孫元廣，史海歐，王 瑩，陳紹寬*

(1.廣州地鐵設(shè)計研究院有限公司，廣州510010；2.北京交通大學(xué)城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044)

0 引言

城市軌道交通以大容量、快速、可靠的優(yōu)勢成為解決城市中心交通及通勤出行問題的重要方式.城市中心區(qū)軌道交通線路的客流吸引區(qū)功能布局完善、發(fā)展較為成熟，客流量處于較高水平，站間距較短，運(yùn)營組織基本采用站站停方案；而服務(wù)遠(yuǎn)距離通勤的軌道交通線路較長，客流時空分布明顯不均衡，站站停方案導(dǎo)致乘客旅行時間過長且易與客流狀況的匹配程度不足.隨著城郊出行“一小時通勤圈”成為眾多大城市的發(fā)展目標(biāo)，研究多交路下的快慢車開行方案對縮短乘客出行時間、促進(jìn)運(yùn)能與需求匹配、節(jié)約運(yùn)營成本具有重要意義[1].

近年國內(nèi)外學(xué)者開展了較多快慢車開行方案相關(guān)研究，例如Ulusoy[2]，趙欣苗[3]將乘客乘車方案分為快車直達(dá)、快車與慢車換乘、慢車直達(dá)、慢車與快車換乘4種情況，利用Logit模型進(jìn)行客流分配，對快慢車開行方案展開研究.Lin[4]以列車在時間軸和空間軸上的停站選擇作為決策變量，并考慮乘客在各列車分布情況，以運(yùn)營成本最小化為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行模型構(gòu)建.研究快慢車開行方案的既有成果在分析乘車方案的選擇時多采用非平衡客流分配模型，此類模型流程清晰、計算簡便，但與平衡分配模型相比無法較為精確地反映乘客分布的實(shí)際情況.此外，對多交路下快慢車開行方案的優(yōu)化問題也有待深入研究.

本文通過建立乘客換乘網(wǎng)絡(luò)及搜索有效路徑方法，形成乘車方案備選集反映乘客的乘車選擇行為；構(gòu)建雙層規(guī)劃模型實(shí)現(xiàn)快慢車開行方案與客流分配結(jié)果的相互協(xié)調(diào)優(yōu)化，以滿足出行時間、客流時空分布、線路能力等約束下的出行乘客時間最小和列車周轉(zhuǎn)時間最低.最后以廣州地鐵14號線為背景展開案例研究.

1 快慢車開行方案優(yōu)化模型

站站停方案中列車在沿途各站均停車，旅行速度沒有差異，乘客在出行時不需要對列車進(jìn)行比選及中途換乘.快慢車方案中，同一線路有快車與慢車同時服務(wù)，乘客出行時存在多種乘車方案可選擇；快車與慢車之間存在競爭關(guān)系，線路客流分布情況與站站停開行方案不同，線路能力計算更為復(fù)雜.為保證線路運(yùn)輸能力與乘客出行需求在時空上有效匹配，本文建立雙層規(guī)劃模型[5]，上層規(guī)劃優(yōu)化列車開行方案，下層規(guī)劃確?？土髟诮o定開行方案下的有效匹配，實(shí)現(xiàn)城市軌道交通多交路條件下快慢車開行方案優(yōu)化的目標(biāo).

1.1 上層規(guī)劃模型建立

設(shè)1條軌道交通線路上共存在n個車站，編號為1,2,…,n；用j指代沿線車站，那么j站至j+1站間區(qū)間對應(yīng)編碼為j.具體符號定義如下：

n——軌道交通線路車站數(shù)量；

W——交路方案總數(shù)；

C——列車額定載客量；

M——極大值，取100 000；

G,G1,G2——開行方案數(shù)量、快車開行方案數(shù)量及慢車開行方案數(shù)量上限值；

——交路wi下，上行快、慢車發(fā)車頻率；

——交路wi下，下行快、慢車發(fā)車頻率；

——交路wi下，上行快、慢車在j站是否停站的0,1變量；

——交路wi下，下行快、慢車在j站是否停站的0,1變量；

λij——交路wi是否包含區(qū)間j的0,1變量；

πij——交路wi是否包含車站j的0,1變量；

εi1,εi2——交路wi是否開行快、慢車的0,1變量；

——弧a是否屬于由上行快、慢車方案構(gòu)造的在車弧集合的0,1變量；

——弧a是否屬于由下行快、慢車方案構(gòu)造的在車弧集合的0,1變量；

Fmax——規(guī)劃時間段內(nèi)最大發(fā)車頻率；

Fmin——規(guī)劃時間段內(nèi)最小發(fā)車頻率；

tind——列車起動附加時分；

tina——列車停車附加時分；

ttb——列車折返時間；

——列車在區(qū)間j的運(yùn)行時分；

——列車在車站j的停站時間；

ziq,zq——交路wi下和總快慢車開行比例是否為θq，是取1，否取0；

θiq,θq——快慢車開行比例，一般取整數(shù)比，如1∶1,1∶2….

