宋代平 袁岳軍 郭宗環(huán) 王 康

1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400044 2.重慶東風(fēng)小康汽車有限公司，重慶，405321

0 引言

慣性約束聚變（inertia confinement eusion，ICF）是激光束產(chǎn)生高能量聚變反應(yīng)的一種方法。大型激光器裝置（如美國的國家點(diǎn)火裝置（Na?tional Ignition Facility，NIF）和中國的大型高功率激光裝置）所需的大口徑精密光學(xué)模塊與相應(yīng)機(jī)械件組合構(gòu)成的在線可替換單元（line-replace?able unit，LRU）數(shù)目和種類繁多，規(guī)格不一，均為專門定制的易損、精密且價(jià)格昂貴的重要關(guān)鍵部件，能否保證絕對(duì)安全的攜帶并安裝至主機(jī)試驗(yàn)裝置內(nèi)部，將直接影響到裝置的工程建造與運(yùn)行維護(hù)成本［1?3］。

六自由度是具有完整空間定位能力的機(jī)械手應(yīng)具備的最小自由度，機(jī)械手若具有更多的自由度，將會(huì)顯著改善其運(yùn)動(dòng)特性，增加機(jī)體靈活性和提高避障能力。然而自由度的增加會(huì)使機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)分析變得更為復(fù)雜，尤其是機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解問題。文獻(xiàn)［4］固定機(jī)械手的第三個(gè)關(guān)節(jié)，使其恒為0，從而把該機(jī)器人變?yōu)榱杂啥葯C(jī)器人，再引入臂形標(biāo)志進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的求解。文獻(xiàn)［5］采用位姿分離法，將7自由度串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解問題分解為位置逆解和姿態(tài)逆解兩部分，并結(jié)合幾何法和行程最短原則計(jì)算位置逆解和姿態(tài)逆解。文獻(xiàn)［6］采用最短行程準(zhǔn)則選取一組最接近于當(dāng)前操作臂的解；文獻(xiàn)［7］提出一種自尋優(yōu)的方法來解決冗余機(jī)械臂關(guān)節(jié)限位的運(yùn)動(dòng)優(yōu)化問題。

慣性約束聚變?cè)囼?yàn)裝置復(fù)雜、結(jié)構(gòu)繁多，由此LRU轉(zhuǎn)運(yùn)裝置必須準(zhǔn)確定位和具備一定的避障能力。潔凈精密光學(xué)模塊是LRU中的一種，本文提出了一種用于潔凈精密光學(xué)模塊側(cè)面裝入神光-Ⅲ主機(jī)試驗(yàn)裝置的八自由度側(cè)裝機(jī)器人，建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

1 側(cè)裝機(jī)器人的結(jié)構(gòu)組成

八自由度側(cè)裝機(jī)器人主要由立柱、升降臺(tái)、搖臂關(guān)節(jié)（關(guān)節(jié)2～關(guān)節(jié)5)、調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)和抓手等部件組成，見圖1。

圖1 八自由度側(cè)裝機(jī)器人結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of 8-DOF side loading robot

側(cè)裝機(jī)器人的作業(yè)方式主要是垂直方向上的提升運(yùn)動(dòng)和水平面內(nèi)的側(cè)向運(yùn)動(dòng)。升降機(jī)構(gòu)、側(cè)送機(jī)構(gòu)、搖臂關(guān)節(jié)決定了精密光學(xué)模塊的位置，使模塊能夠沿x、y方向移動(dòng)和繞z軸旋轉(zhuǎn)一定角度；調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)的作用是對(duì)模塊的姿態(tài)進(jìn)行微調(diào)，使模塊能夠繞x、y、z軸旋轉(zhuǎn)一定角度，類似于人的手腕。八自由度串聯(lián)側(cè)裝機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡圖見圖2。

圖2 八自由度側(cè)裝機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡圖Fig.2 Machine draft of 8-DOF side loading robot

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是性能分析和動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)，對(duì)一個(gè)新型機(jī)構(gòu)來說，運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是機(jī)構(gòu)分析的前提和基礎(chǔ)，是進(jìn)行機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的首要任務(wù)。

機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題是已知機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角，求末端執(zhí)行器的位姿（位置和姿態(tài)）。側(cè)裝機(jī)器人采用D-H法（Denavit－Hartenberg ma?trix)［8?9］建立坐標(biāo)系并推導(dǎo)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。側(cè)裝機(jī)器人D-H坐標(biāo)系見圖2，各連桿參數(shù)及關(guān)節(jié)變量見表1。

表1 連桿參數(shù)及關(guān)節(jié)變量Tab.1 Link parameters and joint variables

連桿變換矩陣

式中，c表示cos；s表示sin。

側(cè)裝機(jī)器人有8個(gè)自由度，據(jù)式（1）以及表1所示的連桿參數(shù)，可求得八自由度側(cè)裝機(jī)器人基座坐標(biāo)系和末端執(zhí)行器坐標(biāo)系之間的總變換：

