張 淼， 于 瀾， 鞠 偉

(1. 長(zhǎng)春工程學(xué)院 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130012； 2. 中國(guó)第一汽車股份有限公司 技術(shù)中心，長(zhǎng)春 130011)

許多工程結(jié)構(gòu)往往會(huì)由于自身外界因素的影響，在結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生微小的變化時(shí)，引起結(jié)構(gòu)的部分模態(tài)出現(xiàn)急劇變化的現(xiàn)象，稱之為模態(tài)跳躍現(xiàn)象。這種現(xiàn)象最早是美國(guó)國(guó)家航天局的專家在彈性薄板構(gòu)件的瞬態(tài)屈曲試驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)的，隨后一些學(xué)者作了后續(xù)的研究[1-2]，近年來，這種現(xiàn)象在力學(xué)及工程領(lǐng)域逐漸得到關(guān)注，而研究對(duì)象也由柔性板等簡(jiǎn)單構(gòu)件逐漸向更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變[3-4]。此外，在對(duì)密頻系統(tǒng)與重頻系統(tǒng)的研究過程中[5-6]，研究人員發(fā)現(xiàn)頻率密集極可能會(huì)引起模態(tài)跳躍現(xiàn)象的發(fā)生[7-8]，但這種現(xiàn)象的產(chǎn)生原因及其對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響目前還未被提及。

結(jié)構(gòu)的固有頻率(實(shí)頻率)及固有振型(實(shí)模態(tài))信息是獲得其精確響應(yīng)的基礎(chǔ)[9-10]，它們的變化對(duì)振動(dòng)分析與控制的影響一直是人們關(guān)注的問題，它們的靈敏度值是度量其變化的重要手段。靈敏度分析可以從數(shù)值角度去分析實(shí)模態(tài)和實(shí)頻率發(fā)生變化的位置及程度。同時(shí)，根據(jù)本文的研究可知，靈敏度分析還可以解釋模態(tài)發(fā)生跳躍的原因。

對(duì)于一個(gè)復(fù)雜阻尼系統(tǒng)，首先在設(shè)計(jì)參數(shù)的可行域內(nèi)采樣實(shí)頻率和實(shí)模態(tài)的數(shù)據(jù)，利用三次樣條插值繪制它們關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的曲線圖。通過實(shí)頻率曲線圖可以發(fā)現(xiàn)密頻區(qū)間，重頻點(diǎn)及彎轉(zhuǎn)區(qū)間等。通過實(shí)模態(tài)曲線圖可以發(fā)現(xiàn)模態(tài)跳躍、對(duì)換及尖峭等現(xiàn)象和變化特點(diǎn)，并找出頻率變化與模態(tài)變化之間的內(nèi)在聯(lián)系。其次利用全模態(tài)算法計(jì)算設(shè)計(jì)參數(shù)觀察點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)模態(tài)的一階靈敏度，從而揭示模態(tài)變化的原因，并把數(shù)值計(jì)算結(jié)果與幾何曲線分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)照，以利于準(zhǔn)確而全面地反映系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)變化的規(guī)律。最后針對(duì)在設(shè)計(jì)參數(shù)的觀察點(diǎn)處所構(gòu)成的多種密頻、重頻、接近密頻和接近重頻等實(shí)際結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，利用實(shí)模態(tài)和實(shí)頻率來計(jì)算其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，同樣使用三次樣條插值來獲得響應(yīng)曲線，從而對(duì)比分析模態(tài)跳躍現(xiàn)象對(duì)振動(dòng)分析的影響，以滿足對(duì)各種系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化及控制的需要。

1 基本理論

N自由度的線性離散振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

設(shè)每個(gè)實(shí)模態(tài)的正則(或稱規(guī)范化)常數(shù)為ai， 即

(3)

(K-λiM)φi=0

(4)

實(shí)際上特征矩陣方程式(4)是關(guān)于矩陣M和K的廣義特征問題。 設(shè)Φ=[φ1,φ2,…,φN]為無阻尼正則實(shí)模態(tài)矩陣(下文中在不引起歧義的情況下，正則實(shí)模態(tài)仍簡(jiǎn)稱為實(shí)模態(tài))，對(duì)單頻對(duì)稱系統(tǒng)而言，實(shí)模態(tài)關(guān)于矩陣M和K是加權(quán)正交的。因此

再由式(3)，可得

即

ΦTMΦ=E

(5)

代入式(4)，可得

ΦTKΦ=diag(λ1,λ2,…,λN)

