劉文強(qiáng)，邱力軍，楊 鵬

(西京學(xué)院理學(xué)院，陜西 西安 710123)

0 引言

投資策略選擇問題是數(shù)理金融中一個(gè)熱點(diǎn)問題.諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主Markowitz[1]第一次給出了投資策略選擇問題，其給出的模型是離散的.最近30年來隨著隨機(jī)分析、帶跳的隨機(jī)微分方程以及倒向隨機(jī)微分方程理論的發(fā)展，越來越多的學(xué)者研究連續(xù)模型中的投資策略選擇問題.文獻(xiàn)[2]引入線性二次控制法來研究最優(yōu)投資問題，在其基礎(chǔ)上，目前已有很多文獻(xiàn)研究了連續(xù)時(shí)間投資策略的選擇問題.[3-5]

近年來，隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展，通貨膨脹變得越來越嚴(yán)重，人們資金貶值的速度在加快，所以研究基于通貨膨脹影響的投資策略問題有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.在效用最大情形下，文獻(xiàn)[6]考慮了最優(yōu)投資-消費(fèi)問題；文獻(xiàn)[7]在部分信息下也研究了最優(yōu)投資-消費(fèi)問題；文獻(xiàn)[8]研究了在均值-方差準(zhǔn)則下，通貨膨脹因素的投資策略.

上述提到的文獻(xiàn)是時(shí)間不一致的，研究時(shí)間一致的投資策略更有意義.文獻(xiàn)[9]考慮了經(jīng)典保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)間一致的均值-方差再保險(xiǎn)-投資策略選擇問題；Zeng等[10-11]研究了Heston模型在時(shí)間一致情形下的投資策略，并在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)帶跳情形下，討論了時(shí)間一致的最優(yōu)策略選擇問題；文獻(xiàn)[12]也探討了時(shí)間一致的投資策略選擇問題，其考慮的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)滿足CEV模型.另外，還有一些學(xué)者研究類似問題.[13-14]

基于上面的考慮，本文研究了通貨膨脹影響下時(shí)間一致的投資策略.通貨膨脹滿足的隨機(jī)微分方程和文獻(xiàn)[6-8]一樣，通貨膨脹影響的處理方式類似于文獻(xiàn)[8].通過使用隨機(jī)控制理論，本文構(gòu)造了一個(gè)檢驗(yàn)定理，通過求解檢驗(yàn)定理得到了時(shí)間一致的最優(yōu)投資策略.最后，分析了一些模型參數(shù)對時(shí)間一致的最優(yōu)投資策略的影響，解釋了研究結(jié)果在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的意義.

1 數(shù)理模型

設(shè)(Ω，F(xiàn)，F(xiàn)，P)為完備的附流概率空間.其中：P為概率；流F∶={F(t)|t∈[0，T]}關(guān)于F是右連續(xù)，關(guān)于P是完備的.金融市場包含一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)，假設(shè)在金融市場上進(jìn)行投資時(shí)，不考慮交易費(fèi)用.無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)的價(jià)格為B(t)，滿足方程dB(t)=r(t)B(t)dt，其中r(t)>0表示利率.風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)的價(jià)格P(t)滿足方程

dP(t)=P(t)[μ(t)dt+σ(t)dW1(t)].

這里μ(t)≥r(t)表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的平均收益率，σ(t)>0表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率，{W1(t)，t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

類似文獻(xiàn)[6-8]，本文也假設(shè)物價(jià)水平L(t)滿足隨機(jī)微分方程

dL(t)=L(t)[a(t)dt+b(t)dW2(t)].

(1)

其中：a(t)是期望通貨膨脹率；b(t)為通貨膨脹擴(kuò)散率；{W2(t)，t≥0}是一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，表示影響物價(jià)指數(shù)水平的隨機(jī)因素.現(xiàn)實(shí)中，影響風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)價(jià)格與影響物價(jià)水平的隨機(jī)因素可能相關(guān)，假設(shè)相關(guān)系數(shù)為ρ(t)，即〈W1(t)，W2(t)〉=ρ(t).

