概念設(shè)計(jì)和初步設(shè)計(jì)兩個(gè)階段的設(shè)計(jì)、仿真和試驗(yàn)為詳細(xì)設(shè)計(jì)階段提供了大量數(shù)據(jù)，因數(shù)據(jù)不足引起的認(rèn)知不確定性已轉(zhuǎn)化為確定性因素或模型參數(shù)的隨機(jī)不確定性。因此，該階段重點(diǎn)考慮隨機(jī)不確定性影響，主要包括：

1)設(shè)計(jì)輸入變量的不確定性；

2)運(yùn)行環(huán)境的不確定性；

3)加工和人為誤差；

4)知識(shí)缺乏導(dǎo)致的模型誤差；

5)離散化、舍入誤差等導(dǎo)致的計(jì)算誤差。

詳細(xì)設(shè)計(jì)階段將當(dāng)前最優(yōu)方案的總體性能和不確定性因素分配到各子系統(tǒng)，各子系統(tǒng)根據(jù)新指標(biāo)進(jìn)行新一輪的分系統(tǒng)詳細(xì)設(shè)計(jì)，協(xié)調(diào)各分系統(tǒng)試樣技術(shù)要求，完成系統(tǒng)綜合試驗(yàn)及其結(jié)果分析，以校驗(yàn)各分系統(tǒng)設(shè)計(jì)的可行性，進(jìn)行系統(tǒng)綜合試驗(yàn)以校驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)是否符合設(shè)計(jì)要求，最后完成設(shè)計(jì)定型。如圖4所示，詳細(xì)設(shè)計(jì)階段的設(shè)計(jì)流程由不確定系統(tǒng)建模、不確定指標(biāo)分配和分系統(tǒng)詳細(xì)設(shè)計(jì)三部分組成。主要采用概率理論建立隨機(jī)不確定性模型，并根據(jù)初步設(shè)計(jì)階段各分系統(tǒng)返回的設(shè)計(jì)結(jié)果，進(jìn)行性能指標(biāo)和不確定性偏差的優(yōu)化分配。

圖4 詳細(xì)設(shè)計(jì)階段的UMDO設(shè)計(jì)流程Fig.4 UMDO design process of the detailed design phase

4 發(fā)展展望

4.1 現(xiàn)存問(wèn)題

UMDO從提出至今已有10余年，雖然已在航天航空等領(lǐng)域得到了重點(diǎn)關(guān)注和發(fā)展，但尚未形成完整的應(yīng)用能力，在工程應(yīng)用中還存在以下問(wèn)題：

(1)不確定性認(rèn)知問(wèn)題。飛行器設(shè)計(jì)中存在著大量不確定性因素，如氣動(dòng)學(xué)科的幾何外形、網(wǎng)格離散和分析工況，結(jié)構(gòu)學(xué)科的結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料屬性和載荷，推進(jìn)學(xué)科的燃料特性和燃燒過(guò)程，彈道學(xué)科的氣動(dòng)數(shù)據(jù)和大氣參數(shù)等不確定性因素，以及各學(xué)科計(jì)算方法的模型誤差與數(shù)值誤差等。如何對(duì)上述不確定性因素進(jìn)行識(shí)別、區(qū)分、定義、篩選，是現(xiàn)代飛行器不確定性研究必須首先解決的問(wèn)題。

(2)不確定性混合建模問(wèn)題。不確定性因素包括客觀存在的隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性。目前基于單一不確定性模型的UMDO已經(jīng)得到較多研究，但實(shí)際工程應(yīng)用問(wèn)題通常都會(huì)由多種不同類型的不確定性因素構(gòu)成，必須采用混合建模方式以準(zhǔn)確地描述各類不確定性影響；同時(shí)，由于各不確定性因素之間通常并不完全獨(dú)立，存在著相關(guān)性影響，在建立不確定性混合模型時(shí)還必須考慮其相關(guān)性。

