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(1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 安徽 合肥 230601；2.安徽大學(xué)商學(xué)院 安徽 合肥 230601)

0 引 言

針對實際的多屬性群決策問題，由于人類思維的模糊性、專家認(rèn)知的不確定性以及決策問題的復(fù)雜性，決策信息通常是以語言變量的形式給出。通常我們采用加權(quán)不平衡語言集結(jié)算子來集成信息。徐澤水[1]利用OWA算子對模糊偏好信息進(jìn)行集結(jié)，進(jìn)行對方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)。Chen等[2]給出一種基于模糊誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(FIOWA)算子的模糊多屬性群決策方法。文獻(xiàn)[3]利用DLWA算子等語言信息集成算子整合不同決策者的偏好度。近年來，基于語言信息的多屬性決策問題成為人們關(guān)注的熱點[1-8]。Herrera等[4]首先提出了不平衡語言術(shù)語集的概念，定義了一個不平衡的語言表示模型。此后，眾多學(xué)者探討基于不平衡語言信息的多屬性決策問題[5]。Meng和Pei[6]在不平衡語言集的基礎(chǔ)上，提出加權(quán)不平衡語言集成算子。然而，上述語言集成算子在集成過程中沒有考慮到各屬性之間的影響，集成結(jié)果往往會超出語言術(shù)語集范圍，決策可靠性不高等問題。Bonferroni集成算子在實際的信息集成過程中，能夠考慮到各屬性兩兩之間的相互關(guān)系。Yager在Bonferroni集成算子的基礎(chǔ)上，討論了多種廣義的Bonferroni集成算子[7]。文獻(xiàn)[8]對Bonferroni集成算子進(jìn)行推廣，提出二元語義Bonferroni集成(2TLBA)算子和加權(quán)2TLBA(W2TLBA)算子等概念，討論它們的幾種特殊情形。本文針對不平衡語言評價信息下的多屬性群決策問題，結(jié)合二元語義表示模型和語言層次，實現(xiàn)不平衡語言評價信息與多層次語言評價信息之間的相互轉(zhuǎn)化，構(gòu)建加權(quán)不平衡語言Bonferroni(WULB)集結(jié)算子的定義，進(jìn)而，考慮到屬性之間的交互影響，提出基于WULB算子的多屬性群決策方法。

1 基本概念

二元模糊語義是用語言評價和數(shù)值來表示語言評價信息的方法，可表示為(S,α)。其中，S={s0,s1,...,sg}為語言評價集，si∈S是其中的語言術(shù)語，i=0,1,2,…,g，S中的元素數(shù)目g+1表示語言評價集的粒度，α表示由計算得到的語言信息與原語言評價集S中最鄰近語言評價之間的偏差，且α∈[-0.5,0.5)。通常S中的元素應(yīng)該滿足如下性質(zhì)：(1)有序性：當(dāng)i>j時，有si“>”sj，表示si優(yōu)于sj或sj劣于si；(2)可逆性：存在一個可逆算子neg，滿足neg(si)=sj，其中i+j=g；(3)極值性：當(dāng)si“>”sj時，有max{si,sj}=si且min{si,sj}=sj。

定義1[8, 9]語言評價集S中的語言術(shù)語si可以通過轉(zhuǎn)換函數(shù)σ轉(zhuǎn)化為二元語義形式：

σ:S→S×[-0.5,0.5)，σ(si)=(si,0),si∈S.

定義2[8]令實數(shù)β∈[0,g]表示語言評價集結(jié)算子的結(jié)果，則可通過函數(shù)Δ得到其相應(yīng)的二元語義形式：

Δ:[0,g]→S×[-0.5,0.5)，

式中“round”表示“四舍五入”的取整運算。相應(yīng)的，存在一個逆函數(shù)Δ-1，將二元語義(si,α)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的數(shù)值β。

2 不平衡語言評價信息和語言層次

2.1 不平衡語言評價集

文獻(xiàn)[4]提出不平衡語言評價集的概念，并將不平衡語言評價集S劃分為三個部分：S的中心元素組成集合Sc，劣于中心元素的記為集合Sl，優(yōu)于中心元素的記為集合Sr，于是，我們把S表示成：S=Sl∪Sc∪Sr。

2.2 語言層次

(1)

例1 一個語言層次LH為：

LH=l(1,3)∪l(2,5)∪l(3,9)∪l(4,17)=

2.3 平衡語言評價信息與多層次語言評價信息的轉(zhuǎn)化

通過語言層次LH=∪kl(k,n(k))，可以在LH中得到不平衡語言評價集中單個術(shù)語的二元語義表示。下面通過一個實例來說明信息轉(zhuǎn)換的一般過程：

例2 對于不平衡的語言評價集：

S={極差，差，中，稍好，好，很好，非常好，特別好，極好}

將其轉(zhuǎn)化為符號表示，即：

S={EL,L,M,AG,G,VG,QW,RW,EG}。

|Sr|=|{AG,G,VG,QW,RW,EG}|，所以我們選擇語言水平分別為3，4的語言層次函數(shù)LH表示Sr={AG,G,VG,QW,RW,EG}，將其分為兩個小部分{AG,G}，{VG,QW,RW,EG}即：