(6)

引入設(shè)計(jì)參數(shù)向量b=(b1,b2,…,bq)T， 相應(yīng)地特征矩陣方程式(4)應(yīng)為K(b)φ(b)-λ(b)M(b)φ(b)=0，為了討論方便，以下我們?nèi)院?jiǎn)記為式(4)的形式。

(7)

將式(4)兩邊對(duì)第j個(gè)參數(shù)bj求導(dǎo),得

K,jφi+Kφi,j=λi,jMφi+λiM,jφi+λiMφi,j

(8)

整理式(8)得實(shí)模態(tài)一階靈敏度φi,j的支配方程為

(K-λiM)φi,j=(λi,jM-K,j+λiM,j)φi

將式(7)代入支配方程，并左乘ΦT, 得

ΦT(K-λiM)Φa(ij)=ΦT(λi,jM-K,j+λiM,j)φi

用單頻系統(tǒng)實(shí)模態(tài)向量之間的規(guī)范正交化關(guān)系式(5)和式(6)解耦支配方程，即可析出一階靈敏度系數(shù)的控制方程為

由第i個(gè)以外的方程可解得一階靈敏度系數(shù)為

(9)

(10)

由式(9)和式(10)即獲得全部一階靈敏度系數(shù)，代入式(7)即可獲得第階實(shí)模態(tài)的一階靈敏度為

(11)

需要說明的是，上文中的實(shí)模態(tài)的一階靈敏度算法對(duì)重頻完備系統(tǒng)中的單頻所對(duì)應(yīng)的實(shí)模態(tài)也是適用的(完備系統(tǒng)指的是N維特征空間中可以找到N個(gè)無關(guān)的特征向量作為基底)，但不適用于重頻所對(duì)應(yīng)的實(shí)模態(tài)的一階靈敏度分析。

一階靈敏度可以反映實(shí)模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)的某些參數(shù)所產(chǎn)生擾動(dòng)的敏感程度，靈敏度越高說明模態(tài)越不穩(wěn)定，因此上述靈敏度的計(jì)算公式可以用于測(cè)量結(jié)構(gòu)模態(tài)的跳躍程度。

由式(11)可知，由于該式右端第二項(xiàng)的分母中含有因子(λk-λi)，而當(dāng)所求模態(tài)落入模態(tài)密集區(qū)時(shí)，它們所對(duì)應(yīng)的頻率差越小，其一階靈敏度系數(shù)就會(huì)相對(duì)越大，因此所求模態(tài)的一階靈敏度就會(huì)較大，這會(huì)導(dǎo)致所求模態(tài)產(chǎn)生跳躍。換句話說，模態(tài)的密集區(qū)間所包含的模態(tài)越多，模態(tài)們的跳躍性就會(huì)越踴躍。另外式(11)還說明，所求模態(tài)的一階靈敏度是由所有模態(tài)的線性組合來表示的，因此那些靈敏度系數(shù)不為零的模態(tài)的取值也會(huì)影響所求模態(tài)的一階靈敏度的大小。再由于式(11)中還含有M,j和K,j，所以這些結(jié)構(gòu)性質(zhì)矩陣關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度也是影響所求模態(tài)的一階靈敏度的大小的因素之一。

綜上所述，實(shí)模態(tài)的跳躍性的影響因素有三個(gè)：①實(shí)頻率的密集程度； ②實(shí)模態(tài)的取值；③結(jié)構(gòu)性質(zhì)矩陣的靈敏度。但是由式(11)可以排除實(shí)頻率的彎轉(zhuǎn)對(duì)實(shí)模態(tài)跳躍性的影響。這是因?yàn)閷?shí)頻率的彎轉(zhuǎn)就會(huì)導(dǎo)致它的靈敏度發(fā)生變化，而在式(11)中不含有實(shí)頻率的靈敏度。

2 數(shù)值算例1

2.1 實(shí)模態(tài)跳躍現(xiàn)象

考慮一個(gè)2自由度的阻尼系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 兩自由度阻尼振動(dòng)系統(tǒng)Fig.1 A two-degree-of-freedom system

其中，質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣分別為

為了得到實(shí)頻率的曲線圖，需進(jìn)行采樣。特征矩陣方程式(4)是個(gè)廣義特征問題，化為一般特征問題為

λiφi=M-1Kφi

(12)

