毛北行，周長芹

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州 450015)

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)大量存在于現(xiàn)實(shí)世界，并激起了眾多愛好者的極大興趣.[1-4]考慮分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑?？刂剖菢O具挑戰(zhàn)性的控制課題，故其引起了學(xué)者們的密切關(guān)注.[5-11]文獻(xiàn)[12]利用適應(yīng)控制方法研究了具有終端角度約束的滑模制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[13]基于滑模方法研究了R?ssler系統(tǒng)的同步問題；文獻(xiàn)[14]利用滑模方法研究了分?jǐn)?shù)階振子網(wǎng)絡(luò)的同步；文獻(xiàn)[15]基于滑模控制研究了分?jǐn)?shù)階異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的同步問題；文獻(xiàn)[16]基于滑模控制研究了分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)的同步.本文研究了不確定分?jǐn)?shù)階Duffling混沌系統(tǒng)的終端滑模同步，獲得了分?jǐn)?shù)階不確定Duffling系統(tǒng)的主從系統(tǒng)取得滑模同步的充分條件.

定義1[17]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

1 分?jǐn)?shù)階不確定Duffling系統(tǒng)的滑模同步

以分?jǐn)?shù)階不確定Duffling混沌系統(tǒng)作為主系統(tǒng)

(1)

系統(tǒng)參數(shù)a=-1，b=0.25，c=0.5，ω=1，α=0.873時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài).從系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

(2)

假設(shè)1Δg(y1，y2)+d(t)=f(t).

假設(shè)2|f(t)|≤M|e2(t)|.

假設(shè)3e2(t)=0時(shí)，f(t)=0，e2(t)≠0時(shí)，f(t)≠0.

假設(shè)40

定義ei=yi-xi(i=1，2)，得到誤差方程

不在滑模面上時(shí)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

則：

s(t)[-M|e2|sgns-ηsgn(s(t))+f(t)]≤
-M|e2||s(t)|+M|e2||s(t)|-η|s(t)|=-η|s(t)|<0.

由引理2，s(t)→0.

2 分?jǐn)?shù)階不確定Duffling系統(tǒng)的終端滑模同步

假設(shè)5存在m，n>0，使得|Δg(y1，y2)|

定義ei=yi-xi(i=1，2)，可得誤差系統(tǒng)為

(3)

設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階終端滑模函數(shù)

(4)

定理2在分?jǐn)?shù)階非奇異滑模面(4)上，系統(tǒng)誤差(3)的軌跡能在有限時(shí)間內(nèi)趨于原點(diǎn).

設(shè)計(jì)控制器為雙冪次趨近律

(5)

其中k1>0，k2>0，γ>1，0<μ<1.

定理3在滿足假設(shè)5的條件下，如果構(gòu)造控制器(5)，則誤差系統(tǒng)(3)的軌跡能達(dá)到滑模面.

由假設(shè)條件5可得

根據(jù)引理2，s(t)→0.

3 數(shù)值仿真

利用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，取系統(tǒng)參數(shù)a=-1，b=0.25，c=0.5，ω=1，α=0.873.

定理1中設(shè)計(jì)Δg=-0.05siny1，d(t)=0.2cos(t)，η=2.設(shè)置系統(tǒng)初始值為(x1(0)，x2(0))=(0.1，0.2)，(y1(0)，y2(0))=(0.5，-0.6).控制律

定理3中選取參數(shù)r=1.5，λ=6，k1=10，k2=4，γ=2，μ=0.5.設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)新型雙冪次趨近律來設(shè)計(jì)控制律為

該趨近律收斂速度較快.設(shè)置系統(tǒng)初始值為(x1(0)，x2(0))=(0.1，0.2)，(y1(0)，y2(0))=(-1.6，-0.55)，其系統(tǒng)誤差如圖2所示.

從圖1—2可以發(fā)現(xiàn)：定理1中t>0.264 s以后，系統(tǒng)誤差逐漸趨于零，表明系統(tǒng)達(dá)到同步；定理3中t>0.237 s以后，誤差逐漸趨于坐標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)取得同步化；定理3達(dá)到同步所需時(shí)間較定理1少，系統(tǒng)更快趨于同步，表明采用雙冪次趨近控制律控制效果良好.

圖1 定理1中系統(tǒng)的誤差曲線

4 結(jié)論

研究了分?jǐn)?shù)階不確定Duffling混沌系統(tǒng)的滑模同步問題，構(gòu)造分?jǐn)?shù)階滑模函數(shù)和控制律可以使驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)滑模達(dá)到混沌同步.仿真實(shí)例驗(yàn)證了方法的正確性.

[參 考 文 獻(xiàn)]

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