許貝貝， 陳帝伊， 張 浩， 李歡歡

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利水電科學(xué)研究院，陜西 楊陵 712100)

水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)是水電站系統(tǒng)重要組成部分，其運(yùn)行狀況直接影響水電站系統(tǒng)乃至整個(gè)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定與安全運(yùn)行[1]。因此，從水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)角度來探究水電站系統(tǒng)穩(wěn)定性已經(jīng)成為一研究熱點(diǎn)。水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定性研究成果主要體現(xiàn)在以下兩方面：①水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)線性確定性數(shù)學(xué)模型[2-3]，該類模型的水輪機(jī)力矩往往采用傳遞函數(shù)或者差分形式，此模型主要適用于工況點(diǎn)附近的理論分析；②水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)非線性確定性數(shù)學(xué)模型[4-11]，該類模型的水輪機(jī)力矩往往采用由IEEE Group提出的簡單非線性公式，此模型能夠在一定程度上描述水輪機(jī)在過渡過程下的動態(tài)力矩特性。

隨著風(fēng)電并網(wǎng)容量的快速增加，使得電網(wǎng)系統(tǒng)隨機(jī)波動性和難以預(yù)測性增強(qiáng)[12]，結(jié)合我國水電建設(shè)由大型水電站逐漸向巨型機(jī)組、特大型水電站系統(tǒng)方向發(fā)展的趨勢，給水電站系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行帶來了新巨大挑戰(zhàn)[13-19]。尤其是受到電力系統(tǒng)隨機(jī)性增強(qiáng)的影響，機(jī)組轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)瞬時(shí)隨機(jī)波動現(xiàn)象越加明顯[20]。工程經(jīng)驗(yàn)表明，轉(zhuǎn)速波動過大會破壞水輪發(fā)電機(jī)組的轉(zhuǎn)矩平衡，從而破壞機(jī)組運(yùn)行的穩(wěn)定性。因此，考慮轉(zhuǎn)速隨機(jī)波動引起力矩變化的特性，分析機(jī)組運(yùn)行穩(wěn)定域的變化規(guī)律是非常必要的。

本文基于剛性水擊條件下水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型，考慮轉(zhuǎn)速波動的隨機(jī)效應(yīng)，建立了新的水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的隨機(jī)動力學(xué)模型，通過隨機(jī)逼近理論和非線性系統(tǒng)穩(wěn)定理論對水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得出了隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)的隨機(jī)動力學(xué)響應(yīng)和穩(wěn)定域的變化規(guī)律。

1 隨機(jī)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)建模

剛性水擊條件下水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動力學(xué)模型可表示為

(1)

式中：ωs為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速額定值；Tab為機(jī)組慣性時(shí)間常數(shù)；mt為水輪機(jī)力矩；ω為發(fā)電機(jī)角速度Pe為發(fā)電機(jī)電磁功率；Dt為水輪機(jī)組阻尼系數(shù)；eqh和ey為水輪機(jī)力矩傳遞函數(shù)；Ty為主接力器時(shí)間常數(shù)；Tw為壓力引水系統(tǒng)水流慣性時(shí)間常數(shù)；e為中間變量；u為控制信號；y為接力器行程輸出。

發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速波動可分為兩種類型，如圖1所示。第一種是發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速在小范圍內(nèi)波動，該范圍一般在額定轉(zhuǎn)速的±1%以內(nèi)，從聲音上難以準(zhǔn)確判斷，其在任意工況下均可能發(fā)生，且無規(guī)律可循；另外一種轉(zhuǎn)速波動范圍變化較大，往往出現(xiàn)在過渡過程中。

圖1 發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速波動示意圖Fig.1 The diagram of the generator speed fluctuation

針對發(fā)電機(jī)隨機(jī)轉(zhuǎn)速波動引起的發(fā)電機(jī)側(cè)力矩的隨機(jī)波動，在發(fā)電機(jī)電磁力矩側(cè)引入隨機(jī)激勵(lì)項(xiàng)

(2)

則水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)隨機(jī)動力學(xué)模型可表示為

(3)

