龐明寶，刁化堯，趙冰心，黃玉滿

(河北工業(yè)大學土木與交通學院，天津300401)

0 引 言

協(xié)調(diào)控制是連續(xù)交通流道路抑制擁堵、提高通行效率的最有效措施，特別是上下班高峰需求較大時段的城市快速路[1-2].協(xié)調(diào)控制分為匝道與主線間、多入口匝道間、快速路與其他道路間等多種方式.其中，多入口匝道協(xié)調(diào)效果最明顯，其控制方法和算法分為：建立在OD預測基礎上采用非線性規(guī)劃模型優(yōu)化求解的一體化匝道控制及擴展的雙層規(guī)劃算法，該方法存在模型復雜、求解繁瑣，依賴于預測精度、不具備反饋機制，難于大規(guī)模網(wǎng)絡應用等不足；基于現(xiàn)代控制、智能控制的反饋控制方法，也存在計算量大、難于大規(guī)模網(wǎng)絡應用等不足；基于經(jīng)驗包括 Helper、Bottleneck、CORDIN、Zone、Swarm等算法在內(nèi)的啟發(fā)式協(xié)調(diào)控制方法[1]，技術復雜性低、可實施性好，但存在依賴經(jīng)驗、難于應用于大規(guī)模網(wǎng)絡等問題；大系統(tǒng)分解協(xié)調(diào)算法，可應用于大規(guī)模網(wǎng)絡，但核心在分層遞解協(xié)調(diào)算法.同時這些研究均建立在已確定出協(xié)調(diào)控制信號施加范圍基礎上，均不涉及復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)理論及其同步控制.

研究已經(jīng)證明道路交通是復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)，而利用復雜網(wǎng)絡理論及同步等解決交通問題是一項新課題[3].在城市快速路協(xié)調(diào)控制方面，其目標是當系統(tǒng)出現(xiàn)擁堵即接近臨界密度時通過一些匝道的協(xié)調(diào)調(diào)節(jié)，使密度與期望密度的偏差最小，實現(xiàn)系統(tǒng)有序達到抑制交通擁堵的目的，其與復雜網(wǎng)絡同步的目標相一致.同時復雜網(wǎng)絡的牽制控制[4]，即部分節(jié)點實施控制與協(xié)調(diào)控制中在大多范圍內(nèi)施加協(xié)調(diào)控制信號在思想上是相一致的.這是因為城市快速路的相對封閉性使擁堵傳播的速度非?？欤嫌问苡绊懧范诬囕v可供選擇的路徑非常有限，影響范圍會更廣，若對擁堵不予理睬或縮小控制范圍，車輛不能迅速通過，可能造成長時間大范圍的擁堵；而若擴大管控范圍，使很多車輛轉移到城市一般道路上，造成這些本來已擁擠的道路更加擁堵，也不是交通管理的目的.若能采用牽制控制的思想方法確定出對哪些匝道施加控制信號，將為協(xié)調(diào)控制取得最佳效果提供理論依據(jù).基于此，本文以城市快速路為研究對象，采用元胞傳輸模型(Cell Transmission Model,CTM)建立節(jié)點耦合的復雜網(wǎng)絡模型，以同步為目標設計多入口匝道協(xié)調(diào)控制器，推導系統(tǒng)穩(wěn)定性條件，通過具體應用仿真實驗予以驗證.

1 城市快速路節(jié)點耦合模型

1.1 城市快速路CTM

采用CTM來映射研究對象——城市快速路的非線性交通流過程[5]，各參數(shù)和變量為：f(m-1)m(t)為t時從元胞m-1流入m的車輛數(shù)，sm(t)和rm(t)分別為元胞m在t時發(fā)送和接收能力(veh/h)；vf為自由流速度，km(t)為元胞m在t時密度，Qm為元胞m通行能力，ω為反向波速，kJ為擁堵密度；fpm(t)為t時從入口p流入主線元胞m的車輛數(shù)，fp(m-1)m(t)為t時進入元胞m的總車輛數(shù)，α為合并系數(shù)，med表示取中間值；fm(m+1)o(t)為t時流出元胞m的總車輛數(shù)，β為分離系數(shù)，fmo(t)為t時從元胞m流入相連出口元胞o的車輛.各路段連接按CTM要求分為無出入口連接的基本段、有入口融合連接的合流段和有出口分離連接的分流段3種模式，如圖1所示，對于立交橋可看作是3種模式的組合.動力學模型分別為：

圖1 3種連接路段示意圖Fig.1 Transmission relation in three types of connection

(1)基本路段連接間為

(2)融合連接間為

(3)分離連接間為

1.2 快速路節(jié)點耦合模型

將快速路看成由若干節(jié)點組成的大系統(tǒng)，具體節(jié)點結構如圖2所示.圖2為含主線、入口匝道和出口匝道元胞組成的標準形式，對非標準(沒有出口或入口元胞)的節(jié)點，將其入口流量或出口流量設置為0；對立交橋分解后的節(jié)點，考慮到出入口距離較近且有交織區(qū)的存在，其入口匯入和出口分離比例要比正常出入口小一些.

