符鋅砂，鄭 偉，王曉飛

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州510641)

0 引 言

道路交通是一個十分復(fù)雜的系統(tǒng)，車輛在行駛的過程中受到駕駛員、路況環(huán)境和交通狀態(tài)等多個因素的共同影響.車輛運行速度具有相對的規(guī)律性和穩(wěn)定性，使其成為描述道路交通流最重要的參數(shù)之一，因此針對運行車速分布特征的研究一直是交通流領(lǐng)域研究的熱點.研究各交通流狀態(tài)下斷面速度分布規(guī)律能為運行速度V85的選取、交通運行限速管理和交通狀態(tài)判別等方面提供重要的理論參考.

關(guān)于交通流斷面速度分布的研究，最早始于19世紀(jì)60年代，Leong[1]通過對兩條雙向鄉(xiāng)村公路中31個位置的實地“自由”速度測量，分析得到速度近似呈現(xiàn)正態(tài)分布特征；隨后Mclean[2]從鄉(xiāng)村公路車頭時距和排隊模型的角度進(jìn)行研究，也驗證了這個觀點.Haight等[3]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究認(rèn)為，伽馬分布或?qū)?shù)正態(tài)分布比正態(tài)分布能更好地擬合自由流狀態(tài)下的速度分布.

早期傳統(tǒng)的交通量研究中，因速度測量設(shè)備及分析手段的限制，大多數(shù)研究成果都基于對鄉(xiāng)村公路或二級公路的小樣本速度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到交通流斷面速度近似呈現(xiàn)正態(tài)分布特征的結(jié)論.隨著交通仿真和數(shù)據(jù)分析技術(shù)的進(jìn)步，近年來王琪等[4]分析了不同車頭間距下的交通流速度分布，并用對數(shù)正態(tài)分布和負(fù)指數(shù)分布擬合了交通流通暢和阻塞狀態(tài)下的數(shù)據(jù).考慮其數(shù)據(jù)全部由美國NGSIM交通仿真系統(tǒng)得到，與現(xiàn)場真實實測情況可能存在差異，因而結(jié)論缺乏可靠性與準(zhǔn)確性.徐程[5]采用非參數(shù)估計中的高斯混合模型描述了城市道路凌晨人為定義識別的自由流狀態(tài)下，兩種車型混合運行情況下的斷面速度分布.

現(xiàn)有的對交通流分析的研究，多局限于特定的密度—車速假設(shè)關(guān)系和非參數(shù)估計模型，回歸擬合數(shù)據(jù)多是交通仿真軟件所得數(shù)據(jù)或人為定義識別的不連續(xù)觀測數(shù)據(jù)，主要針對人為劃分的自由流或擁擠流單個交通狀態(tài)進(jìn)行正態(tài)分布和負(fù)指數(shù)分布等確定性經(jīng)驗函數(shù)的分布擬合分析.而車輛在實際的行駛過程中，車輛會受到環(huán)境、事故等外界的諸多干擾，理想的狀態(tài)幾乎不存在，往往呈現(xiàn)自由流、穩(wěn)定流和擁擠流等多種流態(tài).該情況在現(xiàn)有的模型中沒有得到充分的考慮，假設(shè)關(guān)系較片面，回歸數(shù)據(jù)不全面，導(dǎo)致擬合的模型不具備普遍性和精確性.

綜上所述，根據(jù)交通流速度分布特征，采用科學(xué)合理的方法對交通流不同運行狀態(tài)進(jìn)行劃分，并研究大樣本連續(xù)性觀測交通流速度數(shù)據(jù)的分布特征，建立經(jīng)驗分布模型，顯得尤為必要.

1 擬合分布模型的選取

為分析比較各擬合方法的優(yōu)缺點及適用性，本文選取非參數(shù)估計中的高斯多峰擬合和參數(shù)估計中的正態(tài)分布及三參數(shù)Weibull(以下簡稱Weibull-3)分布模型對交通流速度進(jìn)行擬合分析.其中，Weibull分布最早由瑞典工程師Waloddi Weibull于1951年提出并逐漸發(fā)展而來，根據(jù)參數(shù)個數(shù)已有一參數(shù)、二參數(shù)和三參數(shù)Weibull分布.三參數(shù)Weibull分布相比于傳統(tǒng)的正態(tài)分布具有更強(qiáng)的可塑性和靈活性，能很好地擬合各類實驗數(shù)據(jù)，目前廣泛應(yīng)用于描述風(fēng)速分布、元件失效概率、材料疲勞強(qiáng)度和壽命分析、預(yù)測技術(shù)變革及各類可靠性分析工程中，而在交通領(lǐng)域鮮有應(yīng)用.