轉(zhuǎn)化為矩陣M-1K的標(biāo)準(zhǔn)特征問題， 其中φi={φi1φi2}T(i=1,2)是經(jīng)過式(3)規(guī)范化后的實(shí)模態(tài)。 令m1=m2=1，k2=0.005，k3=1，取設(shè)計(jì)參數(shù)為k1， 在k1的變化區(qū)間[0.6,1.4]內(nèi)以0.1為步長(zhǎng)間隔，按式(12)采樣實(shí)頻率數(shù)據(jù)，再用三次樣條插值，得到實(shí)頻率λ1與λ2關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k1的擬合曲線圖，如圖2所示。

圖2 實(shí)頻率關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k1的曲線Fig.2 Real frequencies versus k1

由圖2可知，系統(tǒng)在k1=1處發(fā)生兩個(gè)特征值λ1與λ2接近的現(xiàn)象，也就是說，當(dāng)m1=m2=1，k1=1，k2=0.005，k3=1時(shí)系統(tǒng)成為一個(gè)實(shí)頻率密集系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為密頻系統(tǒng)。那么k1取[0.6,1.4]內(nèi)除1以外的其它值時(shí)所形成的系統(tǒng)均稱為接近密頻系統(tǒng)。

與實(shí)頻率的分析過程類似，令m1=m2=1，k3=1，k2=0.005， 而取設(shè)計(jì)參數(shù)為k1，其變化區(qū)間取為0.6～1.4， 以0.1為步長(zhǎng)間隔，獲取由式(5)和式(12)得到的φ1和φ2關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k1的擬合曲線圖，如圖3和圖4所示。

圖3 第1階實(shí)模態(tài)φ1關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k1的曲線Fig.3 The first real mode versus k1

由圖3和圖4可知，φ1和φ2均在k1=1處兩側(cè)發(fā)生了急轉(zhuǎn)和跳躍。因此這里確定了實(shí)模態(tài)跳躍現(xiàn)象是存在的。

圖4 第2階實(shí)模態(tài)φ2關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k1的曲線Fig.4 The second real mode versus k1

2.2 實(shí)模態(tài)跳躍現(xiàn)象的原因分析

當(dāng)k1=1時(shí)，通過計(jì)算可得此密頻結(jié)構(gòu)的兩個(gè)實(shí)模態(tài)為

φ1=(-0.707 1,-0.707 1)T
φ2=(-0.707 1,0.707 1)T

兩個(gè)實(shí)頻率為λ1=1,λ2=1.01。 由式(7)可知

因此，由式(11)得

根據(jù)上面的計(jì)算過程可知，模態(tài)的密集、模態(tài)的取值及結(jié)構(gòu)性質(zhì)矩陣的靈敏度確實(shí)是影響實(shí)模態(tài)跳躍性的重要因素。再由計(jì)算結(jié)果可知，第1階實(shí)模態(tài)的第1維分量在k1=1處的靈敏度為正值，它在此處附近必然單調(diào)增加且幅度劇烈，其第2維分量在k1=1處的靈敏度為負(fù)值，它在此處附近必然單調(diào)減少且幅度劇烈，據(jù)此數(shù)值結(jié)果分析第1階實(shí)模態(tài)必然在k1=1處發(fā)生了跳躍。

這個(gè)數(shù)值結(jié)果分析與圖3所見事實(shí)相符。類似地可以分析第2階實(shí)模態(tài)的跳躍現(xiàn)象及原因。

2.3 實(shí)模態(tài)跳躍現(xiàn)象對(duì)振動(dòng)分析影響

圖5 k1=1時(shí)的密頻系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.5 Response of closed-frequency system at k1=1

圖6 k1=0.8時(shí)的接近密頻系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.6 Response of quasi-closed-frequency system at k1=0.8

圖7 k1=1.2時(shí)的接近密頻系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.7 Response of quasi-closed-frequency system at k1=1.2

由圖3和圖4及本文“2.2”中的分析可知，只有設(shè)計(jì)參數(shù)k1在密頻點(diǎn)1處時(shí)，相應(yīng)的密頻系統(tǒng)的實(shí)模態(tài)靈敏度最大，即模態(tài)的跳躍性最強(qiáng)，但通過圖5、圖6和圖7的對(duì)比分析可知，最密頻系統(tǒng)的響應(yīng)幅度與接近密頻系統(tǒng)的響應(yīng)幅度相比并無顯著變化，這也說明密頻系統(tǒng)的響應(yīng)是穩(wěn)定的。

