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(佳木斯大學(xué)，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

電磁學(xué)屬于經(jīng)典物理學(xué)的一部分，在廣泛介紹電磁現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，更著重于基本規(guī)律的闡述，主要是研究電荷、電流產(chǎn)生的電場和磁場的基本規(guī)律，電磁場對(duì)電荷和電流的作用。深入到材料內(nèi)部，物質(zhì)的電子結(jié)構(gòu)是物質(zhì)的基本組成形式，任何的實(shí)物材料都是由分子或者原子組成，原子是由帶正電的原子核和帶負(fù)電的電子組成，電磁作用是物質(zhì)的基本作用之一，麥克斯韋通過麥?zhǔn)系姆匠探M給出了很好的解決電磁問題的方法，這個(gè)方程組的核心就是高斯定理和安培環(huán)路定理。

1 定理的證明對(duì)比

以電場中的高斯定理和磁場中的安培環(huán)路定理為例。

圖1 高斯定理證明圖解

高斯定理在電場中的表達(dá)式是：

(1)

它表明：通過任意閉合曲面的電通量等于該面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和除以ε0。

磁場中的安培環(huán)路定理的表達(dá)式是：

(2)

它表明：磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任何閉合環(huán)路的線積分等于穿過這個(gè)環(huán)路所有電流強(qiáng)度的代數(shù)和的μ0倍。

通過兩個(gè)定理的表述可以看出高斯定理是面積分，左側(cè)積分?jǐn)?shù)值與面內(nèi)包圍的電荷電量代數(shù)和有關(guān)，安培環(huán)路定理是線積分，左側(cè)積分?jǐn)?shù)值與線積分路徑包圍的電流強(qiáng)度代數(shù)和有關(guān)，也就是二者都與積分路徑所包圍量的代數(shù)和有關(guān)，從數(shù)學(xué)表達(dá)式上二者也具有相似性。在證明方法上二者都可以采用由簡單個(gè)例到一般的證明方法，比如電場中高斯定理首先選取特例球面，并且只有一個(gè)點(diǎn)電荷在球心，相對(duì)而言，磁場中的安培環(huán)路定理選取圓環(huán)并且包圍電流強(qiáng)度為I的一條導(dǎo)線；其次，高斯定理再將球面半徑擴(kuò)展到任意半徑直至電荷不再位于球心，最后到任意閉合曲面，只要包圍點(diǎn)電荷即可，安培環(huán)路定理則也是由圓環(huán)變?yōu)橹灰鼑鷮?dǎo)線的任意閉合曲線即可；通過都熟知的疊加原理，當(dāng)有N個(gè)點(diǎn)電荷或有N條帶電導(dǎo)線時(shí)采用代數(shù)和疊加的原理得到一般性的結(jié)論，同時(shí)采用了相似的方法證明了點(diǎn)電荷或帶電導(dǎo)線位于閉合曲面和閉合環(huán)路外對(duì)于積分無貢獻(xiàn)的思想，由此證畢，如圖1和圖2所示為定理證明圖解。

圖2 安培環(huán)路定理證明圖解

2 定理的應(yīng)用對(duì)比

無論是高斯定理還是安培環(huán)路定理它的應(yīng)用都具有普遍性，但在具體使用過程中會(huì)去尋找簡單便捷的方法，這就是在電磁學(xué)中常常提到的對(duì)稱性的問題，這里以均勻帶正電的無限長細(xì)棒的場強(qiáng)和無限長圓柱形帶電直導(dǎo)線磁場分布為例，兩者都是屬于圓柱體，電場和磁場的分布都具有對(duì)稱性，電場即在任何垂直于棒的的平面內(nèi)的同心圓周上場強(qiáng)大小都相同，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小只與場點(diǎn)到軸線的垂直距離有關(guān)，這樣電場強(qiáng)度的求解只要選取分別在圓柱內(nèi)外的同軸柱面，磁場強(qiáng)度的求解選取圓心在軸線上并與軸線垂直的圓環(huán)形回路，應(yīng)用定理找到閉合圓柱面包圍的電荷的電量代數(shù)和和圓形回路包圍的電流強(qiáng)度的代數(shù)和即可求解。二者的相似之處就是都選取了具有對(duì)稱性的包圍曲面或曲線將要求解的問題包括在其中，使問題的求解變得簡單易懂。但這里有一點(diǎn)要注意應(yīng)用兩個(gè)定理時(shí)左側(cè)的積分在展開的過程中要注意矢量間的夾角。

3 結(jié) 語

高斯定理和安培環(huán)路定理在數(shù)學(xué)形式表達(dá)上具有相似性，一個(gè)是面積分，一個(gè)是線積分；定理的右側(cè)都是曲面或曲線包圍的簡單易于尋找的物理量電荷和電流強(qiáng)度，也就是說通過對(duì)稱性的分析，我們很快就能找到問題的切入點(diǎn)，進(jìn)而快速解決問題；在定理的證明上采用了由簡單個(gè)例到一般形式的推導(dǎo)，證明過程簡單易懂，用通俗的語言解釋了內(nèi)容含義深?yuàn)W的定理，帶來方便的同時(shí)，也增加了對(duì)定理定律的進(jìn)一步了解。

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