李純金，楊秋林

(江蘇科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0 引 言

船舶外板曲面展開一般通過三角形網(wǎng)格或者四邊形網(wǎng)格進(jìn)行展開。曲面網(wǎng)格劃分成為外板曲面展開的重要部分，對船舶外板曲面展開的精度有著重要的影響。網(wǎng)格過于稀疏會使展開誤差加大，過密則會降低展開效率。對于給定的船舶型值表數(shù)據(jù)，重構(gòu)外板曲面后，曲面網(wǎng)格的劃分引起了廣泛的關(guān)注。在世博軸“陽光谷”工程設(shè)計中，李承銘[1]先對參數(shù)域曲面進(jìn)行人工細(xì)分后得到平面網(wǎng)格，之后將二維平面網(wǎng)格映射回三維空間曲面，實現(xiàn)了對該參數(shù)曲面的網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格劃分效果較好，但其步驟繁瑣，通用性不高。丁慧[2]基于傳統(tǒng)的映射方法，基于等參數(shù)線分割法的劃分方法生成自由曲面網(wǎng)格，通過等弦長分割方式對曲面參數(shù)化不均勻的問題提出初步解決方案，但其生成的網(wǎng)格曲面單元仍存在劃分混亂情況。江存[3]提出自定義單元法的自由曲面網(wǎng)格劃分，建立網(wǎng)格拓?fù)涞膮?shù)化表達(dá)，改善了網(wǎng)格映射時的網(wǎng)格失真，但其方法試用范圍單一，對非NURBS曲面不適用。王結(jié)臣[4]通過柵格對空間散亂點集進(jìn)行劃分，以柵格為整體進(jìn)行區(qū)域網(wǎng)格劃分。陳永就[5]與衛(wèi)洪春[6]分別通過直接剖分及遞歸程序分別對四邊形及三角形網(wǎng)格進(jìn)行了處理，網(wǎng)格擴(kuò)展過程中變形量較小。石磊[7]對現(xiàn)有的細(xì)分算法做出了分析，并同時指出了現(xiàn)有細(xì)分算法的劣勢。針對船舶外板曲面的網(wǎng)格細(xì)分算法研究不多，由于船舶外板曲面曲率比較復(fù)雜，需考慮網(wǎng)格劃分疏密對于以后外板曲面展開精度的影響。

1 Delaunay 三角網(wǎng)格化

1.1 Delaunay定義

Delaunay三角網(wǎng)格劃分為數(shù)值分析及圖形學(xué)方面重要技術(shù)手段，如圖1所示，Delaunay三角網(wǎng)格是將空間測量數(shù)據(jù)點投影到平面來實現(xiàn)的二維劃分法。算法基本思想為每一個Delaunay三角形的外接圓內(nèi)部不包含其他結(jié)點，一旦檢測到三角形外接圓含有其他結(jié)點后，就必須修改局部的網(wǎng)格劃分，直至滿足起始條件為止。

1.2 Delaunay三角網(wǎng)格劃分算法

Delaunay三角網(wǎng)格劃分步驟為：

1）構(gòu)造大外接圓，使其包含所有結(jié)點，進(jìn)行步驟2；

2）每次導(dǎo)入一個結(jié)點，重復(fù)進(jìn)行步驟3～步驟5；

3）找出已有三角形中哪些外接圓包含新引入的結(jié)點，轉(zhuǎn)步驟4；

4）刪除這些三角形中離新結(jié)點最近的一條邊，轉(zhuǎn)步驟5；

5）將新結(jié)點與老結(jié)點連接，產(chǎn)生新的三角形，算法示意圖如圖2所示。

多邊形域由Delaunay三角網(wǎng)格劃分后生成的網(wǎng)格還不能滿足幾何造型或者有限元分析的需求，為此需對初步劃分后的網(wǎng)格作進(jìn)一步的細(xì)化，在邊界或者圖形區(qū)域內(nèi)部插入適當(dāng)?shù)墓?jié)點，提高網(wǎng)格的質(zhì)量。

2 細(xì)分曲面算法

對于給定的點云數(shù)據(jù)或者三角網(wǎng)格，構(gòu)造細(xì)分曲面使得曲面插值于點云或者三角網(wǎng)格頂點，就是細(xì)分曲面插值問題。