本文模型的決策變量為列車交路、停站方案及開行頻率.由于軌道交通線路的交路方案有限，因此交路備選集可視為已知條件.設(shè)備選交路方案集合為Ω，有wi∈Ω,i=1,…,W，wi為備選交路，對應(yīng)有wi1，wi2分別代表交路終點(diǎn)站編號，為便于表示，假設(shè)wi1＜wi2,?wi.y1i,j表示交路wi下上行方向開行快車的停站方案；yi2,j表示交路wi下上行方向開行慢車的停站方案，顯然yi2,j=1.則有

式(1)和式(2)表示如果交路wi開行快車，則快車在各站(除終點(diǎn)站)均有可能不停車；式(3)表示如果wi開行慢車，則在交路內(nèi)每站都停車；式(4)確保各站至少被1類列車服務(wù).

線路最多包含開行方案種類數(shù)為

線路最多包含快車方案種類數(shù)為

線路最多包含慢車方案種類數(shù)為

若備選交路開行列車，則對應(yīng)開行頻率大于0.對快車和慢車方案分別有

規(guī)劃時段內(nèi)任意區(qū)間的通過能力約束可表示為

假設(shè)上下行開行方案一致，對于下行方案存在：

列車車底數(shù)由發(fā)車頻率和列車周轉(zhuǎn)時間獲得，需滿足

此外，根據(jù)下層模型客流分配結(jié)果對不同列車在各區(qū)間的載客量進(jìn)行計算，獲得各斷面客流須低于各列車輸送能力.

考慮線路采用快慢車開行方案旨在節(jié)省沿線站點(diǎn)間出行時間，結(jié)合下層規(guī)劃模型，可獲得乘客在指定車站r與s之間的出行時間約束為

快慢車開行方案通常將快慢車開行比例設(shè)為整數(shù)比，考慮交路內(nèi)僅開行快車或慢車的情況，對于快慢車比例有

區(qū)間的快慢車開行比例也應(yīng)保持整數(shù)比關(guān)系，類似有:

式(24)為決策變量取值范圍.

優(yōu)化目標(biāo)可從乘客出行、企業(yè)運(yùn)營及兩者綜合優(yōu)化角度分別考慮，以乘客出行時間為優(yōu)化目標(biāo)時，目標(biāo)函數(shù)為

以列車周轉(zhuǎn)時間作為優(yōu)化目標(biāo)時，目標(biāo)函數(shù)為

開行方案進(jìn)行綜合優(yōu)化時，c1,c2表示兩個子目標(biāo)所占權(quán)重，此時目標(biāo)函數(shù)為

1.2 下層規(guī)劃模型建立

乘客出行時一般需要經(jīng)過在始發(fā)站等待列車、在車運(yùn)行、在車停站、換乘列車及到達(dá)目的車站5個過程，因而可將5個過程視為網(wǎng)絡(luò)圖中的弧，結(jié)合線路、交路及停站方案等信息，可計算各過程耗費(fèi)的時間，對弧權(quán)進(jìn)行賦值，由弧連接而成的路徑即為乘車方案.由于線路條件、列車開行方案均能通過點(diǎn)、弧的連接及弧權(quán)體現(xiàn)在換乘網(wǎng)絡(luò)中，因此應(yīng)用該換乘網(wǎng)絡(luò)能夠研究多交路、多停站方案下的客流分配問題.如線路有A～E這5個車站，上層規(guī)劃所得快慢車方案中快車?？緼、C、E共3站，慢車站站停車，構(gòu)造出如圖1所示的換乘網(wǎng)絡(luò)后，通過客流分配模型即可計算乘客的空間分布.

