楊 攀 鄧兆祥 舒紅宇 妥吉英

1.重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶，400044

2.汽車噪聲振動和安全技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400039

3.重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院，重慶，400044

0 引言

移動平臺（車輛懸架、船舶設(shè)備的保護(hù)和無人機(jī)等）需要實(shí)時準(zhǔn)確的絕對狀態(tài)（位移、速度）反饋才能獲得良好的主動控制效果［1?2］。盡管慣性傳感器、雷達(dá)或激光技術(shù)等［3?5］先進(jìn)測量技術(shù)已在絕對位移的測量中得到應(yīng)用，但是精度和成本仍是難題。通常采用一些輸出反饋控制方法和算法來解決這些問題，但是這些方法會引起控制系統(tǒng)的延時［6］,進(jìn)而會破壞動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時也會導(dǎo)致理論分析更加復(fù)雜。盡管當(dāng)絕對位移測量技術(shù)應(yīng)用在反饋控制中，適當(dāng)?shù)难訒r對振動控制是有益的，但是延時值必須控制在臨界范圍內(nèi)。近年來，國內(nèi)外諸多學(xué)者采用準(zhǔn)零剛度（quasi-zerostiffness，QZS）技術(shù)研究絕對振動位移傳感系統(tǒng)［7?11］，對絕對振動位移進(jìn)行直接測量，從而顯著縮短系統(tǒng)的反饋延時，提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，其中大部分系統(tǒng)都采用線性阻尼進(jìn)行控制。通過增大傳感器的線性阻尼可有效減小跳頻現(xiàn)象的共振區(qū)頻率范圍，但會顯著增加傳感器的高頻誤差。目前，也有少數(shù)學(xué)者在隔振系統(tǒng)中使用非線性阻尼控制以求達(dá)到預(yù)期［12?13］。

為了改善準(zhǔn)零剛度傳感系統(tǒng)中測量頻帶與中高頻精度之間的問題，本文提出一種新型準(zhǔn)零剛度傳感系統(tǒng)，采用非線性阻尼控制器對其進(jìn)行控制。

1 準(zhǔn)零剛度傳感器的設(shè)計(jì)

如圖1所示，文中提出的QZS傳感器都是依附運(yùn)動平臺的單自由度系統(tǒng)，由1個小質(zhì)量塊m2、2個水平預(yù)壓縮彈簧和1個豎直彈簧組成（圖1上半部分）。水平彈簧的原長為l0，預(yù)壓縮量為λ0，剛度為k3，具體參數(shù)見表1。

圖1 振動系統(tǒng)Fig.1 Vibration system

表1 傳感器參數(shù)表Tab.1 Parameters of sensor

圖1中,這種在基礎(chǔ)激勵下的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)在工程中已經(jīng)廣泛應(yīng)用。通過質(zhì)量塊m2的相對位移，利用QZS傳感器近似測量振動平臺的絕對位移。豎直彈簧的剛度為k2，與力傳感器相連，來測量m1和m2之間的相對位移，通過A/D轉(zhuǎn)換，將傳感器信號輸入控制器，控制器利用控制算法實(shí)時控制作動器的控制力，構(gòu)成一個控制系統(tǒng)。作動器與豎直彈簧并聯(lián)，作動器的等效非線性阻尼系數(shù)為c3。QZS系統(tǒng)通過線性剛度k1和阻尼c1與基座相連接。質(zhì)量塊m1的絕對位移為x1(t)，m2的絕對位移為 x2(t)，基座的位移為 z(t)。系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2。

表2 系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structural and kinematics parameters of the system

2 靜態(tài)特性

2.1 動力學(xué)模型

基于圖1的模型，可以用拉格朗日方程建立移動平臺和傳感器的關(guān)系。

系統(tǒng)動能

系統(tǒng)勢能

根據(jù)拉格朗日方程，系統(tǒng)的動態(tài)方程

將式（1）和式（2）代入式（3）中，得

根據(jù)力傳感器的力信號，豎直彈簧k2受力

在準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)設(shè)計(jì)合理的情況下，鑒于x2比較小，則F≈-k2x1。這意味著QZS傳感器能夠近似測量移動平臺的絕對位移，測量精度主要取決于QZS系統(tǒng)的隔振效果。QZS傳感器中作動器的主動作用力

式中，c3為非線性控制系數(shù)。

2.2 靜平衡位置

圖2所示為QZS傳感器的安裝過程。圖2a為彈簧的初始安裝位置，x0為質(zhì)量塊m2到平衡位置的距離。如圖2b所示，為了保證振動的對稱性，在安裝完質(zhì)量塊m2后，剛度為k3的2個彈簧和QZS傳感器的平衡位置必須處在水平位置。