綜上所述，得出(i)，(ii)，(iii)的總結(jié)式如式(2)所示：

(2)

事實上，對于任意的二元模糊語言評價表示(si,αi)∈S(αi∈[-0.5,0.5))，都可以利用不平衡語言轉(zhuǎn)換函數(shù)LH將其變換為不同語言水平的值，反之亦然：

SL:S×[-0.5,0.5)→LH×[-0.5,0.5)，

(3)

SL-1:LH×[-0.5,0.5)→S×[-0.5,0.5)，其中

(4)

其中(si,λ)有以下兩種情況：

其中：

3)當(dāng)si位于下限“-”的語言水平上時，可以將其轉(zhuǎn)化為上限“-”的語言水平，如：

4)當(dāng)si位于上限“-”的語言水平上時，可以將其轉(zhuǎn)化為下限“-”的語言水平，如：

5)當(dāng)不存在si∈S時，如：

3 加權(quán)不平衡語言Bonferroni集結(jié)算子

考慮到輸入變量間的交互影響，本文提出加權(quán)不平衡語言Bonferroni集結(jié)算子的概念。

(5)

稱其為加權(quán)不平衡語言Bonferroni(WULB)集結(jié)算子。

容易證明，WULB集結(jié)算子滿足如下優(yōu)良性質(zhì)：

4 實例分析

4.1 基于WULB集結(jié)算子的多屬性群決策方法

在非平衡語言信息環(huán)境下，給出基于WULB集成算子的多屬性群決策方法步驟。設(shè)待評價的方案集合為T={T1,T2,...,Tn}，專家集合為S={S1,S2,...,Sk}，專家權(quán)重向量為λ=(λ1,λ2,…,λk)T，評估指標(biāo)集合為I={I1,I2,...,Im}，指標(biāo)權(quán)重向量為ω=(ω1,ω2,…,ωm)T。每個專家都給出自己對每個方案的語言評估矩陣為A(Sp )= (ai,j(Sp ))n×m，p=1,2,…,k。

Step2 利用已有的經(jīng)驗知識，確定指標(biāo)權(quán)重向量為ω=(ω1,ω2,…,ωm)T。

Step5 將綜合評估值CEVq按降序排列，q=1,2,...,n。

Step6 根據(jù)綜合評價值的排序結(jié)果對待評價方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)。

4.2 教師教學(xué)評價的案例分析

以某高校為例，對該校三位教師T1,T2,T3進(jìn)行教學(xué)測評，四位專家S1,S2,S3,S4，篩選出9個指標(biāo)對教師教學(xué)情況進(jìn)行評價，分別為：I1職業(yè)道德；I2教師的專業(yè)水平；I3教學(xué)方法；I4組織教學(xué)能力；I5教學(xué)態(tài)度；I6內(nèi)容充實，容量適中；I7具有較深的專業(yè)知識；I8教學(xué)語言標(biāo)準(zhǔn)，富有感染力；I9課堂氣氛和諧。

利用例2中提出的不平衡語言評價集，來統(tǒng)計學(xué)生對教師教學(xué)滿意度的評估情況，即：S={EL,L,M,AG,G,VG,QW,RW,EG}。4位專家分別對這三位老師在教學(xué)指標(biāo)估計的評估情況見表1-表4所示：

表1 專家S1給出的評估矩陣A(1)

表2 專家S2給出的評估矩陣A(2)

表3 專家S3給出的評估矩陣A(3)

表4 專家S4給出的評估矩陣A(4)

首先取a=1，b=1，ω=(0.15,0.13,0.15,0.13,0.07,0.14,0.12,0.06,0.05)T，利用WULB算子，將4個評價矩陣集結(jié)，結(jié)果如表5所示。

表5 四位專家對三位教師的評估值

專家權(quán)重向量為λ=(0.29.0.34,0.22,0.15)T，再次利用WULB算子計算每位教師的綜合評估值，分別為：CEV1=(G,0.44)，CEV2=(G,0.26)，CEV3=(G,0.24)。對綜合評價值排序，我們有(G,0.44)>(G,0.26)>(G,0.24)，故這三人的教學(xué)滿意度排名為T1>T2>T3。

5 結(jié) 語

本文提出了一種基于加權(quán)不平衡語言Bonferroni(WULB)算子的多屬性群決策方法。本文借助于語言層次，實現(xiàn)了不平衡語言與二元語義信息之間的轉(zhuǎn)化。其次，提出的WULB集結(jié)算子不但具有有界性、單調(diào)性和冪等性等優(yōu)良性質(zhì)，而且可有效解決語言評價術(shù)語集分布不均勻的問題?；赪ULB算子，本文提出的多屬性群決策方法綜合考慮到了屬性權(quán)重的差異，屬性之間的交互作用，更具公平性。最后，通過實例分析驗證了該方法的可行性和有效性。

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