圖1 乘客換乘網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Passenger transfer network

乘客在出行過程中總是選擇自身認(rèn)知內(nèi)的出行廣義費(fèi)用最小的路徑，但實(shí)際情況中由于信息缺乏和熟悉程度的差異性，其對每條路徑的廣義費(fèi)用判斷存在差異，導(dǎo)致選擇結(jié)果不同.路徑的廣義費(fèi)用可視為一個隨機(jī)變量，本文應(yīng)用Logit模型[7]，建立確定快慢車開行方案下的隨機(jī)用戶均衡配流模型.

式中：r——起始車站；

s——終到車站；

qrs——在起點(diǎn)r至終點(diǎn)s出行的客流量；

xa——網(wǎng)絡(luò)弧a上的客流量；

ta——弧a上的廣義費(fèi)用，由非擁擠狀態(tài)下耗費(fèi)時間求得；

——起點(diǎn)r至終點(diǎn)s的選擇路徑k出行的客流量；

——0,1變量；θ——非負(fù)參數(shù).

2 模型求解算法

根據(jù)Ben-Ayad和Blair等的研究，雙層規(guī)劃是一個NP-Hard問題，不存在多項(xiàng)式求解算法.現(xiàn)有的雙層規(guī)劃模型求解方法一般包括解析法及啟發(fā)式方法，解析法對模型形式要求較高，如要求模型為線性規(guī)劃[8]、凸規(guī)劃[9]、二次規(guī)劃[10]等，缺少對一般非線性雙層規(guī)劃的算法研究.在實(shí)際應(yīng)用中，求解雙層規(guī)劃的算法一般多采用啟發(fā)式算法[11].

本文應(yīng)用粒子群嵌套優(yōu)化算法進(jìn)行模型求解，算法主體為粒子群算法，相繼平均法(MSA算法)嵌套在主體算法中用于求解給定上層決策變量(即快慢車開行方案)的下層規(guī)劃問題(即客流分配問題)；下層規(guī)劃問題獲得客流分配結(jié)果后，又反饋至上層規(guī)劃模型作為評估粒子群的參數(shù)，通過粒子群的優(yōu)化及上下層規(guī)劃的反復(fù)傳遞，最終獲得最優(yōu)的快慢車開行方案.具體算法基本步驟如圖2所示.

3 案例研究

本文以廣州市地鐵14號線為案例研究對象，該線整體呈南北走向，主要服務(wù)廣州市中心及以南的郊區(qū)[12].為帶動沿線各組團(tuán)開發(fā)建設(shè)，項(xiàng)目設(shè)計要求江浦站至2號線紀(jì)念堂站、3號線體育西路站的出行時間小于1 h；要求江浦站至嘉禾望崗站出行時間應(yīng)小于35.8 min.考慮到該線線路長，沿線客流分布不均勻，站站停開行方案(如圖3所示)難以滿足設(shè)計要求，此外，運(yùn)能利用也不夠充分.本文應(yīng)用所建模型開展該線路大小交路條件下快慢車開行方案優(yōu)化研究.

圖2 粒子群嵌套優(yōu)化算法步驟Fig.2 Frame of nested PSO

圖3 站站停開行方案Fig.3 All-stop train operation plan

3.1 快慢車方案與站站停方案對比

應(yīng)用粒子群算法求解以優(yōu)化乘客出行時間為目標(biāo)的快慢車開行方案雙層規(guī)劃模型，所得快慢車開行方案與站站停方案相比，江浦至嘉禾望崗站的站間出行時間從43.3 min縮短至32.34 min，對應(yīng)目標(biāo)值為1.5744E+06.求解算法迭代收斂曲線如圖4所示，優(yōu)化后的開行方案如圖5所示.將快慢車開行方案乘客總出行時間與站站停方案進(jìn)行對比，站站停方案客流分配評估所得目標(biāo)值為1.6614E+06.可知，快慢車開行方案乘客出行時間與站站停方案相比降低了5.24%.

與站站停方案相比，快慢車開行方案最明顯的特點(diǎn)是列車的停站次數(shù)減少.對快車站出發(fā)的乘客而言，其出行過程中在車時間減少，出行時間降低；而另一方面，慢車站出發(fā)的乘客候車時間增加，出行時間也會有所上升.為進(jìn)一步探討快慢車方案對乘客出行時間的影響，對兩方案的組團(tuán)出行時間進(jìn)行分析.將組團(tuán)劃分為市區(qū)組團(tuán)(廣州火車站—鶴南)、白云北組團(tuán)(嘉禾望崗—黎家塘)、從化組團(tuán)(太平—街口)、從化北組團(tuán)(宣星運(yùn)動谷—養(yǎng)生谷)及支線組團(tuán)(知識城北—鎮(zhèn)龍北).組團(tuán)平均出行時間結(jié)果如表1所示.