(3)不確定性源在多學(xué)科復(fù)雜系統(tǒng)中的傳播問(wèn)題。傳統(tǒng)多學(xué)科不確定性分析將整個(gè)系統(tǒng)作為一個(gè)整體，忽視了不確定因素在系統(tǒng)內(nèi)部各學(xué)科之間的耦合傳遞過(guò)程，無(wú)法充分利用多學(xué)科耦合特性以提升復(fù)雜系統(tǒng)的綜合性能。不確定性因素在上述耦合過(guò)程中的傳播機(jī)理和耦合效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的整體性能影響巨大，需結(jié)合MDO問(wèn)題的多學(xué)科耦合特點(diǎn)研究不確定性源的傳播影響，為UMDO提供支持。

(4)面向工程應(yīng)用的UMDO存在著計(jì)算量大和求解效率低的問(wèn)題。多變量、多約束、強(qiáng)耦合是工程應(yīng)用問(wèn)題的顯著特點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的UMDO問(wèn)題求解難度更大，計(jì)算消耗也更多。必須發(fā)展更高效的求解架構(gòu)和算法，在確保精度的同時(shí)，將計(jì)算規(guī)模控制到可接受的程度，才能滿足工程應(yīng)用需求。

(5)缺乏典型應(yīng)用案例。UMDO在飛機(jī)、衛(wèi)星等飛行器設(shè)計(jì)的應(yīng)用但仍處于探索階段，目前UMDO難以直接應(yīng)用于包含復(fù)雜學(xué)科分析模型、多學(xué)科強(qiáng)耦合、多變量多約束的實(shí)際工程問(wèn)題中，需要結(jié)合工業(yè)部門(mén)的實(shí)際需求，基于目前的技術(shù)發(fā)展，探索更為適合的UMDO應(yīng)用模式，進(jìn)一步提升UMDO技術(shù)的工程應(yīng)用成熟度。

4.2 研究展望

上述問(wèn)題是目前UMDO應(yīng)用于工程應(yīng)用的主要障礙，可從如下幾個(gè)方面開(kāi)展后續(xù)研究：

(1)多學(xué)科下的不確定性認(rèn)知。針對(duì)各學(xué)科特點(diǎn)，對(duì)設(shè)計(jì)過(guò)程中的不確定性因素進(jìn)行識(shí)別、區(qū)分、定義和篩選，確定最佳的不確定性因素建模方法；結(jié)合多源數(shù)據(jù)融合等輔助手段，發(fā)展相關(guān)模型的參數(shù)辨識(shí)與驗(yàn)證技術(shù)，為不確定性分析過(guò)程提供模型和數(shù)據(jù)支持。

(2)考慮多學(xué)科耦合影響，研究多學(xué)科下的不確定靈敏度分析方法。一是借助靈敏度評(píng)估不確定性變量的重要程度，以縮減計(jì)算規(guī)模，形成動(dòng)態(tài)規(guī)模下的自適應(yīng)不確定性求解能力；二是探索不確定性靈敏度作為梯度信息的可行性，發(fā)展更為高效的不確定性分析方法。

(3)多學(xué)科耦合下的不確定性傳播機(jī)制。結(jié)合現(xiàn)代飛行器的多學(xué)科耦合特點(diǎn)，研究不同學(xué)科之間、不同系統(tǒng)層次之間以及不同評(píng)價(jià)體系之間不確定性因素的傳播機(jī)理和耦合效應(yīng)，從分系統(tǒng)層面和多系統(tǒng)層面探索可靠性設(shè)計(jì)和穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的最佳實(shí)現(xiàn)途徑，逐步取代基于偏差和余量的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)手段，進(jìn)一步挖掘飛行器總體設(shè)計(jì)過(guò)程中的設(shè)計(jì)潛能。