2.1 蝶形算法

蝶形算法為一種插值細(xì)分算法，如圖3所示在每一條邊上引入一個新頂點，頂點的值由模型中8個頂點的值加權(quán)平均得到。權(quán)重系數(shù)設(shè)置為：

其中為張力系數(shù) ，與表面的光滑程度有關(guān)。蝶形算法產(chǎn)生C1連續(xù)的細(xì)分網(wǎng)格，但是對奇異點的處理不夠。

2.2 多面體算法

多面體算法在三角形網(wǎng)格細(xì)分中屬于最簡便的算法，算法基本思想是在三角形網(wǎng)格每2個頂點連線中間引入新的頂點，將原有單個三角形網(wǎng)格細(xì)分為4個三角網(wǎng)格。新引入頂點的位置通過取其所在連線兩端2個頂點加權(quán)平均值確定，該算法不受奇異點影響，常用于細(xì)分算法的原理介紹。圖4為多面體細(xì)分示意圖。

2.3 Loop算法

Loop算法是一種逼近細(xì)分算法，其算法步驟主要分為3步，首先生成邊界點，之后移動原有頂點，最后生成光滑表面（切平面連續(xù)）。

若以為曲面中心頂點，為相鄰頂點構(gòu)成傘狀網(wǎng)格，再根據(jù)Loop算法就可得到下式：

綜合上述兩式得到如下局部細(xì)分矩陣形式：

中心頂點處的局部細(xì)分矩陣即為式（4）中的矩陣，采用靜態(tài)的網(wǎng)格細(xì)分模式，與網(wǎng)格頂點在網(wǎng)格中所處位置無關(guān)，只與階數(shù)有關(guān)。

3 自適應(yīng)三角網(wǎng)格劃分算法（ATM）

3.1 ATM算法思想

自適應(yīng)網(wǎng)格劃分（Adaptive Triangular Meshing）算法通過自動估算曲面曲率的大小，結(jié)合Delaunay算法，自動選擇合適的劃分密度，避免了人工劃分的繁瑣，提高了劃分效率。針對船舶外板曲面自適應(yīng)網(wǎng)格劃分算法基本步驟如下：

1）提取船舶型值表數(shù)據(jù)，通過B樣條工具進(jìn)行參數(shù)化曲面重構(gòu)，得到參數(shù)化曲面；

2）選定曲面適當(dāng)區(qū)域，在參數(shù)化曲面方向上選取相向的2條曲線，從一端的頂點開始搜索，計算步長兩端點弦長或者弧長（估算值）差的絕對值，將其值稱為弦弧差；

3）設(shè)定弦弧差許用范圍，將步驟2得到的值與弦弧差范圍比較，如果在弦弧差范圍之內(nèi)，記錄步長，并生成劃分用網(wǎng)格線，否則步驟4；

4）調(diào)整步長重新判斷，直至滿足弦弧差范圍；

5）重復(fù)步驟2～步驟4，直到搜索至邊界的終點；

6）所有搜索完畢后得到的是四邊形網(wǎng)格，此時進(jìn)行Delaunay三角化生成細(xì)分網(wǎng)格。

3.2 步長劃分準(zhǔn)則

3.1節(jié)所述ATM算法步驟適用于矩形參數(shù)域。對于非矩形參數(shù)域而言，需要先對曲面進(jìn)行擴(kuò)展補(bǔ)充，通過方 向的最大與最小參數(shù)值確定一個矩形域，此矩形域為原先非矩形參數(shù)域的最小外接矩形域。

以向網(wǎng)格劃分為例，如圖5所示，原先參數(shù)域為非矩形參數(shù)域，建立如圖的坐標(biāo)系，通過最大參數(shù)值及最小參數(shù)值構(gòu)建最小外接矩形參數(shù)域，包含原有的多邊形域中所有點。B與b之間距離的絕對值為劃分的步長值，將其與設(shè)定的弦弧差范圍比較。

選中由最值形成的參數(shù)化區(qū)域，由a、b兩點開始搜索，給定初始步長l，求出a與A，b和B之間的弦弧差的值，其中較大的弦弧差的值記作，較小的記作。 給定的許用弦弧差最小值為，許用弦弧差最大值為。判斷當(dāng)則滿足條件，步長合適并生成劃分網(wǎng)格線，否則需要重新修改步長再判定。