圖2 QZS傳感器的安裝過程Fig.2 Assembly process of the vibration sensor

根據(jù)虛位移原則，x0和m2必須滿足

水平彈簧的初始預(yù)壓縮量

由式（9）和式（10）可得到質(zhì)量塊m2與壓縮量λ1的關(guān)系：

在QZS系統(tǒng)中，要保證m2在水平平衡位置，須滿足式（9）和式（10）。

如圖3所示，在l0=0.5 m和k3=300 N/m，隨著質(zhì)量m2的增大，水平彈簧初始預(yù)壓縮量λ1也在增大。為了獲得好的隔振效果，兩個水平彈簧的預(yù)壓縮量應(yīng)取一個期望值λ0。

圖3 水平彈簧的預(yù)壓縮量λ1與m2的關(guān)系Fig.3 The relationship between predeformation of horizontal spring λ1andm2

2.3 QZS傳感器的剛度

由圖3可以看出，初始預(yù)壓縮量隨著QZS傳感器質(zhì)量的增大而增大。如果初始預(yù)壓縮量和QZS傳感器的質(zhì)量取值不合理，QZS傳感器的平衡位置將無法保持穩(wěn)定，導(dǎo)致測量結(jié)果出現(xiàn)錯誤。所以要維持平衡位置的穩(wěn)定性，預(yù)壓縮量λ0和傳感器的其他參數(shù)必須設(shè)定在合理范圍內(nèi)。

動力學(xué)方程為

平臺相對于基礎(chǔ)的相對位移

質(zhì)量塊m2相對于平臺的位移

質(zhì)量塊m2的受力

對式（16）進(jìn)行Taylor展開可以近似反映靜態(tài)特性，也能簡化計(jì)算。現(xiàn)對式（16）進(jìn)行三階Taylor展開：

如圖4所示，三階泰勒展開式（17）的作用力大小接近于式（16）中實(shí)際作用力大小。2自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

圖4 Fm2的實(shí)際值（線）和泰勒展開近似值（點(diǎn)）與u2的關(guān)系Fig.4 The relationship between the actual value（line）and approximate value（point）ofFm2 andu2

基礎(chǔ)激勵為z（t）=z0cosωt。圖5所示為當(dāng)k2=300N/m，k3=100N/m和l0=0.5m時不同的預(yù)壓縮量下Fm2和u2的關(guān)系曲線。Fm2隨著λ0的增大而減小，當(dāng)u2=0時，作用力Fm2=0。由動態(tài)方程可以看出，當(dāng)作用力Fm2越接近0，傳感系統(tǒng)和移動平臺的相對位移u2和移動平臺的絕對位移x1的值越接近。由式（17）可知，當(dāng)k2+2k3-2k3l0/(l0-λ0)=0 ，即 當(dāng) λ0=k2l0/(k2+2k3)時，作用力的線性部分為0，即

圖5 Fm2與u2的關(guān)系Fig.5 The relationship between andu2

3 不同激勵下的動態(tài)響應(yīng)

3.1 單頻信號激勵

由上文可知，相對位移u2的幅值接近絕對位移x1的幅值，即u2≈x1。QZS系統(tǒng)的線性部分越接近于0，u2越接近x1。從移動平臺的響應(yīng)和相關(guān)的信號測量來看，QZS傳感器對振動測量是有效的。2個自由度振動系統(tǒng)的相對位移可定義為

其中，a1、b1、a2、b2是式（18）和式（19）基本諧波解的值。振動平臺的絕對位移x1=u1+z，可寫成x1(t)=(a0+z0)cosωt+b1sinωt，將式（20）和式（21）代入式（18）和式（19）中，兩邊移項(xiàng)后，等式中sin函數(shù)和cos函數(shù)的系數(shù)等于0，可得到絕對位移和相對位移的幅值分別為[(a1+z0)2+b21]1/2和[(a2+b2)2]1/2。絕對位移x1和相對位移u2的相位分別為θ1和θ2，表達(dá)式為 θ1=arctan(-b1/(a1+z0)), θ2=arctan(-b2/a2)。由于預(yù)壓縮量λ0是QZS系統(tǒng)中影響隔振性能最重要的因素，所以必須滿足以下條件：①λ0≈k2l0/(k2+2k3)，即式（17）中線性部分為0；②m2? m1。這樣能夠保證傳感器的精度在一個較大的頻率范圍內(nèi)且不會引起額外的耦合共振頻率。圖6所示為在不同的λ0下相對位移u2和絕對位移x1的幅頻特性和相頻特性，其中，m1=15kg，m2=1.44kg，l0=0.5m,k1=5 000 N/m，k2=300 N/m，k3=100 N/m，c1=2 N·s/m，c2=1 N·s/m，c3=2 000 N·s/m3，z0=0.003m。當(dāng) λ0=0.26 m 和λ0=0.28 m時，相對位移u2相對于絕對位移x1有較大偏差，特別是在低頻時，偏差尤為明顯。當(dāng)λ0=0.3m時，在寬頻段內(nèi)u2≈x1。