(4)高效的UMDO求解架構(gòu)。計(jì)算量過(guò)大是UMDO應(yīng)用的主要阻礙之一。需結(jié)合自適應(yīng)代理模型、MDO求解架構(gòu)、多學(xué)科解耦等技術(shù)，發(fā)展更高效、穩(wěn)健的求解架構(gòu)，支持大規(guī)模UMDO問(wèn)題，具備分布式并行求解能力的UMDO求解架構(gòu)，以支撐UMDO的工程應(yīng)用開(kāi)展。

(5)開(kāi)展方案設(shè)計(jì)階段的UMDO應(yīng)用研究，根據(jù)設(shè)計(jì)需求在概念設(shè)計(jì)、初步設(shè)計(jì)和詳細(xì)設(shè)計(jì)階段逐步引入U(xiǎn)MDO來(lái)提高系統(tǒng)魯棒性，以減少反復(fù)設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)并提高綜合性能。目前可將重點(diǎn)放在概念設(shè)計(jì)階段和初步設(shè)計(jì)階段，在現(xiàn)有MDO應(yīng)用案例的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際工程研制環(huán)境，研究最佳的UMDO過(guò)程組織實(shí)現(xiàn)，探索適用于飛行器總體設(shè)計(jì)過(guò)程的UMDO設(shè)計(jì)環(huán)境與應(yīng)用流程，最終形成面向綜合性能最優(yōu)的飛行器UMDO設(shè)計(jì)與優(yōu)化能力。

5 結(jié) 論

本文論述了UMDO的研究現(xiàn)狀，梳理了UMDO技術(shù)的發(fā)展體系并提出了面向現(xiàn)代飛行器總體設(shè)計(jì)的UMDO應(yīng)用模式。任何一個(gè)新技術(shù)的發(fā)展都是一個(gè)逐步完善的過(guò)程，隨著飛行器設(shè)計(jì)等工業(yè)領(lǐng)域?qū)傮w技術(shù)的不斷重視，迫切需要發(fā)展更先進(jìn)的設(shè)計(jì)方法和支撐技術(shù)以提升總體設(shè)計(jì)能力。UMDO正是這樣一種技術(shù)，在傳統(tǒng)MDO的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮不確定性影響，在追求性能最優(yōu)的同時(shí)滿足魯棒性設(shè)計(jì)要求，以符合現(xiàn)代工業(yè)設(shè)計(jì)對(duì)最優(yōu)性能和可靠性的同時(shí)追求。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 陳小前, 姚雯, 歐陽(yáng)琦. 飛行器不確定性多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化理論與應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2013.

[2] 袁亞輝. 多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化及其不確定性研究[D]. 西安: 電子科技大學(xué), 2009. [Yuan Ya-hui. Study on optimization of multidisciplinary design and its uncertainty. Xian: University of Electronic Science and Technology. 2009.]

[3] 粟華. 飛行器高擬真度多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化技術(shù)研究[D].西安: 西北工業(yè)大學(xué), 2014. [Su Hua. Study on high fidelity multidisciplinary design optimization technique of vehicles[D]. Xian: Northwestern Polytechnical University, 2014. ]

[4] 姚雯, 陳小前, 趙勇. 基于不確定性MDO的衛(wèi)星總體優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2009, 30(05):1808-1815,1833. [Yao Wen, Chen Xiao-qian, Zhao Yong. Research on satellite system design based on uncertainty multidisciplinary design optimization[J]. 2009, 30(05):1808-1815,1833.]

[5] Zang T A, Hemsch M J, Hilburger M W, et al. Needs andopportunities for uncertainty-based multidisciplinary design methods for aerospace vehicle[R]. Hampton: Lanley Research Center, 2002.

[6] 歐陽(yáng)瑩之. 復(fù)雜系統(tǒng)理論基礎(chǔ)[M]. 上海: 上?？萍冀逃霭嫔? 2002.

[7] 苗東升. 系統(tǒng)科學(xué)大學(xué)講稿[M]. 北京: 中國(guó)人民大學(xué)出版社, 2007.