Weibull-3函數(shù)表達(dá)式為

式中：x≥γ≥0，β＞0，η＞0

概率密度函數(shù)表達(dá)式為

式中：β為形狀參數(shù)，決定了函數(shù)曲線的形狀，使得Weibull-3分布具有很強(qiáng)的可塑性、適用性和靈活性.當(dāng)β＜1時，函數(shù)曲線圖形與指數(shù)分布函數(shù)圖形相似；當(dāng)3＜β＜4時，圖形趨近于Normal分布.η為尺度參數(shù)，決定了函數(shù)曲線的扁平度和跨度.γ為位置參數(shù)，決定了函數(shù)曲線圖形沿x軸正方向的起始位置，隨著γ取值的增大，函數(shù)曲線沿x軸正方向平移；當(dāng)γ=0時，即是常指的二參數(shù)Weibull分布(以下簡稱Weibull-2).

2 Weibull-3參數(shù)估計方法

現(xiàn)有的Weibull-3分布的參數(shù)估計方法主要有最小二乘法、極大似然法、參數(shù)擬合割線法、Bayes統(tǒng)計分析法和相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法等，這些方法針對不同樣本容量的適應(yīng)能力和計算精度各不相同，但參數(shù)的整個求解過程或十分復(fù)雜繁瑣，或難以直接適用于交通領(lǐng)域.例如，極大似然法(Maximum Likelihood Estimate,MLE)精度高，但Weibull-3分布的似然方程組是非線性的，結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，需用Newton-Raphson迭代等方法求解聯(lián)立的3個超越方程，常因Weibull-3分布不滿足正則條件而不成立，導(dǎo)致極大似然估計有多個解或不存在；而最小二乘法在直接估計非線性靜態(tài)模型參數(shù)時，常因初值的選擇不當(dāng)而導(dǎo)致迭代過程發(fā)散，無法得到最終結(jié)果或使得結(jié)果收斂到局部最優(yōu)[6-7].

針對Weibull-3分布模型在交通流速度分布估計中的應(yīng)用，本文提出一種新的算法模型，先用極大似然法精確估計Weibull-2參數(shù)，并結(jié)合Weibull分布函數(shù)的圖形物理性質(zhì)，為Weibull-3參數(shù)估計提供迭代初值和搜索起點，再利用基于Levenberg Marquardt迭代的非線性最小二乘法，建立MLELM算法模型，收斂得到Weibull-3分布的解.

2.1 Weibull-2極大似然估計

設(shè)x1,x2,…,xn為總體服從X～Weibull(η,β)的N個獨立樣本，根據(jù)極大似然估計基本原理，構(gòu)造Weibull-2似然函數(shù)為

對似然函數(shù)式(3)進(jìn)行取對數(shù)運算，即

再求對數(shù)似然函數(shù)式(4)關(guān)于參數(shù)β和η的偏導(dǎo)數(shù)，即

考慮到式(5)的復(fù)雜性，若采用常用的求解非線性方程的Newton-Raphson算法求解[8]，令偏導(dǎo)數(shù)為0，難以直接解出Weibull-2參數(shù)的估計值，本文接著對式(5)作一系列相應(yīng)變換[9].

先令式(5)中第2式為0，則有

將式(6)變形后，有

將式(7)帶入式(4)后作相應(yīng)變換，即

經(jīng)過上述變換，式(8)簡化為只與β有關(guān)的函數(shù)，可以通過數(shù)值計算直接找出使得極大似然函數(shù)取最大值的β，再代入式(7)計算出η，最后得到Weibull-2的參數(shù)值β0和η0.

2.2 基于Levenberg Marquardt迭代的非線性最小二乘法

對Weibull-3的分布函數(shù)式(1)兩次取對數(shù)后，線性變換為

令b=-βlnη.則問題歸結(jié)為確定一元線性回歸模型y=ax+b的參數(shù)a和b，建立最小二乘法的約束準(zhǔn)則為

考慮Weibull-3是一種非線性靜態(tài)模型，本文采用Levenberg Marquardt(LM)算法進(jìn)行迭代計算，將Weibull-2分布的極大似然估計得到的參數(shù)值和位置參數(shù)值γ0=0作為Weibull-3迭代搜索的初始值θ0(β0,η0,γ0)，利用梯度尋找使得函數(shù)值最小的參數(shù)向量.LM迭代算法結(jié)合了高斯—牛頓法和最速下降法，同時具備前者的局部收斂性和后者的全局特性[10-11]，由自適應(yīng)調(diào)節(jié)的阻尼因子實現(xiàn)收斂，迭代次數(shù)少、迭代速度高、收斂快、擬合結(jié)果精度高，且不容易收斂于局部極值，求解步驟簡單，對樣本容量的適應(yīng)能力大[12].