圖2 節(jié)點示意圖Fig.2 Sketch diagram of node

如圖2所示，節(jié)點i內(nèi)部主線元胞m狀態(tài)轉移為：

(1)從入口p流入主線min{s i,p(t),αri,m(t)}.其中，si,p(t)為節(jié)點i主線元胞m相連的入口元胞p在t時的發(fā)送能力，當沒有入口相連時為0；ri,m(t)為元胞m的接收能力.

(2)從主線元胞出口流出βsi,m(t).其中，si,m(t)為元胞m發(fā)送能力，當沒有與之相連的出口時為0；ki,m(t)為元胞m密度.

在不考慮耦合作用(即無主線上的流入流出量)下i節(jié)點狀態(tài)方程為

式中：ε為采樣周期時長(s)；li,m為元胞m長度(km).

式(10)表示節(jié)點i的主線元胞m在下一時刻密度為當前時刻密度加上流入主線的密度減去流出主線的密度.

定義快速路主線元胞i,j(i,j=1,2,…,N)間，若相連，則gij為1；否則，為0.定義，則其鄰接矩陣為

根據(jù)節(jié)點間位置關系，節(jié)點間狀態(tài)變量的耦合函數(shù)矩陣為

得到節(jié)點耦合模型

式中：f為式(10)；a為耦合強度；N為節(jié)點數(shù).

式(13)表示節(jié)點i主線元胞m在t+1時的密度等于上一時刻密度加上從上游節(jié)點流入車輛增加的密度，再減去從本節(jié)點流出車輛減少的密度.

2 基于復雜網(wǎng)絡同步的城市快速路協(xié)調(diào)控制器設計

2.1 協(xié)調(diào)控制策略及控制器算法

依然采用期望密度ρd(臨界密度ρc負鄰域)作為控制信號施加條件，具體施加策略為：當城市快速路部分路段—節(jié)點出現(xiàn)密度大于ρd時，先通過協(xié)調(diào)控制器計算施加控制信號范圍——入口匝道的數(shù)量c；考慮到城市快速路的特點，具體信號施加的匝道為擁堵節(jié)點上游最近的c個；再計算匝道調(diào)節(jié)量，然后施加到確定后的匝道中.當擁堵消散，即這些節(jié)點密度小于ρd時若干步，再取消協(xié)調(diào)控制信號.

考慮到當主線部分節(jié)點出現(xiàn)擁堵時它們的密度較大，其上游節(jié)點可發(fā)送的車輛數(shù)完全由下游能容納車輛數(shù)來決定，故式(11)可寫成

其耦合強度和鄰接矩陣轉化為

對式(14)所述網(wǎng)絡，當t→∞時，有，就稱網(wǎng)絡式(14)達到同步狀態(tài)，其滿足

為使網(wǎng)絡達到同步狀態(tài)，需對網(wǎng)絡中的部分節(jié)點施加控制，即通過對部分入口匝道施加匝道調(diào)節(jié)信號.設選擇前c個節(jié)點作為該牽制控制的被控節(jié)點，則這些被控節(jié)點的狀態(tài)方程為

式中：ui(t)為節(jié)點i中主線元胞密度調(diào)節(jié)變化值，由流量調(diào)節(jié)值轉化過來，即

當i=1,2,…,c時，di＞0；當i=c+1,c+2,…,N時，有di=0.同時考慮到部分節(jié)點需求低于式(19)計算結果的情況，此時取值為

2.2 同步穩(wěn)定性分析與控制器參數(shù)確定

欲使式(11)和式(14)描述的城市快速路達到同步狀態(tài)，必尋找合適的反饋增益陣D.定義為

則系統(tǒng)的同步誤差為

如果此誤差網(wǎng)絡能夠逐漸穩(wěn)定，則系統(tǒng)能達到全局同步.做出如下假設：

假設1[6]存在1個常數(shù)θ，使式(18)所述網(wǎng)絡中的非線性函數(shù)f(ki,m(t))滿足

引理1[7]假設Q(x)=QT(x)、R(x)=RT(x)，對于給定的線性矩陣不等式式(24)與式(25)的條件之一等價.

定理1如果矩陣滿足式(26)，則式(18)所述網(wǎng)絡達到同步狀態(tài).其中D=diag( )d1,d2,…,dc,0,…,0.