[8] 王振國(guó), 陳小前, 羅文彩, 等. 飛行器多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化理論與應(yīng)用研究[M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2006.

[9] 王書(shū)河, 何麟書(shū). 飛行器多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化概述[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2004(06): 697-701. [ Wang Shu-he, He Lin-shu. The summarization of multidisciplinary design optimization for flight vehicles[J]. 2004(06): 697-701.]

[10] 劉偉. 隨機(jī)和認(rèn)知不確定性條件下的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化建模研究[D]. 電子科技大學(xué), 2011. [Liu Wen. Study of multidisciplinary design optimization modeling under stochastic and cognitive uncertainty[D]. University of Electronic Science and Technology, 2011.]

[11] Oberkampf W L, Helton J C, Joslyn C A, et al. Challeng-eproblems: uncertainty in system response given uncertain parameters[J]. Reliability engineering and system safety, 2004, 85(1-3): 11-199.

[12] 張為華, 李曉斌.飛行器多學(xué)科不確定性設(shè)計(jì)理論概述[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2004(06):702-706. [Zhang Wei-hua, Li Xiao-bin. Survey on the theory of aircraft multidisciplinary uncertainty design[J]. Journal of Astronautics, 2004, 25(6):702-706. ]

[13] Matthew J D, Brian J G, et al. Effects of disciplinary uncertainty on multi-objective optimization in aircraft conceptual design[J]. Struct Multidisc Optim, 2011, 44: 831-846.

[14] Alexander W G. Enhancement ofset-based design practices via introduction of uncertainty through the use of interval methods[D]. University of Michigan, 2011.

[15] Zhang Xu-dong, Huang Hong-zhong, Xu Huan-wei. Multidisciplinary design optimization with discrete and continuous variables of various uncertainties[J]. Struct Multidisc Optim, 2010, 42: 605-618.

[16] Oberkampf W L, Deland S M, Rutherford B M. Estimation for Total Uncertainty in Modeling and Simulation[R]. SAND 2000-0824, 2000.

[17] 劉玉彬. 工程結(jié)構(gòu)可靠度理論研究綜述[J]. 吉林建筑工程學(xué)院院報(bào). 2002, 19(2): 41-43. [Liu Yu-bing. A summary of structural engineering reliability theory[J]. Journal of Jilin Architectural and Civil Engineering Institute. 2002, 19(2): 41-43.]

[18] 呂震宙, 馮蘊(yùn)雯. 結(jié)構(gòu)可靠性問(wèn)題研究的若干進(jìn)展[J]. 力學(xué)進(jìn)展. 2000, 30(1): 21-28. [Lu Zhen-zhou, Feng Yun-wen. Advances in structural reliability studies[J]. Advances in Mechanics. 2000, 30(1): 21-28.]

[19] 曹鴻鈞. 基于凸集合模型的結(jié)構(gòu)和多學(xué)科系統(tǒng)不確定性分析與設(shè)計(jì)[D]. 西安: 西安電子科技大學(xué), 2005. [Cao Hong-yun. Convex-model based analysis and design for structural and multidisciplinary systems under uncertainty[D]. Xian: University of Electronic Science and Technology, 2005.]

[20] 陶友瑞. 基于凸模型的多學(xué)科不確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[D]. 長(zhǎng)沙: 湖南大學(xué), 2010. [Tao You-rui. Multidisciplinary uncertain design optimization based on convex model theory[D]. Changsha: Hunan University, 2010. ]

[21] Elishakoff I. On the uncertain triangle[J]. The Shock and Vibration Digest. 1990, 22(10):1-10.

[22] Du Xiaoping, Sudjianto A, Chen Wei. An integrated framework for optimization under uncertainty using inverse reliability strategy[J]. Journal of Mechanical Design, 2004, 7(126): 562-570.