2.3 MLE-LM算法模型的建立

目標(biāo)：對函數(shù)關(guān)系x=f(θ)，給定f(·)與觀測向量x，估計θ(β,η,γ)值.

算法步驟：

Step 1設(shè)置迭代初始點θ0(β0,η0,γ0=0)，迭代停止閾值ε，計算ε0=‖x-f(θ0)‖，k=0，λ0=10-3，v=10(也可以是其他大于1的數(shù)).

Step 2計算 Jacobi矩陣Jk和和，構(gòu)造增量正規(guī)方程

Step 3求解增量正規(guī)方程得到δk.

(1)如果‖x-f(θk+δk) ‖＜δk，則令θk+1=θk+δk，若‖δk‖＜ε，停止迭代，輸出結(jié)果；否則令λk+1=v?λk，返回Step2.

(2)如果‖x-f(θk+δk)‖≥δk，則令λk+1=v?λk，重新解正規(guī)方程得到δk，返回(1).

2.4 分布擬合檢驗

對概率密度函數(shù)分布擬合結(jié)果常采用誤差平方和(SSE)、確定系數(shù)(R-square)、殘差平方和自由度(DFE)、調(diào)整自由度以后的殘差的平方(Adj R-square)和標(biāo)準(zhǔn)差(RMSE)等指標(biāo)進(jìn)行檢驗.

(1)SSE，擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對應(yīng)點的誤差的平方和.

因而，SSE越接近于0，說明模型選擇和擬合得越好.

(2)R-square，SSR和SST的比值.

式中：SSR為預(yù)測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)均值之差的平方和，；SST為原始數(shù)據(jù)和均值之

差的平方和

“確定系數(shù)”是通過數(shù)據(jù)的變化來表征一個擬合的好壞，通過表達(dá)式可知其正常取值范圍為[0，1]，越接近1，方程的變量對y的解釋能力越強(qiáng)，模型對數(shù)據(jù)擬合得也越好.

(3)DFE，計算某一統(tǒng)計量時，取值不受限制的變量個數(shù).

DFE=數(shù)據(jù)點個數(shù)n-被限制的變量個數(shù)k-1

(4)Adj R-square，數(shù)值越接近1，說明曲線的擬合效果越好.

式中：總體平方和自由度DFT=數(shù)據(jù)點個數(shù)n-1.

(5)RMSE，方差(MSE)的平方根，而MSE是預(yù)測數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對應(yīng)點誤差的平方和的均值，因而RMSE越接近0，擬合效果越好.

3 實例分析

本文實例分析數(shù)據(jù)來源于廣東省某高速公路微波檢測器于2016年2月收集的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)間隔為1 min，原始交通參數(shù)數(shù)據(jù)主要包括交通流量、平均速度和占有率3個參數(shù)及車流方向、車道數(shù)、大型車數(shù)量等相關(guān)信息.對原始數(shù)據(jù)中的丟失數(shù)據(jù)和故障數(shù)據(jù)處理后，本文最終分析數(shù)據(jù)39 696組.使用SPSS軟件對速度數(shù)據(jù)做描述性統(tǒng)計并作頻率直方圖，如表1和圖1所示.

表1 速度數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計表Table 1 The descriptive statistics of velocity data

圖1 速度數(shù)據(jù)頻率分布直方圖Fig.1 The histogram of velocity frequency distribution

分析圖1可以發(fā)現(xiàn)，速度總體的分布在0～30km/h、30～60 km/h及60～120 km/h之間呈現(xiàn)3個明顯波峰，本文假設(shè)實測速度可能在同一個交通狀態(tài)下呈現(xiàn)如正態(tài)分布或Weibull分布特征.用二分K-FCM結(jié)合算法對速度、流量和占有率3個參數(shù)的數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類處理，將運行車速分為自由流、穩(wěn)定流和擁擠流3種交通狀態(tài).為消除變量間量綱關(guān)系的影響，已將各維數(shù)據(jù)按比例歸一化處理對應(yīng)，聚類結(jié)果和各交通流狀態(tài)數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計特征如圖2和表2所示.

