田 雨，郭小松

(1.四川大學(xué) 紡織研究所，四川 成都,610065；2.青島科技大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島,266042)

固體物理是一門研究固體宏觀性質(zhì)與微觀結(jié)構(gòu)之間的相互關(guān)系的學(xué)科，它通過研究固體的微觀結(jié)構(gòu)和微觀粒子的相互作用，結(jié)合其他物理學(xué)科,研究和分析固體的宏觀性質(zhì)。此課程可以使讀者在對微觀結(jié)構(gòu)和宏觀性質(zhì)的相互關(guān)聯(lián)的認(rèn)知中得到更深層次的啟發(fā)。

固體比熱的研究是固體物理這一學(xué)科中一個較為基礎(chǔ)和重要的部分，并且，在研究固體定容比熱容時，實際常采用愛因斯坦模型和德拜模型，比較二者而言，德拜模型能更準(zhǔn)確的描述和解釋客觀物理現(xiàn)象。因為，相比于德拜模型而言，愛因斯坦模型過于簡單地假定所有處于晶體中的原子皆以一同樣的頻率進(jìn)行振動[1]。然而，應(yīng)用得較為廣泛的物理教材[1-5]在講解德拜模型時，都未十分詳細(xì)地就德拜模型分別應(yīng)用于具有簡單晶格結(jié)構(gòu)的晶體和具有復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體時字母N的含義的不同展開討論。固體物理是一門非常適合開展教學(xué)型研究的課程，對德拜模型中N的含義進(jìn)行較詳細(xì)地探討既是對教學(xué)型研究的“研究為體，教學(xué)為用”的內(nèi)涵[6]的準(zhǔn)確把握，也希望借鑒固體物理教學(xué)中引入新穎的內(nèi)容以增加學(xué)生興趣的經(jīng)驗[7]來提升教學(xué)質(zhì)量。

1 德拜模型在具有簡單晶格結(jié)構(gòu)的晶體中的應(yīng)用

德拜模型假設(shè)在溫度較低時低頻的聲頻支格波對晶體定容比熱容影響最大。而對于低頻長波而言，原子間的不連續(xù)性可以忽略,聲頻支格波頻率較低，此時，晶體可視為連續(xù)彈性介質(zhì)。因此，在德拜模型中，晶格和格波被當(dāng)作彈性介質(zhì)與彈性波[1]。對于具有簡單晶格結(jié)構(gòu)的晶體而言，僅有三支聲頻支格波，其中一支為縱聲頻支格波，兩支為橫聲頻支格波。以v1、v2以及vs分別表示縱聲頻支格波波速、橫聲頻支格波波速和平均的彈性波波速,則有[2]：

(1)

且縱聲頻支格波模式密度g1(ω)、橫聲頻支格波模式密度g2(ω)和三支聲頻支格波的模式密度之和g(ω)可用如下方程組表示[3]。

(2)

方程組(2)中v為晶體體積、ω為波的圓頻率，色散關(guān)系為方程組(3),其中q為波矢。則ω可由(3)求得:

ω(q)=νq

(3)

(4)

其中，ωD為德拜頻率,N是晶體的原子總數(shù),n是晶體的原子數(shù)密度,由(4)式可得：

(5)

由(2)和(5)可共同解得(6)式。

(6)

另外,根據(jù)晶格振動熱理論，若模式密度為g(ω)也直接可用(7)式描述出晶體定容比熱容[2],T為熱力學(xué)溫度。

(7)

(8)

(9)

由此可知,對于具有簡單晶格結(jié)構(gòu)的晶體,將N理解為原子數(shù)是正確的,這既符合德拜模型的假設(shè)，而且推導(dǎo)出的定容比熱容簡化公式在高溫區(qū)符合杜隆-帕蒂定律;在低溫區(qū)也符合德拜T3律，即大多數(shù)固體在定容熱容測定實驗中表現(xiàn)出的CV∝T3的實驗規(guī)律[5,8]。例如，固體鐿在低溫時定容熱容與溫度的關(guān)系與德拜T3律基本相符[9]。

2 德拜模型應(yīng)用于具有復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體時N的含義討論

目前，應(yīng)用較廣泛的物理教材[1-5]在推導(dǎo)或引入德拜模型時，都未十分詳細(xì)地討論由于研究對象的晶格結(jié)構(gòu)類型的不同而導(dǎo)致德拜模型在應(yīng)用中的不同,那么晶格結(jié)構(gòu)類型的不同會使德拜模型在推導(dǎo)晶體定容比熱容簡化公式的過程中N的含義有何變化呢?