[23] 彭文勝, 張建國(guó), 王丕東, 等. 混合不確定信息航天機(jī)構(gòu)可靠性綜合分析方法[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2015, 36(05): 596-604. [Peng Wen-sheng， Zhang Jian-guo, Wang Pi-dong, et al. Comprehensive reliability analysis of the aerospace mechanism with hybrid uncertainty information[J]. 2015, 36(05): 596-604.]

[24] 劉繼紅, 安向男, 敬石開(kāi). 隨機(jī)與區(qū)間不確定性下的序列化多學(xué)科可靠性分析[J]. 計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng), 2013, 7(19): 1441-1446. [Liu Ji-hong, An Xiang-nan, Jing Shi-kai. Sequential multidisciplinary reliability analysis with random and interval uncertainty[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems. 2013, 7(19): 1441-1446.]

[25] Oberkampf W L, Helton J C. Investigation of evidence theory for engineering application[R]. AIAA 2002-1569, 2002.

[26] Hazelrigg G A. System engineering: an approach to information-based design[M]. New Jersey: Prentice Hall, 1996.

[27] Hazelrigg G A. The implication of arrow’s impossibility theorem on approaches to optimal engineering design[J]. Journal of Mechanical Design, 1996, 118(2): 115-122.

[28] Delaurentis D A. A probabilistic approach to aircraft design emphasizing stability and control uncertainties [D]. Georgia Institute of Technology, 1998.

[29] Padmanabhan D. Reliability-based optimization for multidisciplinary system design [D]. Aerospace and Mechanical Engineering Notre Dame, 2003.

[30] 劉寶碇, 彭錦. 不確定性理論教程[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2005.

[31] Klir G J. Uncertainty and information measures for imprecise probabilities:an overview[C]. The 1st International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications, Ghent, 1999.

[32] Walley P. Towards a unified theory of imprecise probability[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2000, 24(2-3): 125-148.

[33] Shafer G A. Mathematicaltheory of evidence[M]. Princeton: Princeton University Press, 1976.

[34] Yager R, Kacprzy K J, Fedrizzi M.Advances in the dempster-shafer theory of evidence[M]. New York: John Wiley and Sons, 1994.

[35] Mourelatos Z, Zhou J. A design optimization method using evidence theory[J]. Journal of Mechanical Design, 2006, 128(4): 901-908.

[36] Zadeh L A. Fuzzysets[J]. Information and Control, 1965, 8(3): 338-353.

[37] 楊倫標(biāo), 高英儀. 模糊數(shù)學(xué)原理及其應(yīng)用[M]. 廣州: 華南理工大學(xué)出版社, 2000.

[38] Zimmermann H J. Fuzzy Sets, Decision making, andexpert systems[M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1987.

[39] Zadeh L A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1978, 1(1): 3-28.

[40] Rao S S, Berke L. Analysis of uncertain structural systems using interval analysis[J]. AIAA Journal, 1997, 35(4): 727-735.

[41] Rao S S, Lingtao C. Optimum design of mechanical systems involving interval parameters[J]. Journal of mechanical Design, 2002, 124(3): 465-472.

[42] Majumder L, Rao S S. Interval-based multi-objective optimization of aircraft wings under gust loads[J]. AIAA Journal, 2009, 47(3): 563-575.

[43] Moore R E, Kearfott R B, Cloud M J. Introduction tointerval analysis[M]. Philadelphia: SIAM Press, 2009.

[44] Ben-Haim Y, Elishakoff I. Convex models of uncertainty in applied mechanics [M]. Amsterdam: Elsevier, 1990.

[45] Wu Y T, Enright M P, Millwater H R, et al. Probabilistic methods for design assessment of reliability with inspection [C]. The 41st AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference and Exhibit, Atlanta, 2000.

[46] Bae H R, Grandi R V, Canfield R A. Uncertainty quantification of structural response using evidencetheory [R]. AIAA 2002-1468, 2002.

[47] Harish A, John E R, Evan L P, et al. Uncertainty quantification using evidence theory in multidisciplinary design optimization [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2004, 85: 281-294.