將右乘以得到工具端部和基座之間的總變換。為工具端部和末端連桿坐標(biāo)系間的變換：

根據(jù)側(cè)裝機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸要求確定如下：a1=140 mm、a2=170 mm、a3=170 mm、a4=170 mm、a5=535 mm、d5=-10 mm。各變量范圍如下：d1∈［200 mm，1 950 mm］；θ2，θ3，…，θ8∈［-π/2，π/2］。

各變量的初始值分別取d1=500 mm，θ2=0，θ3=0，θ4=π/2，θ5=0，θ6=π/2，θ7=π/2，θ8=0，代入式（3）可求得

由所得結(jié)果可知，與三維模型在同樣狀態(tài)下的測(cè)量值完全吻合（圖3），表明D-H參數(shù)法求解結(jié)果是正確的。

圖3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解結(jié)果驗(yàn)證Fig.3 Kinematic positive solution verification

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解確定方法及實(shí)例驗(yàn)證

3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解分析

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是在已知末端執(zhí)行器位姿的情況下，求解各個(gè)關(guān)節(jié)變量。逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的求解相對(duì)復(fù)雜，可能存在多解也可能無解。PIEPER［10］證明了3個(gè)連續(xù)關(guān)節(jié)軸相交于一點(diǎn)的6R機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)可解。DUFFY［11］證明了3個(gè)連續(xù)關(guān)節(jié)軸平行的6R機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)可解，對(duì)于末端位姿確定的八自由度側(cè)裝機(jī)器人，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)為已知末端執(zhí)行器位姿08T，求解對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)變量 d1、θ2、θ3、θ4、θ5、θ6、θ7、θ8的值，其求解過程非常復(fù)雜。由于一個(gè)末端位姿矩陣只有6個(gè)獨(dú)立變量，故只能求解6個(gè)未知數(shù)。本文先采用關(guān)節(jié)變量虛化法，將關(guān)節(jié)2、3、4構(gòu)造為虛擬關(guān)節(jié)，從而構(gòu)建一個(gè)虛擬六自由度機(jī)器人，基于極限值均值法確定虛擬軸長a，采用解析法求解虛擬六自由度機(jī)器人的逆解。此外，采用占用空間最小法求解關(guān)節(jié)對(duì)八自由度機(jī)器人的逆解進(jìn)行求解，具體求解步驟如下：

（1）設(shè)定關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)5之間距離為a，構(gòu)建虛擬關(guān)節(jié)，由此構(gòu)建虛擬六自由度機(jī)器人（其中3個(gè)連續(xù)關(guān)節(jié)軸交于一點(diǎn)）；

（2）建立虛擬六自由度機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，根據(jù)極限值均值法原則求解a值；

（3）將末端位姿代入逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并求解，得到d1、θ6、θ7、θ8；

（4）依據(jù)關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3和關(guān)節(jié)4的占用空間最小原則進(jìn)行求解，得到θ2、θ3、θ4、θ5；

（5）考慮結(jié)構(gòu)限制對(duì)所求逆解的各個(gè)變量進(jìn)行取舍，最終得到一組待定解；

（6）將待定解代入正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行驗(yàn)證；

（7）確認(rèn)末端位姿。

建立虛擬六自由度機(jī)器人D-H坐標(biāo)系，見圖4，各連桿參數(shù)及關(guān)節(jié)變量見表2。

圖4 虛擬六自由度機(jī)器人D-H坐標(biāo)系Fig.4 Virtual 6-DOF robot D-H coordinate system

連桿變換矩陣i-1iT表示如下：

表2 連桿參數(shù)及關(guān)節(jié)變量Tab.2 Link parameters and joint variables

對(duì)于該虛擬六自由度機(jī)構(gòu)，對(duì)應(yīng)任何一種末端位姿，虛擬關(guān)節(jié)長度a都有無數(shù)種取值，為了求得該虛擬六自由度機(jī)構(gòu)逆解，必須規(guī)定一種a值求解算法。如果a值是一個(gè)定值，則會(huì)很大程度縮小機(jī)器人的工作空間，因此本文采用極限值平均法確定虛擬關(guān)節(jié)長度a，其值與末端位姿相關(guān)，具體如下：

（2）當(dāng)始終保證θ′5=π/2或-π/2時(shí)，a表達(dá)式如下：

（3）為了保證處于比較合適的位置，a值取以上兩種極限位置的平均值，即

已知構(gòu)建的虛擬六自由度機(jī)器人是按照Pieper準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的，因此可以得到封閉解。求解六自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的方法主要包括解析法和代數(shù)法［12?13］、幾何法［14］、符號(hào)及數(shù)值方法［15］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法［16?17］等，本文采用矩陣逆乘的解析法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。