式中：D為隨機(jī)強(qiáng)度；u為隨機(jī)激勵(lì)項(xiàng)。此處采用文獻(xiàn)[21]提出的概率密度函數(shù)p(u)

(4)

基于上述提出的概率密度函數(shù)p(u)，以Chebyshev多項(xiàng)式為正交基，則隨機(jī)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型動態(tài)系數(shù)可表示為

(5)

式中：N為Chebyshev多項(xiàng)式的最大個(gè)數(shù)。

將式(5)代入式(3)，則隨機(jī)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型可表示為

(6)

式中：Pe為發(fā)電機(jī)電磁力矩，其公式可表示為

uPID為控制信號，其公式可表示為

根據(jù)文獻(xiàn)[18]，可以得到Chebyshev多項(xiàng)式的如下關(guān)系表達(dá)式

2U0U1=2U1

2U1U2=2(U3+U1)

…

(7)

(8)

當(dāng)N為某一個(gè)值時(shí)，式(8)為隨機(jī)激勵(lì)項(xiàng)的近似，此處假設(shè)ω-1(t)=0和ωN+1(t)=0。將式(8)代入式(6)，兩側(cè)乘以Chebyshev多項(xiàng)式Ui(u)(i=0,1,2,3,4)[22]，再分別對等式兩邊取關(guān)于u數(shù)學(xué)期望，則式(9)可寫為

(9)

原隨機(jī)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型的逼近隨機(jī)響應(yīng)可表示為

(10)

原隨機(jī)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型的集合平均響應(yīng)可表示為

(11)

2 隨機(jī)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)仿真分析

圖2展示了隨調(diào)速器參數(shù)kd增大確定性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)式(1)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速ω動態(tài)演化過程。由圖2可知，隨調(diào)速器參數(shù)kd增大，水輪發(fā)電機(jī)組共經(jīng)歷四種運(yùn)行狀態(tài)：轉(zhuǎn)速ω偏差遠(yuǎn)大于0的不可調(diào)態(tài)、轉(zhuǎn)速ω偏差為0時(shí)的穩(wěn)定運(yùn)行態(tài)、轉(zhuǎn)速ω偏差幅值范圍(0，0.021 6)的規(guī)律振動態(tài)和轉(zhuǎn)速ω偏差幅值范圍(-0.094,0.171)的隨機(jī)振動態(tài)，即非線性動力學(xué)角度的發(fā)散態(tài)、收斂態(tài)、周期一態(tài)和混沌態(tài)。圖3展示了當(dāng)D=0.02時(shí)隨調(diào)速器參數(shù)kd增大隨機(jī)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)式(10)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速ω動態(tài)演化過程。對比圖2和圖3可發(fā)現(xiàn)，確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)總體動態(tài)演化過程具有相似性；但由于隨機(jī)激勵(lì)的影響，細(xì)節(jié)上仍有所區(qū)別，具體表現(xiàn)為：

(1)確定性系統(tǒng)式(1)由穩(wěn)定運(yùn)行態(tài)分別過渡到不可調(diào)態(tài)和規(guī)律振動態(tài)的兩個(gè)關(guān)鍵值，即非線性動力學(xué)角度的HOPF分岔點(diǎn)，為0.611和1.833；隨機(jī)系統(tǒng)式(10)由穩(wěn)定運(yùn)行態(tài)分別過渡到不可調(diào)態(tài)和規(guī)律振動態(tài)的兩個(gè)關(guān)鍵值為-6.174和-0.097，即隨機(jī)系統(tǒng)式(10)的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)向左移動；

(2)確定性系統(tǒng)式(1)穩(wěn)定運(yùn)行態(tài)下，調(diào)速器參數(shù)kd的可調(diào)范圍為(0.611，1.833)；隨機(jī)系統(tǒng)式(10)穩(wěn)定運(yùn)行態(tài)下，調(diào)速器參數(shù)kd的可調(diào)范圍變?yōu)?-6.174，-0.097)，即隨機(jī)系統(tǒng)式(10)在穩(wěn)定運(yùn)行態(tài)下調(diào)速器參數(shù)kd可調(diào)范圍增大；