[48] Saltelli A, Ratto M, Andres T, et al.Global sensitivity analysis: the primer [M]. Chichester: John Wiley and Sons, 2008.

[49] Helton J C, Johnson J D, Salaberry C J, et al. Survey of sampling-based methods for uncertainty and sensitivity analysis [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2006, 91(10-11): 1175-1209.

[50] Iman R L, Helton J C. An investigation of uncertainty and sensitivity analysis techniques for computer models [J]. Risk Anal, 1988, 8(1): 71-90.

[51] Mihaela I B, Dan G C. A comparative review of sensitivity and uncertainty analysis of large-scale systems I: deterministic methods[J]. Nuclear Science and Engineering, 2004, 147(3): 139-203.

[52] Dan G C, Mihaela I B. A comparative review of sensitivity and uncertainty analysis of large-scale systems II: statistical methods [J]. Nuclear Science and Engineering, 2004, 147(3): 204-217.

[53] Liu H, Chen W, Sudjianto A. Probabilistic sensitivity analysis methods for design under uncertainty [C]. The 10th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference, Albany, 2004.

[54] Hofer E. Sensitivity analysis in the context of uncertainty analysis for computationally intensive models [J]. Computer Physics Communications, 1999, 117(1-2): 21-34.

[55] Helton J C, Johnson J D, Oberkampf W L, et al. Sensitivity analysis in conjunction with evidence theory representations of epistemic uncertainty [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2006, 91(10-11): 1414-1434.

[56] Oberguggenberger M, King J, Schmelzer B. Classical and imprecise probability methods for sensitivity analysis in engineering: a case study [J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2009, 50(4): 680-693.

[57] Bae H R, Grandhi R V, Canfield R A. Sensitivity analysis of structural response uncertainty propagation using evidence theory [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2006, 31(4): 270-291.

[58] Guo J, Du X. Sensitivity analysis with mixture of epistemic and aleatory uncertainties [J]. AIAA Journal, 2007, 45(9), 2337-2349.

[59] Guo J. Uncertainty analysis and sensitivity analysis for multidisciplinary system design [D]. Rolla: Missouri University of Science and Technology, 2008.

[60] Keane A J, Nair P B. Computational approaches for aerospace design: the pursuit of excellence [M]. Chichester: John Wiley and Sons, 2005.

[61] Wiener N. Thehomogeneous chaos [J]. American Journal of Mathematics, 1938, 60(4): 897-936.

[62] Lo?c B, Mathieu B, Nicolas B, et al. Decoupled multidisciplinary design optimization formulation for interdisciplinary coupling satisfaction under uncertainty [J]. AIAA Joirnal, 2016, 54(1): 186-205.

[63] Ghanem R, Spanos P. Stochastic finite elements: a spectral approach [M]. New York: Springer-Verlag, 1991.

[64] Le Maitre O P, Knio O M, Najm H N, et al.A stochastic projection method for fluid flow I. basic formulation [J]. Journal of Computational Physics, 2001, 173(2): 481-511.

[65] Le Maitre O P, Reagan M T, Najm H N, et al.A stochastic projection method for fluid flow II. random process [J]. Journal of Computational Physics, 2002, 181(1): 9-44.

[66] 宋軍，呂震宙，袁修開(kāi). 相關(guān)情況下可靠性靈敏度分析的矩方法[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 26(2): 215-220. [Song Jun, Lu Zhen-zhou, Yuan Xiu-kai. Reliability sensitivity for correlative variables by moment method[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2009, 26(2): 215-220.]

[67] Ghosh S, Lee C H, Mavris N D. Covariance matching collaborative optimization for uncertainty-based multidisciplinary aircraft design [C]. 15th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference, Atlanta, GA, 2014.

[68] Jiang Z, Chen W, German J B. Statistical sensitivity analysis considering both aleatory and epistemic uncertainties in multidisciplinary design [C]. 15th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference, Atlanta, GA, 2014.

