隋 瑩,韓振來(lái)

(濟(jì)南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 濟(jì)南 250022)

1990年，Hilger[1]發(fā)表了時(shí)間尺度上微積分理論，吸引了全世界數(shù)學(xué)家們的廣泛關(guān)注，發(fā)表了許多關(guān)于時(shí)間尺度上動(dòng)態(tài)方程研究成果、專著等，論文可參閱文獻(xiàn)[4-22].本文將考慮下面一類時(shí)間尺度上帶有阻尼項(xiàng)的三階非線性動(dòng)態(tài)方程的振動(dòng)性問(wèn)題：

(r2(r1(yΔ)α)Δ)Δ(t)+p(t)(yΔ)α(σ(t))+q(t)f(y(g(t)))=0，t≥t0>0.

(1)

這里α≥1是正奇數(shù)的比，設(shè)

1)r1,r2,p,q∈Crd(I,R+),r2Δ(t)≥0,其中I=[t0,∞)T，R+=(0,∞)T.

3)f∈C(R,R),xf(x)>0，f(x)/xβ≥k>0,x≠0，其中β為常數(shù)，是正奇數(shù)的比.

運(yùn)用Riccati變換和不等式技巧，在相關(guān)的二階動(dòng)態(tài)方程

(2)

振動(dòng)的條件下，給出使方程(1)所有解振動(dòng)的充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)

R1(t,t0)→∞,t→∞,

(3)

R2(t,t0)→∞,t→∞,

(4)

下面給出主要結(jié)果證明中所用到的引理.

引理若

(r2xΔ)Δ(t)+p(t)x(h(σ(t)))≤0,

(5)

有最終正解，其中h(t)≤t.則方程

(r2xΔ)Δ(t)+p(t)x(h(σ(t)))=0

(6)

有最終正解.

證明設(shè)x是不等式(5)的最終正解,x(t)>0,x(h(σ(t)))>0,t≥t0,則有(r2xΔ(t))Δ≤0.

因此，存在t1≥t0,當(dāng)t≥t1時(shí)，有xΔ(t)>0,或者當(dāng)t≥t1時(shí)，有xΔ(t)<0.若是后者，則有

則式(5)可以寫成

(7)

對(duì)方程(7)從t到u≥t≥t1積分,并令u→∞得

現(xiàn)定義數(shù)列{zj(t)}j∈N0:z0=y(t)，

(8)

(r2vΔ)Δ(t)=(r2z)Δ(t)=-p(t)v(h(σ(t))),

2 振動(dòng)準(zhǔn)則

通過(guò)Riccati變換的方法，建立方程(1)的振動(dòng)準(zhǔn)則.

(9)

或

(10)

證明設(shè)y是方程(1)在[t1,∞)T,t1≥t0上的一個(gè)非振動(dòng)解,不失一般性,可以假設(shè)y(t)>0,y(g(t))>0,t≥t1.若在[t1,∞)T上L1y>0,則由方程(1)可得

其中x=L1y>0.則由引理得，方程(2)有正解，推出矛盾.接下來(lái),假設(shè)在[t1,∞)T上L1y<0.考慮函數(shù)L2y,當(dāng)t充分大時(shí),L2y(t)≤0不成立,其中t≥t2≥t1.通過(guò)對(duì)下列不等式兩邊積分

(11)

則由式(3) 式得,對(duì)充分大的t有y(t)<0,得到矛盾.因此,設(shè)對(duì)于充分大的t有y(t)>0,L1y(t)<0,

L2y(t)≥0,t≥t3≥t2.對(duì)于v≥u≥t3,有

令u=g(t),v=h(t),得到y(tǒng)(g(t))≥R1(h(t),g(t))(-L1y(h(t)))1/α=R1(h(t),g(t))x(h(t)),其中x(t)=(-L1y(t))1/α>0,t≥t3.由方程(1)知，x是遞減的.因?yàn)間(t)≤h(t)≤t,得到

這里z(t)=xα(t).由于z(t)是遞減的,α≥β,則存在一個(gè)常數(shù)c4>0，使得zβ/α-1(t)≥c4.因此

(r2zΔ)Δ(t)=Q(t)z(h(t)).

(12)

對(duì)于v≥u≥t1，有

(13)

在式(13)中,令u=h(s),v=h(t),t≥s≥t1，得

z(h(s))>-R2(h(t),h(s))r2(h(t))zΔ(h(t)).

h(t)≥t1，且t對(duì)式(12)積分,得

即

(14)

當(dāng)t→∞時(shí)在式(14)的兩端取上極限，與式(9)矛盾.

接下來(lái),從u到t對(duì)式(12)積分，得

(15)

(16)

當(dāng)t→∞時(shí)在式(16)的兩端取上極限，與式(10)矛盾，證畢.

最后,可以很容易把定理1推廣到方程

(r2(r1(yΔ)α)Δ)Δ(t)+p(t)(yΔ(h(σ(t))))α+q(t)f(y(g(t)))=0,

(17)

定理2設(shè)式(3)和式(4)成立,α≥β,假設(shè)方程

(18)

證明設(shè)y是方程(17)在[t1,∞)T,t1≥t0上的一個(gè)非振動(dòng)解，不失一般性，可以假設(shè)y(t)>0,y(g(t))>0,t≥t1.如果在[t1,∞)T上L1y>0,那么由方程(17)可得

其中x=L1y>0.由引理得，方程(18)有正解，推出矛盾.當(dāng)在[t1,∞)T上L1y<0時(shí)，證明類似于定理1,因此忽略.

3 驗(yàn)證

m(t)=1.可以得到

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