3 數(shù)值算例2

3.1 實(shí)模態(tài)跳躍現(xiàn)象

考慮一個(gè)具有非比例阻尼的3自度阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，如圖8所示。

圖8 三自由度轉(zhuǎn)子的動(dòng)力模型Fig.8 A three-degree-of-freedom rotor dynamic model

其質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣分別為

令m1=1 kg，m2=1 kg，m3=1 kg，k1=k5=1 000 N/m，k2=k3=0 N/m，c1=c2=c3=10 N/(m·s-1)，c=0 N/(m·s-1)。取設(shè)計(jì)參數(shù)為k4，在k4的變化區(qū)間[970,1 050]內(nèi)以10為步長(zhǎng)間隔，按式(12)采樣實(shí)頻率，再用三次樣條插值，得到實(shí)頻率λ1，λ2和λ3關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k4的擬合曲線圖，如圖9所示。

由于圖9中有重疊的部分，因此給出實(shí)頻率的數(shù)據(jù)，更進(jìn)一步地反映實(shí)頻率的狀態(tài)，見表1。

由圖9和表1可知，當(dāng)k4=1 000時(shí)，系統(tǒng)的三個(gè)實(shí)頻率全都發(fā)生了重復(fù)，稱其為具有3重頻率系統(tǒng)，而

k4在[970,1 050]內(nèi)取除1 000外的其它值時(shí)所形成的系統(tǒng)稱為具有2重頻率系統(tǒng)。用與實(shí)頻率分析類似的方法，即用式(5)和式(12)采樣并插值獲取實(shí)模態(tài)φ1，φ2和φ3關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k4的擬合曲線，如圖10、圖11和圖12所示。

圖9 實(shí)頻率關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k4的曲線Fig.9 Real frequencies versus k4

參數(shù)數(shù)值k49809901 0001 0101 0201 0301 040λ19809901 0001 0001 0001 0001 000λ21 0001 0001 0001 0001 0001 0001 000λ31 0001 0001 0001 0101 0201 0301 040

圖10 第1階實(shí)模態(tài)φ1關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k4的曲線Fig.10 The first real mode versus k4

圖11 第2階實(shí)模態(tài)φ2關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k4的曲線Fig.11 The second real mode versus k4

圖12 第3階實(shí)模態(tài)φ3關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k4的曲線Fig.12 The third real mode versus k4

由圖10和圖12可知，φ1和φ3均在k4=1 000附近發(fā)生了急轉(zhuǎn)和跳躍，而在其它點(diǎn)處相對(duì)穩(wěn)定。在圖11中顯示，無論設(shè)計(jì)參數(shù)k4如何變化φ2都保持了絕對(duì)的穩(wěn)定。與上一個(gè)算例一樣，我們同樣證實(shí)了實(shí)模態(tài)跳躍現(xiàn)象是存在的。

3.2 實(shí)模態(tài)跳躍現(xiàn)象的原因分析

從圖10可知，第1階實(shí)模態(tài)在設(shè)計(jì)參數(shù)k4從990～1 000的過程中，發(fā)生了跳躍。而跳躍現(xiàn)象發(fā)生的具體位置不能在圖中得以確定，在不加密采樣節(jié)點(diǎn)的情況下，下面從數(shù)值角度來確定模態(tài)發(fā)生跳躍的位置，并分析模態(tài)跳躍的原因。

首先當(dāng)k4=990時(shí)，通過計(jì)算可得此具有2重頻率系統(tǒng)的三個(gè)實(shí)模態(tài)為φ1=(0,0,1)T,φ2=(0,1,0)T,φ3=(1,0,0)T, 三個(gè)實(shí)頻率為λ1=990,λ2=1 000,λ3=1 000，且它的三個(gè)實(shí)模態(tài)φ1，φ2和φ3是線性無關(guān)的，這說明系統(tǒng)是一個(gè)完備的具有2重頻率系統(tǒng)，其第1階實(shí)模態(tài)的靈敏度可以通過本文的方法求解。由式(7)可知

最后由式(11)得

φ1,k4=0

由于這是一個(gè)疑似發(fā)生跳躍的位置，為了驗(yàn)證計(jì)算的靈敏度的正確性，考慮再用差分靈敏度作進(jìn)一步的分析。分別取設(shè)計(jì)參數(shù)的擾動(dòng)量為Δk4=±0.01， Δk4=±0.001， Δk4=±0.000 1， Δk4=±0.000 01時(shí)分別計(jì)算系統(tǒng)的第1階實(shí)模態(tài)的左側(cè)和右側(cè)的一階差分靈敏度，其結(jié)果均為0。因此計(jì)算靈敏度φ1,k4=0的結(jié)論是正確的，第1階實(shí)模態(tài)在此點(diǎn)附近相對(duì)穩(wěn)定，并沒有發(fā)生跳躍。