[69] Chen L, Sankaran M. Stochastic multidisciplinary analysis with high-dimensional coupling [J]. AIAA JOURNAL, 2016, 54(4): 1209-1219.

[70] Du X, Chen W.An efficient approach to probabilistic uncertainty analysis in simulation-based multidisciplinary design [C]. The 38th AIAA Aerospace Science Meeting and Exhibit, Reno, 2000.

[71] Du X, Chen W. efficient uncertainty analysis methods for multidisciplinary robust design [J]. AIAA Journal, 2002, 40(3): 545-552.

[72] Du X, Wang Y, Chen W.Methods for robust multidisciplinary design [C]. The 41st AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference and Exhibit, Atlanta, 2000.

[73] Gu X，Renaud J E，Penninger C L. Implicit uncertainty propagation for robust collaborative optimization [C]. Proceedings of Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, Pittsburgh, 2001.

[74] Ghosh S, Mavris N D. A methodology for probabilistic analysis of distributed multidisciplinary architecture (PADMA) [C]. 17th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference, Washington, D.C., 2016.

[75] Liu D, Choi K K. An inverse analysis method for design optimization with both statistical and fuzzy uncertainties [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2006, 37(2): 107-119.

[76] Adduri P R, Penmetsa R C.System reliability analysis for mixed uncertain variables [J]. Structural Safety, 2009, 31(5): 375-382.

[77] Zhang X, Huang H, Xu H.Multidisciplinary design optimization with discrete and continuous variables of various uncertainties [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2010, 42(4): 605-618.

[78] Du X.Unified uncertainty analysis by the first order reliability method [J]. Journal of Mechanical Design, 2008, 130(9): 1404-1404.

[79] Eldred M S, Swiler L P, Tang G.Mixed aleatory-epistemic uncertainty quantification with stochastic expansions and optimization-based interval estimation [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2011, 96(9): 1092-1113.

[80] 陳立周. 穩(wěn)健設(shè)計(jì)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2000.

[81] Park S H. Robust design and analysis for quality engineering [M]. London: Chapman and Hall, 1996.

[82] Park G J, Lee T H, Lee K H, et al.Robust design: an overview [J]. AIAA Journal, 2006, 44(1): 181-191.

[83] Beyer H G, Sendhoff B. Robust optimization: a comprehensive survey [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2007, 196(33-34): 3190-3218.

[84] Mohan N S. Robustdesign [D]. Bombay: Indian Institute of Technology, 2002.

[85] Taguchi G, Elsayed E A, Hsiang T C. Quality engineering in production systems [M]. New York: McGraw-Hill, 1989.

[86] Lee K, Park G J.Robust optimization considering tolerances of design variables [J]. Computers and Structures, 2001, 79(1): 77-86.

[87] Rai M M. Robust optimal design with differential evolution [C]. The 10th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference, Albany, 2004.

[88] Li M, Azarm S, Aute V. A multi-objective genetic algorithm for robust design optimization [C]. Proceedings of the 7th annual conference on Genetic and evolutionary computation, Washington DC, 2005.

[89] Chen W, Sahai A, Messac A, et al. Exploration of the effectiveness of physical programming in robust design [J]. Journal of Mechanical Design, 2000, 122(2): 155-163.

[90] Messac A, Ismail-Yahaya A. Multi-objective robust design using physical programming [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2002, 23(5): 357-371.

[91] Chen W, Wiecek M M, Zhang J. Quality utility: a compromise programming approach to robust design [J]. Journal of Mechanical Design, 1999, 121(2): 179-187.

[92] Govindaluri S M, Cho B R. Robust design modeling with correlated quality characteristics using a multicriteria decision framework [J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2007, 32(5-6): 423-433.

[93] Freudenthal A M.Civil engineering classics[M]. New York: American Society of Civil Engineers, 2015.

