■山東棗莊二中 楊文金

一、高考考情

離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高考的熱點(diǎn),主要考查同學(xué)們對(duì)取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的理解,要求同學(xué)們能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些實(shí)際問(wèn)題。若單獨(dú)考查,一般以客觀題形式出現(xiàn),主要考查利用公式進(jìn)行計(jì)算,難度不大。若以解答題形式出現(xiàn),一般不單獨(dú)考查,常見(jiàn)命題方式有兩種:一是與概率、分布列計(jì)算結(jié)合在一起進(jìn)行考查,二是與統(tǒng)計(jì)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,難度中等。

二、要點(diǎn)整合

1.高考對(duì)離散型隨機(jī)變量的均值與方差的考查主要有以下三個(gè)命題角度:

(1)已知離散型隨機(jī)變量符合條件,求其均值與方差;

(2)已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差,求參數(shù)值;

(3)已知離散型隨機(jī)變量滿(mǎn)足兩種方案,試作出判斷。

2.求離散型隨機(jī)變量均值、方差的基本方法:

(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解;

(2)已知隨機(jī)變量ξ的均值、方差,求ξ的線性函數(shù)η=aξ+b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解;

(3)如能分析所給隨機(jī)變量服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等),可直接利用它們的均值、方差公式求解。

3.解答題中對(duì)期望與方差的考查常與分布列結(jié)合在一起進(jìn)行考查,求解此類(lèi)問(wèn)題要先根據(jù)隨機(jī)變量的定義,確定隨機(jī)變量可以取哪些值,然后根據(jù)隨機(jī)變量取這些值的意義求出取這些值的概率,列出分布列,根據(jù)均值與方差的公式計(jì)算,若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,可直接利用公式E(X)=n p,D(X)=n p(1-p)求解。

4.均值與方差的實(shí)際應(yīng)用。

對(duì)于均值與方差的實(shí)際應(yīng)用,命題模式通常是已知離散型隨機(jī)變量滿(mǎn)足兩種方案,試作出判斷。求解這類(lèi)問(wèn)題要用到均值與方差。

(1)D(X)表示隨機(jī)變量X對(duì)E(X)的平均偏離程度,D(X)越大表明平均偏離程度越大,說(shuō)明X的取值越分散;反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近,統(tǒng)計(jì)中常用來(lái)描述X的分散程度。

(2)隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù),一般先比較均值,若均值相同,再用方差來(lái)決定。

三、考題選析

例1 (2 0 1 7年新課標(biāo)Ⅲ卷理)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完。根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān)。如果最高氣溫不低于2 5,需求量為5 0 0瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[2 0,2 5),需求量為3 0 0瓶;如果最高氣溫低于2 0,需求量為2 0 0瓶。為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表(見(jiàn)表1):

表1

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;

(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?

解：(1)由題意得,X可取2 0 0,3 0 0,5 0 0。

故X的分布列為:

表2

表3

所以Y的分布列為:6 4 0=5 2 0(元)。

表4

綜上,當(dāng)n為3 0 0瓶時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值。

點(diǎn)評(píng):本題把隨機(jī)變量的分布列與統(tǒng)計(jì)及函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有一定的綜合性,但難度不是太大,求解關(guān)鍵是讀懂題意,所以同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問(wèn)題。

例2(2 0 1 7年新課標(biāo)Ⅰ卷理)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取1 6個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:c m)。根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的1 6個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望。

(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查。

(ⅰ)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;

(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的1 6個(gè)零件的尺寸:0.2 1 2,其中為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,1 6。

表5

用樣本平均數(shù)x 作為μ的估計(jì)值^μ,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值^σ,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查。剔除)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.0 1)。

附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ＜Z＜μ+3σ)=0.9 9 74,0.9 9 7416≈0.9 5 92,0.0 0 8≈0.0 9。

分析：(1)根據(jù)題設(shè)條件知一個(gè)零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9 9 74,則零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0 0 26,而X～B(1 6,0.0 0 26),進(jìn)而可以求出X的數(shù)學(xué)期望。(2)(i)判斷監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法的合理性,重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的1 6個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率大還是小,若小即合理;(i i)根據(jù)題設(shè)條件算出μ的估計(jì)值和σ的估計(jì)值,剔除之外的 數(shù)據(jù)9.2 2,算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù),即為μ的估計(jì)值,剔除之 外的數(shù) 據(jù) 9.2 2,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差,即為σ的估計(jì)值。

解：(1)抽樣的一個(gè)零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9 9 74,從而零件的尺寸在 (μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0 0 26,故X～B(1 6,0.0 0 26),因此:

P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.9 9 7416=0.0 4 08。

X的數(shù)學(xué)期望為E X=1 6×0.0 0 26=0.0 4 16。

(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸 在 (μ-3σ,μ+3σ)之 外 的 概 率 只 有0.0 0 26,一天內(nèi)抽取的1 6個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0 4 08,發(fā)生的概率很小。因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的。

(i i)由ˉx=9.9 7,s≈0.2 1 2,得μ的估計(jì)值為^μ=9.9 7,σ的估計(jì)值為^σ=0.2 1 2,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(^μ-3^σ,^μ+3^σ)之外,因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查。

剔除(^σ-3^σ,^μ+3^σ)之外的 數(shù)據(jù)9.2 2,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1 0.0 2,因此μ的估計(jì)值為1 0.0 2。15 9 1.1 3 4,剔 除)之 外 的 數(shù) 據(jù)9.2 2,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為

因此σ的估計(jì)值為 0.0 0 8≈0.0 9。

點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念,反映隨機(jī)變量取值的平均水平。求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時(shí),首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì),確定離散型隨機(jī)變量的所有取值,然后根據(jù)概率類(lèi)型選擇公式,計(jì)算每個(gè)變量取每個(gè)值的概率,列出對(duì)應(yīng)的分布列,最后求出數(shù)學(xué)期望。正態(tài)分布是一種重要的分布,之前考過(guò)一次,尤其是正態(tài)分布的3σ原則。