(3)調(diào)速器參數(shù)在(-0.097，0.125)內(nèi)變化時(shí)，轉(zhuǎn)速ω變化率很大，機(jī)組過渡振動幅值變化十分明顯；調(diào)速器參數(shù)kd=0.125右側(cè)變化時(shí)，機(jī)組規(guī)律振動態(tài)類似于確定性系統(tǒng)式(1)機(jī)組的運(yùn)行狀態(tài)；

(4)確定性系統(tǒng)式(1)由規(guī)律振動態(tài)過渡到隨機(jī)振動態(tài)的關(guān)鍵值，即非線性動力學(xué)角度的混沌分岔點(diǎn)，為5.722，隨機(jī)系統(tǒng)式(10)狀態(tài)過渡關(guān)鍵值向左移動，變?yōu)?.938。

圖2 隨調(diào)速器參數(shù)kd增大確定性系統(tǒng)式(1)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速ω動態(tài)演化過程Fig.2 Evolution diagram of the fluctuation of generator speed for the deterministic system

圖3 隨調(diào)速器參數(shù)kd增大D=0.02隨機(jī)系統(tǒng)式(10)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速ω動態(tài)演化過程Fig.3 Evolution diagram of the fluctuation of generator speed ω for the stochastic system (10) with D=0.02

圖4為D=0.02和kd=3時(shí)隨機(jī)系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)發(fā)電機(jī)角速度ω、接力器行程y時(shí)域圖和二者的相軌跡圖。從圖4可知，當(dāng)調(diào)速器參數(shù)kd=3和隨機(jī)強(qiáng)度D=0.02時(shí)，確定性系統(tǒng)式(1)和隨機(jī)系統(tǒng)式(10)均處于規(guī)律振動態(tài)，但隨機(jī)系統(tǒng)的發(fā)電機(jī)角速度ω和接力器行程y振動幅值明顯小于確定系統(tǒng)對應(yīng)參數(shù)的振動幅值，隨機(jī)系統(tǒng)的發(fā)電機(jī)角速度ω和接力器行程y構(gòu)成的極限環(huán)面積小于確定系統(tǒng)相應(yīng)極限環(huán)的面積。因此，在隨機(jī)強(qiáng)度D=0.02時(shí)，系統(tǒng)所具有的總能量小于確定系統(tǒng)所具有的總能量值，即隨機(jī)轉(zhuǎn)速波動強(qiáng)度影響水輪發(fā)電機(jī)組所具有的動態(tài)能量值。

圖4 調(diào)速器參數(shù)kd=3隨機(jī)系統(tǒng)(D=0.02)與確定系統(tǒng)動態(tài)過程發(fā)電機(jī)角速度、接力器行程時(shí)域圖和相軌跡圖Fig.4 Time waveforms of the generator speed, the servomotor displacement, and their phase diagram for the stochastic system with D=0.02 and deterministic system when kd=3

下文將以PID調(diào)速器參數(shù)kd為自變量，研究不同隨機(jī)強(qiáng)度下水輪發(fā)電機(jī)組角速度ω穩(wěn)定域的變化規(guī)律。不同隨機(jī)強(qiáng)度下調(diào)速器參數(shù)kd與發(fā)電機(jī)角速度ω動態(tài)演化過程，如圖5所示。

圖5 以PID調(diào)速器參數(shù)kd為自變量不同隨機(jī)強(qiáng)度下發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速ω動態(tài)演化過程Fig.5 Evolution diagrams of the generator speed of the stochastic system (10) with different levels of intensity D and varying of adjustment coefficient kd