圖6 不同λ0下x1和u2的幅頻特性和相頻特性Fig.6 The amplitude-frequency and phase-frequency characteristics of x1and u2under different λ0

圖7所示為在λ0=0.3m時，不同等效非線性阻尼系數(shù)下u2和x1的幅頻特性和相頻特性，其他參數(shù)值同上。由圖7可以看出，共振峰的幅值隨著等效非線性阻尼系數(shù)c3的增大而減小。當(dāng)?shù)刃Х蔷€性系數(shù)過小時，QZS系統(tǒng)會在寬頻段上出現(xiàn)跳頻現(xiàn)象（由于共振區(qū)振幅較大，根據(jù)振動狀態(tài)突變的突變理論［14］，當(dāng)激勵幅值不斷增大，越過臨界值時，導(dǎo)致振動狀態(tài)突變，即跳頻現(xiàn)象。從另一個角度來說，式（18）和式（19）中有三次方項(xiàng)，方程在時域上可能會有多個解），導(dǎo)致傳感器系統(tǒng)無法進(jìn)行測量；當(dāng)非線性阻尼取值合理時，QZS系統(tǒng)可以有效抑制共振峰附近的幅值誤差，跳頻現(xiàn)象整體向左移動，拓寬了準(zhǔn)零剛度傳感器系統(tǒng)的測量頻帶范圍。

圖7 不同c3下x1和u2的幅頻特性和相頻特性Fig.7 The amplitude-frequency and phase-frequency characteristics ofx1andu2under different c3

圖8所示為u2和-x1在單頻激勵下的時域?qū)Ρ惹€。當(dāng)預(yù)壓縮量λ0取適當(dāng)值時，x2≈0，u2=x2-x1≈-x1。

圖8 x1和u2的單頻時域響應(yīng)Fig.8 Single frequency time?domain responseofx1andu2

3.2 多頻激勵

在仿真過程中，基座的激勵φi)，相位角φi設(shè)為0。圖9所示為相對運(yùn)動和絕對運(yùn)動的時域響應(yīng)，圖9a、圖9b中，z1=0.001m，z1=0.001m，z2=z3=…=0，ω0=16rad/s，ω1=20rad/s；圖9c中，z0=0.004m，z1=0.003m，z2=z3=…=0，ω0=15rad/s，ω1=38rad/s。從結(jié)果可以看出，兩種運(yùn)動的幅值很接近，通過調(diào)整預(yù)壓縮量λ0，兩種運(yùn)動之間的誤差接近0。同樣可以看出，在不同的參數(shù)下，相對運(yùn)動和絕對運(yùn)動的相位值也很接近，且在圖9c中加大了激勵，誤差依然很小。據(jù)此可知，在多頻激勵下，QZS傳感器的測量信號能夠反映振動平臺的絕對運(yùn)動。

3.3 隨機(jī)激勵

如圖10所示，考慮到隨機(jī)激勵，隨機(jī)輸入的平均值設(shè)為0，均方差也接近于0（10-3），隨機(jī)信號的頻率范圍設(shè)為［15,65］rad/s。

圖9 x1和u1的多頻時域響應(yīng)Fig.9 Multi-frequency time-domin response of x1and u2

圖10 x1和u2的隨機(jī)時域響應(yīng)Fig.10 Random time-domain response of x1andu2

圖10為相對運(yùn)動和絕對運(yùn)動在不同的預(yù)壓縮量λ0下的對比。當(dāng)λ0=0.26m和0.28m時，u2和-x1存在較小的誤差；當(dāng)λ0=0.30 m，相對位移的幅值u2接近-x1。通過調(diào)整預(yù)壓縮量λ0，兩種位移之間的誤差接近0。從上文的分析和數(shù)值仿真可知，在不同的輸入激勵（如周期激勵、隨機(jī)激勵等）下，QZS傳感器的測量結(jié)果都是有效的。

4 結(jié)論

本文提出了一種新型QZS傳感系統(tǒng)，通過建立傳感系統(tǒng)動力學(xué)模型并分析其結(jié)構(gòu)和靜平衡位置，確定了傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)的合理取值范圍，討論其在不同預(yù)壓縮量和不同等效非線性阻尼下的幅頻特性和相頻特性。從幅頻曲線圖中可以看出，系統(tǒng)的共振峰大幅下降，跳頻現(xiàn)象整體向左移動，從而實(shí)現(xiàn)了跳躍頻率區(qū)間的有效隔振且拓寬了準(zhǔn)零剛度傳感系統(tǒng)的測量頻帶范圍。通過檢測QZS傳感器在不同激勵幅值和不同類型激勵下的測量精度，證明了QZS傳感器能夠有效測量移動平臺的絕對振動位移。

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