式（6）左邊：

按解析法求得運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解：

從上述解的表達(dá)式可以看到、分別最多可能有兩個(gè)解，由于θ6、θ7、θ8和、相關(guān)，所以機(jī)器人最多可能有4組解。

3.2 側(cè)裝機(jī)器人逆解的確定

與通常采用最短行程準(zhǔn)則和多移動(dòng)小關(guān)節(jié)、少移動(dòng)大關(guān)節(jié)的原則不同［18］，本文根據(jù)側(cè)裝機(jī)器人自身結(jié)構(gòu)、作業(yè)環(huán)境和位置的特點(diǎn)，基于關(guān)節(jié)占用空間最小的思路來求取θ2、θ3、θ4、θ5的解。以關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)5公垂線方向定為x軸，垂直于公垂線方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系（圖5）。

圖5 關(guān)節(jié)的逆解坐標(biāo)系Fig.5 Joint inverse coordinate system

設(shè)關(guān)節(jié)3、關(guān)節(jié)4的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），根據(jù)“關(guān)節(jié)占用空間最小”的原則，需保證+最小，即求目標(biāo)函數(shù)f=+的最小值，建立約束方程組：

針對(duì)目標(biāo)函數(shù)f的非線性，本文采用一種復(fù)雜的迭代算法——麥夸特算法［19］對(duì)其進(jìn)行求解。最終目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解在1stOpt（First Optimi?zation）中得到。根據(jù)已知的關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3坐標(biāo)位置，得到關(guān)節(jié)角θ2、θ3、θ4、θ5如下：

至此，八自由度側(cè)裝機(jī)器人的8個(gè)關(guān)節(jié)全部求出，運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解已全部得到。

3.3 逆解實(shí)例驗(yàn)證

隨機(jī)任意給定兩個(gè)末端位姿如下：

根據(jù)給定的兩種位姿，通過式（5）計(jì)算出兩種位置下的a分別為409.509 0和435.224 8，將式（18）、式（19）代入式（7）～式（12）中得到虛擬六自由度的兩組逆解（表3）。

表3 式（18）和式（19）位姿下虛擬六自由度機(jī)器人逆解Tab.3 Inverse solutions of a virtual 6-DOF robot in poses of equation（18）and equation（19）

受側(cè)裝機(jī)器人自身結(jié)構(gòu)約束，比較各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍，經(jīng)正解驗(yàn)證，對(duì)應(yīng)表3式（18）位姿下只有序號(hào)1的解滿足要求，因此序號(hào)1的解就是待確定的解。式（19）位姿下序號(hào)1和序號(hào)4滿足要求，但序號(hào)4的解中關(guān)節(jié)2超過允許轉(zhuǎn)動(dòng)范圍，因此序號(hào)1是式（19）對(duì)應(yīng)的待確定的解。

根據(jù)式（13），利用1stOpt軟件優(yōu)化后得到關(guān)節(jié)3和關(guān)節(jié)4的坐標(biāo)值，將坐標(biāo)值與表3中序號(hào)為1的解代入式（14）～式（17）中求得 θ2、θ3、θ4、θ5，即分別得到對(duì)應(yīng)的八自由度側(cè)裝機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解,如表4所示。

表4 式（18）和式（19）位姿下側(cè)裝機(jī)器人優(yōu)化逆解Tab.4 Inverse solutions of side loading robots in poses of equation（18）and equation（19）

表4中的解是式（18）、式（19）位姿下逆解的優(yōu)化解。將它們分別代入正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中可得

比較式（18）～式（21）可知：末端位置數(shù)據(jù)誤差（Δpx，Δpy，Δpz）分別為（0.058 4，-0.031 7，0）mm和（0.043 3，0，0）mm，最大誤差為0.012%，完全符合精度要求,從而確定了表4中的解是側(cè)裝機(jī)器人在式（18）、式（19）位姿下的逆解。分析表明，該方法確定求得的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是正確可靠的,并且該方法能快速確定運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，從而為進(jìn)一步研究機(jī)器人的軌跡規(guī)劃及實(shí)時(shí)控制提供了理論基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

（1）本文以八自由度側(cè)裝機(jī)器人為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。根據(jù)側(cè)裝機(jī)器人的自身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用D-H法建立連桿參數(shù)，推導(dǎo)得出了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程。

（2）針對(duì)八自由度機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問題，采用關(guān)節(jié)變量虛化法構(gòu)建出一個(gè)虛擬六自由度機(jī)器人。

（3）基于極限值平均法確定虛擬軸長，利用解析法得到虛擬六自由度機(jī)器人逆解。

（4）以關(guān)節(jié)占用空間最小為原則，結(jié)合麥夸特算法，利用1stOpt軟件解算關(guān)節(jié)2、3、4位置，進(jìn)而求解得到八自由度側(cè)裝機(jī)器人所有運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。

（5）通過實(shí)例驗(yàn)證逆解算法的正確性。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可以用于側(cè)裝機(jī)器人末端執(zhí)行器的精確定位和運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，為實(shí)現(xiàn)八自由度側(cè)裝機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃及實(shí)時(shí)控制等提供了理論基礎(chǔ)。

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