2.1 研究復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體時，N理解為原胞數(shù)更符合德拜模型的假設(shè)

在德拜模型中，晶格和格波被當(dāng)作彈性介質(zhì)與彈性波,低溫下只考慮聲頻支格波對晶格定容比熱容的影響。具有復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體與具有簡單晶格結(jié)構(gòu)的晶體一樣，聲頻支格波同為三支,若平均的彈性波速度用νs表示，則三支聲頻支格波的總模式密度仍具有(2)式中g(shù)(ω)相同的的形式，即：

(10)

需要注意的是，對具有簡單晶格結(jié)構(gòu)的晶體而言，由于只有三支聲頻支格波而沒有光頻支格波，因此三支聲頻支格波的總模式數(shù)從數(shù)值上就等于晶體內(nèi)的總自由度。但是，對于具有復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體而言，聲頻支格波和光頻支格波同時存在，依照晶格振動理論，原胞中所有原子同向振動產(chǎn)生聲頻支格波，反向振動產(chǎn)生光頻支格波[10]。設(shè)晶體含有N個原胞和N0個原子，所有格波的總振動模式數(shù)在數(shù)值上與晶體的所有原子的總自由度相等,即為3N0，而三支聲頻支格波的總振動模式數(shù)在數(shù)值上不與晶體的所有原子總自由度相等，格波的波失數(shù)目為原胞數(shù)N，故而三支聲頻波的模式數(shù)之和應(yīng)為3N[2],顯然，若每個原胞內(nèi)有n0個原子，N0=Nn0。剩余光頻波的模式數(shù)之和為3N0-N。

三支聲頻支格波的總振動模式數(shù)表達(dá)式如下：

(11)

與(4)式不同的是，上式中的字母N就不再是晶體的原子總數(shù)，而應(yīng)為晶體內(nèi)原胞數(shù)。與得到式(5)的計算過程類似，通過進(jìn)一步計算，所得到的德拜頻率為

(12)

此時的n也不再是晶體的原子數(shù)密度,而變成了晶體的原胞數(shù)密度。

造成這種差別的主要原因是德拜模型認(rèn)為低溫下只能激發(fā)聲頻支格波,每支聲頻支格波的模式數(shù)為N(原胞數(shù)),三支聲頻波的模式數(shù)之和就為3N。倘若N按照原子總數(shù)來理解的,則式(12)的物理意義可表述為三支聲頻支格波模式數(shù)之和即為晶體總模式數(shù)，這顯然不對，前文已經(jīng)指明了晶體總模式數(shù)應(yīng)為所有聲頻支格波和光頻支格波的模式數(shù)之和,這也與德拜模型最初的假設(shè)不符。故對具有復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體而言,晶體的三支聲頻支格波總模式數(shù)應(yīng)為3N(N為原胞數(shù))。

通過計算金剛石的德拜溫度為例(?、kB的值分別取為1.0546×10-34J·s和1.3807×10-23J·K-1且金剛石的密度ρ=3500kg/m3,楊氏模量E為1000GPa,金剛石的德拜溫度實驗值為2230K[3]),對比對于德拜模型中N含義的理解方式的不同所造成的結(jié)果的差異：

1)若N按晶體內(nèi)原子總數(shù)理解:

對于被視為彈性波的聲頻支格波而言,其平均彈性波速可依下式表示[1]。

(13)

體積取1m3，此體積內(nèi)的原子數(shù)即為金剛石的密度除以碳原子的原子質(zhì)量所得的值。

所以：

2)若N按晶體內(nèi)原胞數(shù)理解,每個金剛石原胞中有兩個原子[3],故原胞數(shù)為原子數(shù)除以2，則

由此可見,將N理解為原胞數(shù)的計算結(jié)果更接近于金剛石的德拜溫度實測值2230K 。

2.2 在高溫區(qū)，N若理解為原胞數(shù)，Cv簡化公式與經(jīng)典定律的不相符之處

(14)

(15)

式(14)中p為動量，ω為振動頻率，q為偏離平衡位置的坐標(biāo)。特別指出，式(15)中N0應(yīng)為原子數(shù)。

但是，若N理解為原胞數(shù)，T?ΘD時,通過與式(9)一樣的方法化簡計算得到的定容比熱容簡化公式為：Cv=3NkB,按此結(jié)果，定容比熱容應(yīng)該是原胞數(shù)的3kB倍,而由前段所述的經(jīng)典理論而言，定容比熱容應(yīng)該是原子數(shù)N0的3kB倍。這時將N理解為原胞數(shù)后,雖然符合德拜模型的假設(shè),而推導(dǎo)出的定容比熱容表達(dá)式在高溫區(qū)不符合杜隆-帕蒂定律。

3 小結(jié)

綜上所述，德拜模型的核心物理思想有兩點：

1)低溫下只考慮聲頻支格波對晶格比熱的產(chǎn)生的影響;

2)將聲頻支格波看成彈性波來計算。

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