證明：考慮Lyapunov函數(shù)，即

由假設 1 可知，f(xi(t))-f((t))≤ θ(xi(t)-(t))，因此該函數(shù)可放縮為

這樣，由引理1可以得到式(26)，定理得證.

顯然當尋找到合適的θ值后，在G和A已知情況下，通過計算可得到合適的反饋增益矩陣D.其中本文選擇擁堵區(qū)段上游若干節(jié)點為牽制節(jié)點，選擇控制節(jié)點數(shù)從1開始不斷增加，針對每一種控制節(jié)點數(shù)采用Matlab中相關工具箱計算，若能得到可行解，這些控制節(jié)點數(shù)即為牽制節(jié)點數(shù)，對應得到反饋增益矩陣.若直到選擇的節(jié)點數(shù)為N才能得到可行解，該控制方式為全局同步.

3 仿真實驗

3.1 實驗對象

采用第1節(jié)所述的CTM和節(jié)點耦合模型來描述天津市快速路西北小環(huán)順時針方向的交通流過程，該段由南倉道、鐵東北路、鐵東路、志成路、西青道、西橫堤、千里堤組成，17個入口匝道、19個出口匝道和7座立交橋，單向4車道，全長21.8 km；所建模型節(jié)點19個，從南倉橋開始按順時針方向編號，各節(jié)點中主線元胞長度(單位：km)：1.08、1.24、0.78、1.05、1.75、1.07、1.27、0.81、1.53、1.34、1.19、1.14、1.10、1.12、1.18、1.08、0.74、1.63、0.67.依據(jù)調(diào)查和本模型仿真所得數(shù)據(jù)進行對比，對模型進行校驗和參數(shù)修正(略)，主要參數(shù)：Q為 1 650 veh/(h·lane)，vf為60 km/h，ω為20 km/h，ρd為 45 veh/(km·lane)，kJ為110 veh/(km·lane)；α取0.4，β取0.3；高峰大車占12%.

仿真實驗取早高峰7:00-8:00，步長10 s，360個周期.采用4種控制方式進行對比：無任何控制信號施加(No-control Signal,NCS)，本牽制控制方式(Pinning Control Signal,PCS)，全局控制(Global Control Signal，GCS)，CORDIN協(xié)調(diào)控制算法(CORDIN)，其中GCS采用第2節(jié)同樣方式推導得到反饋增益矩陣.所有控制方式均采用類似2.1節(jié)的協(xié)調(diào)控制原理作為控制信號施加條件.為進行比較，匝道排隊長度在本研究中設置為無限制.

3.2 單次施加控制信號的效果分析

以1個施加協(xié)調(diào)控制信號過程為例，第9步時節(jié)點16密度大于期望值，取θ=0.94，采用第2節(jié)方法確定出牽制節(jié)點：16、15、14，反饋增益矩陣為diag(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,11.68,12.28,11.33,0,0,0)，圖3和4分別為采用本PCS方法與其他3種方法密度誤差比較圖和節(jié)點16道路截面流量比較圖.其中GCS的反饋增益矩陣diag(9.54,11.10,6.61,9.24,16.07,9.44,11.39,6.90,13.93,12.07,10.61,10.12,9.73,9.93,10.51,9.54,6.22,14.90,5.54).CORDIN中節(jié)點16、15、14、13施加控制信號，節(jié)點16采取ALINEA算法，15入口的調(diào)節(jié)率g2=α1g1，14，13 入口調(diào)節(jié)率g3=α2g1，α1=0.6，α2=0.3.可以看出：

(1)不控制狀態(tài)下，節(jié)點16密度快速增加，大于臨界值，由于系統(tǒng)相態(tài)的變化使得節(jié)點16流量急劇下降，系統(tǒng)處于擁堵狀態(tài)，由于城市快速路的封閉性，道路通行效率下降.

(2)使用PCS，通過部分節(jié)點的牽制控制，50 s后節(jié)點16的密度基本趨于期望值，擁堵抑制，流量也趨于較高水平，通行效率提高，從而初步驗證了采用復雜網(wǎng)絡同步的思想方法進行城市快速路協(xié)調(diào)控制的有效性.同時，雖然節(jié)點16流量能保持較高水平，但不完全是同一值，密度誤差不完全等于0，這是由于城市快速路特點所決定：節(jié)點出口匝道流量的各仿真步的不相等所造成的，使得節(jié)點密度和流量分別趨于同一值而不完全相等.