圖2 二分K-FCM算法交通流狀態(tài)聚類三維結(jié)果Fig.2 The 3D view of bisecting K-FCM clustering algorithm results for traffic flow

表2 各交通流狀態(tài)下速度數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計表Table 2 Descriptive statistics of velocity data in each traffic flow (km/h)

從表2中可以看出，自由流、穩(wěn)定流和擁擠流數(shù)據(jù)眾數(shù)分別為94 km/h、45 km/h和15 km/h，恰好近似對應(yīng)圖1中3個速度頻率分布波峰速度值.再考慮3個交通流狀態(tài)速度數(shù)據(jù)峰度和偏度值均接近于0，故初步估計各交通流狀態(tài)下速度分布均呈現(xiàn)正態(tài)分布或Weibull-3分布.對各交通流狀態(tài)車速數(shù)據(jù)用MLE-LM算法模型進(jìn)行Weibull-3分布擬合，并進(jìn)行正態(tài)分布擬合和高斯多峰擬合，在95%的置信水平下，其結(jié)果如圖3和表3所示.

圖3 各交通流狀態(tài)車速分布擬合結(jié)果Fig.3 Fitting results of vehocity distribution in each traffic flow

擬合結(jié)果表明：

(1)高斯多峰非參數(shù)估計的自由度均小于參數(shù)估計的自由度，表明非參數(shù)估計擬合被限制的變量個數(shù)更多.考慮非參數(shù)估計過程只是運用核密度函數(shù)和窗寬逐步逼近，找出模型，對所解釋變量的分布狀況不做具體規(guī)定，沒有固定的模型形式，因而難以反映數(shù)據(jù)的分布特征.

表3 各交通流狀態(tài)車速分布擬合結(jié)果Table 3 Fitting results of vehocity distribution in each traffic flow

(2)Weibull-3分布、正態(tài)分布和高斯多峰非參數(shù)估計均能很好地擬合各個交通流狀態(tài)下的車速分布.其中，高斯多峰非參數(shù)估計的擬合結(jié)果Adj R-square值均達(dá)到了0.999以上，擬合效果非常好；而Weibull-3分布的擬合效果均比正態(tài)分布好，表明相比于正態(tài)分布，各交通流狀態(tài)下的速度分布更服從Weibull-3分布模型.

(3)自由流和擁擠流狀態(tài)下的車速Weibull-3分布擬合結(jié)果Adj R-square分別為0.997 4和0.970 9，擬合效果非常好，而穩(wěn)定流狀態(tài)下擬合結(jié)果Adj R-square值為0.712 5，也大于0.7，可總體認(rèn)為不同交通流狀態(tài)下速度分布基本服從Weibull-3分布.

綜合上述分析，可認(rèn)為自由流、穩(wěn)定流和擁擠流狀態(tài)下車速分布均服從Weibull-3分布模型，其概率密度函數(shù)表達(dá)式如下：

①自由流.

②穩(wěn)定流.

③擁擠流.

4 結(jié) 論

本文根據(jù)運行車速總體分布特征，將交通流狀態(tài)聚類劃分為自由流、穩(wěn)定流和擁擠流3種交通狀態(tài)，并對各交通流狀態(tài)速度數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn)，Weibull-3分布比正態(tài)分布能更好地擬合各交通流狀態(tài)下的速度分布，且比高斯多峰非參數(shù)估計法更能體現(xiàn)速度數(shù)據(jù)的分布特征.因而總體認(rèn)為，自由流、穩(wěn)定流和擁擠流均服從Weibull-3分布，為道路交通設(shè)計及安全評價提供理論參考.

針對復(fù)雜的Weibull-3分布參數(shù)估計求解問題，本文設(shè)計的MLE-LM算法綜合利用了Weibull-3函數(shù)圖形的物理特征、極大似然法精度高和LM迭代收斂快的優(yōu)點，迭代次數(shù)少，擬合結(jié)果精度高，且不容易收斂于局部極值，求解步驟簡單，對樣本容量的適應(yīng)能力大.一方面，避免了Weibull-3直接用極大似然法求解時常由于不滿足通常正則條件而不存在或出現(xiàn)多個解的問題或使得結(jié)果收斂到局部最優(yōu)的問題；另一方面由Weibull-2極大似然估計給定的精確初值，解決了最小二乘法初值選取問題，避免了最小二乘迭代發(fā)散的情況.未來還需要在以下兩個方面進(jìn)一步開展研究：①完善交通流狀態(tài)劃分情況，使數(shù)據(jù)的劃分更符合實際情況；②進(jìn)一步研究穩(wěn)定流狀態(tài)下的速度分布特征.

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