設(shè)投資者在時(shí)刻t具有財(cái)富x(t)，投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的金額為π(t)，余下的資金投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)上，所以投資之后盈余過程x(t)滿足如下的隨機(jī)微分方程：

(2)

由于本文考慮了通貨膨脹影響，假設(shè)考慮通貨膨脹后的真實(shí)財(cái)富為y(t)，y(t)=x(t)/L(t).對y(t)應(yīng)用It公式得到y(tǒng)(t)滿足隨機(jī)微分方程

dy(t)=y(t){[m(t)+n(t)π(t)]dt+σ(t)π(t)dW1(t)-b(t)dW2(t)}，

(3)

這里m(t)=r(t)-a(t)+b2(t)，n(t)=μ(t)-r(t)-b(t)σ(t)ρ(t).

定義1投資策略π(t)稱為可行的，若滿足：

(ⅰ)π(t)關(guān)于F循序可測，且為右連左極的；

(ⅲ) 隨機(jī)微分方程(3)關(guān)于策略π(t)有唯一的強(qiáng)解.

記所有可行的保險(xiǎn)和投資策略的集合為Π.

2 時(shí)間一致的最優(yōu)投資策略

與文獻(xiàn)[10]類似，定義目標(biāo)函數(shù)為

(4)

其中：(t，y)∈T×R；Et，y[·]=E[·|y(t)=y]；γ>0為常數(shù)，表示投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù).

則稱π*(t，y)為平衡策略，對應(yīng)的平衡值函數(shù)是V(t，y)=V(t，y，π*).

和文獻(xiàn)[10]一樣，利用定義2得到時(shí)間一致策略剛好等于平衡策略；通常的最優(yōu)值函數(shù)恰好等于平衡值函數(shù).下文稱平衡策略u*與平衡值函數(shù)為最優(yōu)時(shí)間一致策略和最優(yōu)值函數(shù).

3 問題求解

這里對于財(cái)富盈余過程(3)求解時(shí)間一致的最優(yōu)投資策略與最優(yōu)的值函數(shù).和文獻(xiàn)[13]中的定理2.1或文獻(xiàn)[14]中的定理2.1類似地給出如下的檢驗(yàn)定理.

定理1(檢驗(yàn)定理) 設(shè)F(t，y)，G(t，y)，H(t，y)定義在[0，T]×R上，它們關(guān)于t連續(xù)、可微，關(guān)于y二階連續(xù)、可微，即F，G，H∈C1，2.如果F，G，H滿足方程：

(5)

(6)

(7)

則：

V(t，y)=F(t，y)，G(t，y)=Et，y[y(T)]，H(t，y)=Et，y[y2(T)]；

(8)

π*(t)是時(shí)間一致的最優(yōu)投資策略，滿足

證明本定理的證明可參考文獻(xiàn)[13]中的定理2.1或者文獻(xiàn)[11]中的定理2.1，本文不再證明.

從(4)式和定理1可得

所以

H(t，y)=G2(t，y)+0.5γ[G(t，y)-F(t，y)].

(9)

綜合考慮盈余過程的結(jié)構(gòu)和邊界條件F(T，y)=y和G(T，y)=y，與文獻(xiàn)[9]與[14]類似地構(gòu)造F(t，y) 和G(t，y)為：

F(t，y)=A(t)y+B(t)/γ，A(T)=1，B(T)=0；

(10)

G(t，y)=C(t)y+D(t)/γ，C(T)=1，D(T)=0.

(11)

其偏導(dǎo)數(shù)如下：

Ft=A′(t)y+B′(t)/γ，F(xiàn)y=A(t)，F(xiàn)yy=0；

Gt=C′(t)y+D′(t)/γ，Gy=C(t)，Gyy=0.

把F(t，y)和G(t，y)的表達(dá)式，(9)式，以及上面的各偏導(dǎo)數(shù)代入(5)式得

(12)

設(shè)f(π(t))=n(t)y(t)A(t)π(t)-0.5y2(t)C2(t)γ[σ2(t)π2(t)-2b(t)σ(t)π(t)]，f(π(t))關(guān)于π(t)求導(dǎo)數(shù)得

(13)

將(13)式代入(12)式整理得

(14)

從而

(15)

(16)

將(13)式代入(6)式中整理得

(17)

故

(18)

(19)

綜合(15)—(18)式，

(20)

(21)

(22)

通過上述討論有如下定理.