(3)使用GCS、CORDIN也能實現(xiàn)密度趨于期望值從而抑制擁堵提高道路通行效率的目的，進一步驗證了這些方法的有效性.但GCS和CORDIN分別在第18步(90 s)和第19步(100 s)才能使密度趨于期望值，效率均低于本文方法.這是因為：全局控制范圍較大，針對本案例的單擁堵點控制速度較慢不能實現(xiàn)快速的目的，反饋增益矩陣也體現(xiàn)這一點；CRODIN有波動，其參數(shù)在控制時起到的比重較大，控制時流量變化較大，使得密度波動較大.

圖3 節(jié)點16密度誤差Fig.3 Density error of node 16

圖4 節(jié)點16流量變化Fig.4 Flux variation of node 16

3.3 早高峰時間段控制效果比較分析

圖5～圖8為早高峰7:00-8:00在4種控制方式下各節(jié)點密度演化和匝道排隊長度變化圖，表1為具體流量(1 h內(nèi)從所有出口匝道、立交橋、節(jié)點19流出的車輛數(shù)合計)和總旅行時間(所有車輛在實驗路網(wǎng)上的行駛時間之和)比較.可以看出：

(1)不控制下節(jié)點16密度增加擁堵呈現(xiàn)，并迅速向上游節(jié)點15、14、13等蔓延，接近65 veh/(km·lane)左右，呈現(xiàn)擁堵狀態(tài)，對應的匝道排隊長度也迅速增加.而PCS不僅使節(jié)點16密度趨近期望值，擁堵抑制，也使擁堵蔓延得到減輕.流量從29 523 veh提高到30 891 veh，總旅行時間從1 051 880 s減少到935 170 s，通行效率得以提高.雖然節(jié)點16等匝道排隊長度增加較多，但排隊長度較長的匝道數(shù)較少，整體通行效率得到提高，控制效果優(yōu)于不控制.從而進一步驗證了采用復雜網(wǎng)絡同步進行城市快速路協(xié)調(diào)控制的有效性.

(2)使用PCS方法，每個節(jié)點密度整個時間段不完全相等，這是因為即使早高峰也不是都一直加入?yún)f(xié)調(diào)控制信號的，即使在控制信號施加時，可能會出現(xiàn)“部分節(jié)點的需求低于需加入主線情況”“出口匝道流出車輛不同”造成的計算偏差.同時，各節(jié)點密度整個時間段不相等，這是因為交通的獨特特性決定的.一部分節(jié)點不需要施加控制信號且密度較低、交通需求較??；控制信號施加的部分節(jié)點，出現(xiàn)部分時段交通需求低于計算出需要加入主線的結果，這時雖然不能達到物理意義上真正同步的目的，但隨著各個節(jié)點密度的降低，控制信號的取消，一樣會出現(xiàn)抑制擁堵、提高道路運行效率的目的.

(3)使用GCS和CORDIN方法也能達到抑制擁堵提高通行效率的目的.這兩種方法的流量均大于NCS低于PCS，總旅行時間均低于NCS高于PCS.這是因為GCS對全部入口匝道進行控制，造成大部分路段密度波動較大，如圖7所示，不需要施加控制信號的匝道人為增加了較長排隊長度，如圖7所示，不僅帶來了社會不公平且造成出行成本的增加，使得通過自組織就能達到的目標，需要額外的人為進行它組織，帶來控制成本的增加和社會效益的下降；CORDIN算法建立在經(jīng)驗基礎上可實現(xiàn)初步優(yōu)化，本文PCS方法是通過實時數(shù)據(jù)計算得到的，具有更佳的控制效果.

圖5 NCS下系統(tǒng)密度演化和入口匝道排隊長度變化圖Fig.5 Evolution diagram of system density and variation diagram of on-ramp using NCS

圖6 PCS下系統(tǒng)密度演化和入口匝道排隊長度變化圖Fig.6 Evolution diagram of system density and variation diagram of on-ramp using PCS

圖7 GCS下系統(tǒng)密度演化和入口匝道排隊長度變化圖Fig.7 Evolution diagram of system density and variation diagram of on-ramp using GCS

圖8 CORDIN下系統(tǒng)密度演化和入口匝道排隊長度變化圖Fig.8 Evolution diagram of system density and variation diagram of on-ramp using CORDIN

表1 4種控制方式總旅行時間和流量對比Table 1 Comparison of Total Travel Time(TTT)andflux among four control modes.

4 結論

采用CTM和復雜網(wǎng)絡同步理論，建立城市快速路節(jié)點耦合模型，以同步為目標嘗試設計多入口匝道協(xié)調(diào)控制器，得到系統(tǒng)同步穩(wěn)定性條件，通過具體例子予以驗證.本研究僅是初步研究，尚需在模型建立、控制器設計等理論上進一步完善，在具體工程應用上對多擁堵點、不同需求下進行仿真實驗分析，在此基礎上擴展到包括出口匝道、城市一般道路上，為具體工程應用提供條件.

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