由表1可知，快慢車開行方案與站站停方案相比在市區(qū)組團(tuán)至從化組團(tuán)、白云北組團(tuán)及支線組團(tuán)等遠(yuǎn)距離出行時間方面具有優(yōu)勢.以支線組團(tuán)至市區(qū)組團(tuán)為例，快慢車開行方案出行時間節(jié)約近16.79%，從化北及從化組團(tuán)至市區(qū)組團(tuán)的出行時間分別減少5.82%與4.29%.近距離出行方面，快車節(jié)省的站間運(yùn)行時間少于等候列車增加的時間，例如，市區(qū)組團(tuán)內(nèi)部、市區(qū)組團(tuán)至白云北組團(tuán)間的出行時間與站站停方案相比分別增加19.77%和2.93%.

總體上，快慢車開行方案能夠有效降低大部分組團(tuán)間乘客的出行時間，但主要以遠(yuǎn)距離出行為主.主要原因是快慢車方案優(yōu)化了列車停站方案，使遠(yuǎn)距離出行的乘客乘坐快車節(jié)約了大量站間出行時間.

圖4 迭代收斂曲線Fig.4 Iteration of objective value

圖5 以乘客出行時間為優(yōu)化目標(biāo)的快慢車開行方案Fig.5 Local/express train operation plan for passenger travelling time

表1 開行方案組團(tuán)平均出行時間對比Table 1 Travelling time between groups of two train operation plans (min)

3.2 不同目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化對比

本文進(jìn)一步對乘客出行時間和列車周轉(zhuǎn)時間兩個優(yōu)化目標(biāo)下快慢車開行方案進(jìn)行分析，各方案的優(yōu)化結(jié)果如表2所示.乘客出行時間及列車周轉(zhuǎn)時間在快慢車方案下均有不同程度的降低，其中以優(yōu)化乘客出行時間為目標(biāo)時，快慢車方案相比站站停方案節(jié)約5.24%的出行時間；而以優(yōu)化列車周轉(zhuǎn)時間為目標(biāo)時，快慢車方案相比站站停方案節(jié)約20.37%的列車周轉(zhuǎn)時間.

圖6和圖7分別是以列車周轉(zhuǎn)時間為優(yōu)化目標(biāo)及綜合優(yōu)化獲得的開行方案.

如圖6和圖7所示，以優(yōu)化乘客出行時間為目標(biāo)時，所得開行方案數(shù)量較少，主要因?yàn)殚_行方案數(shù)量少，乘客對應(yīng)的等待時間也降低，求解會向該方向優(yōu)化；而以優(yōu)化列車周轉(zhuǎn)時間為目標(biāo)時，所得開行方案出現(xiàn)大小交路，主要是大小交路會縮短列車走行公里數(shù)，從而減少列車周轉(zhuǎn)時間；進(jìn)行綜合優(yōu)化時，是對上述兩類優(yōu)化方向的相結(jié)合，考慮了開行方案數(shù)量對乘客等待時間的影響，同時也減少了列車走行距離.

表2 不同目標(biāo)函數(shù)下的優(yōu)化結(jié)果Table 2 Targets of train operation plans for different objective functions

圖6 以列車周轉(zhuǎn)時間為優(yōu)化目標(biāo)的快慢車方案Fig.6 Local/express train operation plan for train turnaround time

圖7 進(jìn)行綜合優(yōu)化的快慢車方案Fig.7 Local/express train operation plan for integrated optimization

4 結(jié)論

本文建立了多交路條件下的快慢車開行方案雙層規(guī)劃模型，其中下層規(guī)劃模型以構(gòu)建換乘網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，解決了給定開行方案下的客流分配問題；上層模型通過客流分配結(jié)果優(yōu)化快慢車開行方案.設(shè)計粒子群算法求解所建優(yōu)化模型，以廣州地鐵14號線為例開展案例研究.結(jié)果表明：與站站停方案相比，快慢車方案能有效縮短長距離出行時間、優(yōu)化乘客出行選擇.對比不同優(yōu)化目標(biāo)下的快慢車開行方案結(jié)果可知，以乘客出行時間為優(yōu)化目標(biāo)的模型向開行方案數(shù)量較少的方向優(yōu)化，而以列車周轉(zhuǎn)時間為優(yōu)化目標(biāo)的模型求解過程中則傾向于多交路方案.

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