3.3 步長關(guān)系調(diào)整

步長關(guān)系調(diào)整基于精度為主，效率為輔的原則。實際與許用弦弧差關(guān)系總共分為7種，如圖6所示，上面部分圖形為實際弦弧差絕對值，左端為最小值，右端為最大值，下面部分圖形為許用弦長差絕對值，左端為許用弦弧差范圍最小值，右端為許用弦弧差最大值。

針對7種步長關(guān)系圖進(jìn)行如下調(diào)整：

1）在情況1中，實際的弦弧差范圍均處于許用弦弧差范圍內(nèi)，，，滿足判斷條件，可以記錄步長，生成網(wǎng)格劃分線，并進(jìn)行下一步搜索；

2）在情況2中，實際弦弧差與許用弦弧差關(guān)系為，，此時需要加大步長，在其滿足判斷條件后記錄步長，生成網(wǎng)格劃分線；

3）在情況3中，實際弦弧差最大值小于許用弦弧差最大值，關(guān)系為，，跟情況2的不同之處在于此時實際弦弧差最大值接近于許用弦弧差，不能加大步長，記錄步長，生成網(wǎng)格劃分線；

4）情況4中實際弦弧差與許用弦弧差關(guān)系為，，此時需要縮小步長，使得，即滿足情況1或情況3的狀態(tài)，當(dāng)滿足這個條件時記錄步長，并生成網(wǎng)格劃分線；

5）情況5中實際弦弧差與許用弦弧差關(guān)系為，，此時需要增大步長值，在其滿足判斷條件后記錄步長，生成網(wǎng)格劃分線；

6）情況6中實際弦弧差與許用弦弧差關(guān)系為，此時需要縮小步長，記錄步長，在其滿足判斷條件后記錄步長，生成網(wǎng)格劃分線；

7）情況7中實際弦弧差與許用弦弧差關(guān)系為，，此時減少步長值，使其達(dá)到情況3的狀態(tài)。

4 實例應(yīng)用

算法實現(xiàn)電腦配置為PC i3CPU，M350 @2.27 GHz RATM4G。根據(jù)提供的船舶型值表數(shù)據(jù)首先通過B樣條進(jìn)行曲面重構(gòu)得到其參數(shù)化曲面，之后通過自適應(yīng)算法得出船舶曲面外板實現(xiàn)網(wǎng)格劃分效果。具體實現(xiàn)流程如圖7所示。

船舶外板曲面實例效果如圖8所示。經(jīng)過自動調(diào)整劃分的網(wǎng)格對于船舶外板的復(fù)雜曲面展開的精度更有益處。

下式為計算曲面展開面積誤差的表達(dá)式：

其中和為展開前后的三角網(wǎng)格的對應(yīng)三角形的面積值；為空間曲面第個頂點相連的三角形的個數(shù)。

如表1所示，在對不同劃分網(wǎng)格數(shù)的曲面進(jìn)行展開后，得到的曲面面積變化誤差也不同。對初始曲面分別進(jìn)行劃分處理，得到網(wǎng)格數(shù)為460，900，1 840的三角形網(wǎng)格曲面以及自適應(yīng)細(xì)分后的1 386個三角片的曲面，借助現(xiàn)有的三角形展開方法進(jìn)行展開后，得到相應(yīng)的面積誤差?？梢姡瑢τ诰?xì)劃分后的曲面展開來講，其展開的面積誤差較小，對于船板制造加工具有指導(dǎo)意義。

表1 不同網(wǎng)格數(shù)曲面展開誤差對比Tab.1 The number of different grid surface expansion error comparison

5 結(jié) 語

本文取船舶曲面分段進(jìn)行曲面網(wǎng)格的劃分研究，針對船舶曲面外板曲面的復(fù)雜特征而言，選擇合適的網(wǎng)格劃分方式對外板展開尤為重要。通過B樣條工具進(jìn)行曲面重構(gòu)，之后對重構(gòu)出的四邊形網(wǎng)格作進(jìn)一步的細(xì)分網(wǎng)格處理，并通過曲面展開驗證細(xì)分網(wǎng)格的效果?，F(xiàn)有的網(wǎng)格細(xì)分方法對劃分網(wǎng)格的準(zhǔn)確性存在一定缺陷，將Delaunay三角網(wǎng)格劃分與自適應(yīng)劃分算法結(jié)合起來，利用自適應(yīng)劃分網(wǎng)格的準(zhǔn)確性，實現(xiàn)船舶外板曲面的三角網(wǎng)格化處理，為曲面展開做好鋪墊。

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