定理2對于財(cái)富過程(3)，最優(yōu)的時(shí)間一致的投資策略為

(23)

平衡值函數(shù)為

(24)

在最優(yōu)策略和終止時(shí)刻T下，財(cái)富過程的方差為

(25)

證明結(jié)合(13)和(20)式，可以得到(23)式；由(10)，(20)和(21)式，可得(23)式；由(19)—(11)與(20)—(22)式，可以得到(25)式.

4 數(shù)值算例及經(jīng)濟(jì)意義分析

這里給出模型參數(shù)改變時(shí)參數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響，同時(shí)分析所得到的投資策略對現(xiàn)實(shí)中保險(xiǎn)人進(jìn)行再保險(xiǎn)和投資的指導(dǎo)意義.

例1取μ(t)=0.04，r(t)=0.02，σ(t)=0.05，γ=0.2，ρ(t)=0.2，y(t)=10，T-t=2，b(t)=0.4，a(t)∈[0.01，0.04].圖1給出了a(t)對時(shí)間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖1可以看出π*(t)關(guān)于a(t)單調(diào)遞增，a(t)是期望通貨膨脹率，說明隨著通脹率的增大，投資人希望加大在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資資金，以此減小資金貶值的速度.

例2取μ(t)=0.04，r(t)=0.02，σ(t)=0.05，γ=0.2，ρ(t)=0.2，y(t)=10，T-t=2，a(t)=0.04，b(t)∈[0.1，0.4].圖2給出了b(t)對時(shí)間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖2可以看出π*(t)關(guān)于b(t)單調(diào)遞減，b(t)為通貨膨脹擴(kuò)散率，也就是說隨著通貨膨脹不確定因素的增加，投資者會(huì)減小在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資額.

圖1 a(t)對π*(t)的影響

例3取a(t)=0.04，r(t)=0.02，σ(t)=0.05，γ=0.2，ρ(t)=0.2，y(t)=10，T-t=2，b(t)=0.4，μ(t)∈[0.03，0.06].圖3給出了μ(t)對時(shí)間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖3可得π*(t)是μ(t) 的單調(diào)遞增函數(shù)，μ(t)是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的平均收益率，表明μ(t)增大投資者從風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資收益將增大，投資者會(huì)冒風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行投資.

例4取μ(t)=0.04，b(t)=0.4，σ(t)=0.05，γ=0.2，ρ(t)=0.2，y(t)=10，T-t=2，a(t)=0.04，r(t)∈[0.01，0.03].圖4給出了r(t)對時(shí)間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖4可得π*(t)是r(t) 的單調(diào)遞減函數(shù)，r(t)是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率，說明隨著r(t)的增大投資者從無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的收益將增加，因此會(huì)減少在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資金額.

圖3 μ(t)對π*(t)的影響

例5取μ(t)=0.04，r(t)=0.02，a(t)=0.04，γ=0.2，ρ(t)=0.2，y(t)=10，T-t=2，b(t)=0.4，σ(t)∈[0.05，0.08].圖5給出了σ(t)對時(shí)間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖5可知π*(t)是σ(t) 的單調(diào)遞減函數(shù)，σ(t)是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率，σ(t)增大表明投資風(fēng)險(xiǎn)增大，因此投資者會(huì)減少在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資金額.

例6取μ(t)=0.04，r(t)=0.02，σ(t)=0.05，γ=0.2，b(t)=0.4，y(t)=10，T-t=2，a(t)=0.04，ρ(t)∈[-0.2，0.2].圖6給出了ρ(t)對時(shí)間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖5可知π*(t)是ρ(t) 的單調(diào)遞減函數(shù)，ρ(t)表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和通貨膨脹因素之間的相關(guān)系數(shù)，說明隨著相關(guān)性增大，投資者會(huì)減少在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資金額.

圖5 σ(t)對π*(t)的影響

[參 考 文 獻(xiàn)]

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