再繼續(xù)尋找跳躍位置。在k4=1 000時(shí)這個(gè)系統(tǒng)的三個(gè)實(shí)頻率均相同，所以通過計(jì)算可得此時(shí)系統(tǒng)的三個(gè)實(shí)模態(tài)分別為φ1=(1,0,0)T，φ2=(0,1,0)T,φ3=(0,0,1)T顯然它們是線性無關(guān)的，因此這是一個(gè)重頻完備系統(tǒng)。由于所求的第1階實(shí)模態(tài)是重頻所對(duì)應(yīng)的模態(tài)，現(xiàn)考慮用差分方法來估計(jì)第1階模態(tài)的一階靈敏度。分別取設(shè)計(jì)參數(shù)的擾動(dòng)量為Δk4=±0.01， Δk4=±0.001， Δk4=±0.000 1時(shí)分別計(jì)算系統(tǒng)的第1階實(shí)模態(tài)的一階左側(cè)及右側(cè)差分靈敏度，數(shù)值結(jié)果見表2。

由表2的數(shù)據(jù)說明第1階實(shí)模態(tài)φ1在點(diǎn)k4=1 000處是不可導(dǎo)的，這當(dāng)然會(huì)導(dǎo)致φ1在k4=1 000處發(fā)生跳躍。類似地可分析得到第3階實(shí)模態(tài)在點(diǎn)k4=1 000處是不可導(dǎo)的，但第2階實(shí)模態(tài)在點(diǎn)k4=1 000處的計(jì)算靈敏度與差分靈敏度均為0。以上數(shù)值分析結(jié)果與圖10、圖11和圖12所示的事實(shí)相符。

表2 第1階實(shí)模態(tài)在k4=1 000處的差分靈敏度計(jì)算結(jié)果

通過以上分析可說明，對(duì)實(shí)頻率重復(fù)系統(tǒng)來說，因?yàn)槟B(tài)可能存在不可導(dǎo)現(xiàn)象，因此它們極可能會(huì)發(fā)生跳躍。

3.3 實(shí)模態(tài)跳躍現(xiàn)象對(duì)振動(dòng)分析影響

圖13 k4=1 000時(shí)的重頻系統(tǒng)響應(yīng)Fig.13 Response of multi-frequency system at k4=1 000

圖14 k4=970時(shí)的接近重頻系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.14 Response of quasi-multi-frequency system at k4=970

圖15 k4=1 020時(shí)的接近重頻系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.15 Response of quasi-multi-frequency system at k4=1 020

由圖10、圖11和圖12及本文“3.2”中的分析可知，結(jié)構(gòu)實(shí)模態(tài)在k4=1 000時(shí)跳躍性最強(qiáng)，但由圖13、圖14和圖15對(duì)比分析可知，實(shí)模態(tài)的跳躍性對(duì)振動(dòng)分析的影響并不大。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)由設(shè)計(jì)參數(shù)變化所產(chǎn)生的實(shí)頻率密集及實(shí)頻率重復(fù)等系統(tǒng)，展示了實(shí)模態(tài)可能發(fā)生的跳躍現(xiàn)象，并利用模態(tài)的一階靈敏度分析了這種跳躍產(chǎn)生的原因。然后在對(duì)這些系統(tǒng)施加相同的簡(jiǎn)諧激勵(lì)后，分析模態(tài)跳躍性對(duì)其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)所產(chǎn)生的影響，可得到如下結(jié)論：

(1) 實(shí)模態(tài)在其不可導(dǎo)處會(huì)發(fā)生跳躍現(xiàn)象。

(2) 實(shí)頻率的密集會(huì)導(dǎo)致跳躍現(xiàn)象的發(fā)生，且密頻程度越高時(shí)，模態(tài)的跳躍性越強(qiáng)。

(3) 實(shí)頻率的彎轉(zhuǎn)并不是直接導(dǎo)致模態(tài)靈敏度變化的明顯因素。

(4) 結(jié)構(gòu)的性質(zhì)矩陣的靈敏度及實(shí)模態(tài)的取值也是影響模態(tài)變化的不可忽視的原因。

(5) 雖然某些重頻系統(tǒng)的模態(tài)跳躍性最強(qiáng)，但這種現(xiàn)象對(duì)它的振動(dòng)響應(yīng)的影響并不大。