從圖5可知，當(dāng)隨機(jī)強(qiáng)度D增大時(shí)，機(jī)組由不可調(diào)態(tài)過渡到穩(wěn)定運(yùn)行態(tài)的關(guān)鍵點(diǎn)(命名為關(guān)鍵點(diǎn)1)逐漸向右移動，振幅變化率逐漸變大的不可調(diào)態(tài)也隨關(guān)鍵點(diǎn)1整體向右平移。值得注意的是，在關(guān)鍵點(diǎn)1向右平移過程中，關(guān)鍵點(diǎn)1右側(cè)水輪發(fā)電機(jī)組運(yùn)行狀態(tài)不受隨機(jī)強(qiáng)度D的影響。因此，調(diào)速器參數(shù)kd的可調(diào)范圍是從左向右逐漸縮減的。在隨機(jī)強(qiáng)度D增大至0.36時(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)1與機(jī)組由穩(wěn)定運(yùn)行態(tài)過渡到規(guī)律振動態(tài)的關(guān)鍵點(diǎn)重合，隨機(jī)系統(tǒng)式(10)的運(yùn)行狀態(tài)由不可調(diào)態(tài)、穩(wěn)定運(yùn)行態(tài)、規(guī)律振動態(tài)和隨機(jī)振動態(tài)縮減為不可調(diào)態(tài)、規(guī)律振動態(tài)和隨機(jī)振動態(tài)。此時(shí)，保證機(jī)組穩(wěn)定運(yùn)行調(diào)速器參數(shù)kd的可調(diào)范圍消失。由于調(diào)速器參數(shù)kd在(-0.097，0.125)內(nèi)變化時(shí)轉(zhuǎn)速ω偏差變化率很大，因此，當(dāng)關(guān)鍵點(diǎn)1移動至(-0.097，0.125)時(shí)，隨機(jī)系統(tǒng)式(10)可能會在不可調(diào)態(tài)和規(guī)律振動態(tài)交替運(yùn)行。隨著隨機(jī)強(qiáng)度D繼續(xù)增大，規(guī)律振動態(tài)會逐漸消失，保證機(jī)組小幅度規(guī)律振動調(diào)速器參數(shù)kd的可調(diào)范圍也會逐漸消失。當(dāng)關(guān)鍵點(diǎn)1移動至機(jī)組由規(guī)律振動態(tài)過渡到隨機(jī)振動態(tài)的關(guān)鍵點(diǎn)，隨機(jī)系統(tǒng)式(10)只保留隨機(jī)振動態(tài)和不可調(diào)態(tài)。為了更加清晰地觀察隨機(jī)強(qiáng)度D對穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)范圍的影響規(guī)律，給出不同隨機(jī)強(qiáng)度下機(jī)組穩(wěn)定域變化，如表1所示。通過上述總結(jié)可發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)速度波動只對機(jī)組關(guān)鍵點(diǎn)1有影響，且隨著隨機(jī)強(qiáng)度D的增大，關(guān)鍵點(diǎn)1及左側(cè)的不可調(diào)態(tài)不斷右移，關(guān)鍵點(diǎn)1右側(cè)機(jī)組的運(yùn)行狀態(tài)保持不變。

表1 不同隨機(jī)強(qiáng)度下機(jī)組運(yùn)行狀態(tài)Tab.1 Operational states of the hydro-turbine generator with different levels of parameter D

3 結(jié) 論

本文考慮了隨機(jī)波動擾速的影響，建立了新的水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)隨機(jī)動力學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，利用隨機(jī)逼近理論和非線性動力學(xué)理論，分析了隨機(jī)激勵(lì)對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響規(guī)律，可得以下結(jié)論：

(1)隨機(jī)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)和原系統(tǒng)動態(tài)演化過程在宏觀運(yùn)行狀態(tài)上比較相似，在隨機(jī)轉(zhuǎn)速波動影響下，隨機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定域、總能量等均發(fā)生變化。

(2)隨著隨機(jī)強(qiáng)度增加，關(guān)鍵點(diǎn)1及左側(cè)不可調(diào)態(tài)整體向右平移，由于關(guān)鍵點(diǎn)1右側(cè)不受隨機(jī)激勵(lì)影響，致使調(diào)速器參數(shù)kd的可調(diào)范圍逐漸縮小。

(3)考慮到隨機(jī)能源接入電網(wǎng)致使發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速隨機(jī)波動性逐漸增大，推薦水電站調(diào)速器參數(shù)kd選值在保證機(jī)組穩(wěn)定運(yùn)行的可調(diào)范圍內(nèi)盡量大些。

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