[94] Coenell C A. A probability-based structural code [J]. Journal of the American Concrete Institute, 1969, 66(12): 974-985.

[95] Sundaresan S, Ishii K, Houser D R. A robust optimization procedure with variations on design variables and constraints [J]. Engineering Optimization, 1995, 24(24): 101-117.

[96] Parkinson A, Sorensen C, Pourhassan N. A general approach for robust optimal design [J]. Journal of Mechanical Design, 1993, 115(1): 74-80.

[97] Cheng G, Xu L, Jiang L. A sequential approximate programming strategy for reliability-based structural optimization [J]. Computers and Structures, 2006, 84(21): 1353-1367

[98] Du X, Chen W. Towards a better understanding of modeling feasibility robustness in engineering design [J]. Journal of Mechanical Design, 2000, 122(4): 385-394.

[99] Kuran B. Reliability based design optimization of a solid rocket motor using surrogate models [C]. The 43rd AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference and Exhibit, Cincinnati OH, 2007.

[100] Po T L, Hae C G. Reliability-based multidisciplinary design optimization using probabilistic gradient-based transformation method [J]. Journal of Mechanical Design, 2013, 135(2): 137-145.

[101] Wu Y T, Shin Y, Sues R, et al. Safety-factor based approach for probability-based design optimization [C]. The 42nd Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference and Exhibit, Seattle, 2001.

[102] Du X, Chen W. Sequential optimization and reliability assessment method for efficient probabilistic design [C]. Proceedings of ASME Design Engineering Technical Conference and Computers and Information in Engineering Conference, Montreal, 2002.

[103] Chen X G, Hasselman T K, Neill D J. Reliability-based structural design optimization for practical applications [C]. The 38th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, 1997.

[104] Harish A, John R, Jason L, et al. A unilevel method for reliability based design optimization [C]. The 45th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, Palm Springs, California, 2004.

[105] Mcallister C D, Simpson T W.Multidisciplinary robust design optimization of an internal combustion engine [J]. Journal of Mechanical Design, 2003, 125(1): 39-41.

[106] Padmanabhan D, Batill S.Reliability based optimization using approximations with applications to multi-disciplinary system design [C].The 40th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, 2002.

[107] 蘇子健. 多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化的分解、協(xié)同及不確定性研究[D]. 武漢: 華中科技大學(xué), 2008. [Su zi-jian. Research on the decomposition, coordination and uncertainty of the multidisciplinary design optimization[D]. Wuhan: Huazhong University of Science and Technology, 2008.]

[108] 許林. 飛行器MDO過(guò)程及相關(guān)技術(shù)研究與應(yīng)用[D]. 長(zhǎng)沙: 國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué), 2009. [Xu lin. Research and application of aerospace vehicle MDO process and related technologies[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2009.]

[109] Kokkolaras M, Mourelatos Z P, Papalambros P Y. Design optimization of hierarchically decomposed multilevel systems under uncertainty [J]. Journal of Mechanical Design, 2006, 128(2): 503-508

[110] Liu H, Chen W, Kokkolaras M, et al.Probabilistic analytical target cascading: a moment matching formulation for multilevel optimization under uncertainty [J]. Journal of Mechanical Design, 2006, 128(4): 1173-1182.

[111] Xiong F, Yin X, Chen W, et al.Enhanced probabilistic analytical target cascading with application to multi-scale design [J]. Engineering Optimization, 2010, 42(42): 581-5

[112] Delaurentis D A. A probabilistic approach to aircraft design emphasizing stability and control uncertainties [D]. Georgia Institute of Technology, 1998.

[113] Chen W, Lewis K. A robust design approach for achieving flexibility in multidisciplinary design [J]. AIAA Journal, 1999, 37(8): 982-990.

[114] Aminpour M A, Shin Y, Sues R H, et al. A framework for reliability-basedMDO of aerospace systems [C]. The 43rd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference and Exhibit, Denver, 2002.