(6) 雖然某些最密頻系統(tǒng)的模態(tài)跳躍性最強(qiáng)，但是最密頻系統(tǒng)的響應(yīng)與其它接近密頻系統(tǒng)的響應(yīng)相比振幅卻是最小的。

參 考 文 獻(xiàn)

[ 1 ] EDUARD R，CHARLE C R，F(xiàn)RANCIS A B. On the solution of mode jumping phenomena in thin-walled shell structures[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1996,136(1/2): 59-92.

[ 2 ] EVERALL P R，HUNT G W. Mode jumping in the buckling of struts and plates: a comparative study[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2000,35(6): 1067-1079.

[ 3 ] 于巖磊，高維成，劉偉，等. 密集模態(tài)結(jié)構(gòu)模態(tài)躍遷分析的簡(jiǎn)化攝動(dòng)法[J]. 工程力學(xué)，2012, 29(3): 33-39.

YU Yanlei, GAO Weicheng, LIU Wei, et al. Simplified perturbation mehtod for analyzing the mode jumping of closed mode structure [J]. Engineering Mechanics, 2012, 29(3): 33-39.

[ 4 ] 蔣友寶，馮健，孟少平. 結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中模態(tài)躍遷的研究[J]. 工程力學(xué)，2006, 23(6): 35-40.

JIANG Youbao, FENG Jian, MENG Shaoping. Mode jumping research in structural damage identification[J]. Engineering Mechanics, 2006, 23 (6): 35-40.

[ 5 ] 張淼，于瀾，鞠偉. 重頻結(jié)構(gòu)模態(tài)靈敏度分析的高精度截模態(tài)算法[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2014, 27(4): 526-532.

ZHANG Miao, YU Lan, JU Wei. A high accuracy truncated modal algorithm of sensitivity analysis for multiple-frequency structure[J]. Journal of Vibration Engineering, 2014, 27(4): 526-532.

[ 6 ] 張淼，于瀾，鞠偉. 模態(tài)跳躍現(xiàn)象對(duì)振動(dòng)分析的影響研究[J]. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015, 38(11): 1524-1529.

ZHANG Miao, YU Lan, JU Wei. Reserch on the effect of modal jumping phenomenon on vibration analysis[J]. Journal of Hefei University of Technology (Nature Secience), 2015, 38(11): 1524-1529.

[ 7 ] 劉瀟翔，胡軍. 包含密集模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)的模糊主動(dòng)振動(dòng)控制[J]. 空間控制技術(shù)與應(yīng)用, 2010,36(4): 18-24.

LIU Xiaoxiang, HU Jun. Fuzzy vibration control of space structures with close modes[J]. Aerospace Control and Application, 2010,36(4): 18-24.

[ 8 ] 劉利軍，樊江玲，張志誼，等. 密頻系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辯識(shí)及其振動(dòng)控制的研究進(jìn)展[J]. 振動(dòng)與沖擊，2007, 26(4): 109-115.

LIU Lijun, FAN Jiangling, ZHANG Zhiyi, et al. Study progresses in modal parameters identification and vibration control of systems with crowded modes[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(4): 109-115.

[ 9 ] 譚平，卜國(guó)雄，劉紅軍，等. 帶TMD結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震響應(yīng)分析的新方法[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30(4): 390-394.

TAN Ping, BU Guoxiong, LIU Hongjun, et al. A new method for the random earthquake response analysis of the TMD-Structure[J]. Transactions of Beijng Institute of Technology, 2010,30(4): 390-394.

[10] 陳臻林. 大型結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的狀態(tài)方程的Krylov精細(xì)時(shí)程積分法[J]. 力學(xué)與實(shí)踐，2010, 32(2): 76-81.

CHEN Zhenlin. Krylov precise time-step integration algorithm for large-scale structure dynamic equations[J]. Mechanics in Engineering, 2010, 32(2): 76-81.

[11] 張淼，于瀾，鞠偉. 基于頻響函數(shù)矩陣計(jì)算阻尼系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的新方法[J]. 振動(dòng)與沖擊，2014，33(4): 161-166.

ZHANG Miao, YU Lan, JU Wei. A new method for computing dynamic response of a damped linear system based on frequency response function matrix[J]. Journal of Vibration and Shock , 2014,33(4): 161-166.