趙歡喜，初小宇

中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083

1 引言

基于截面數(shù)據(jù)的曲面重建是指根據(jù)已知的三維物體的若干截面上的數(shù)據(jù)點(diǎn)或者曲線數(shù)據(jù)，重新構(gòu)建其立體數(shù)字化模型的過(guò)程。目前，曲面重建技術(shù)被大量應(yīng)用到船體表面重建、工業(yè)產(chǎn)品樣品制造以及CT切面模型重構(gòu)等重要領(lǐng)域中，一個(gè)還原精確、數(shù)據(jù)冗余量小的重建模型對(duì)實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)目標(biāo)至關(guān)重要。

在曲面重建過(guò)程中，基于截面數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并重建曲面是經(jīng)常遇到的問(wèn)題，這類數(shù)據(jù)由一組有序的截面輪廓線組成，每條截面線上有若干個(gè)有序排列的三維數(shù)據(jù)點(diǎn)。對(duì)于這類問(wèn)題，目前常用的方法步驟如下：（1）分別對(duì)每行截面數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，構(gòu)成一組有序的截面曲線；（2）對(duì)這組截面線通過(guò)蒙皮、拉伸等方法構(gòu)造待建曲面。NURBS曲面由于其優(yōu)秀的幾何性質(zhì)和在自由曲面造型和規(guī)則曲面造型中良好的表現(xiàn)力，目前被大量應(yīng)用于曲面重建中；然而NURBS方法進(jìn)行曲面重建面臨著如何獲取一組節(jié)點(diǎn)矢量相同的截面曲線的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)直接的節(jié)點(diǎn)插入解決，但這使控制頂點(diǎn)反求的計(jì)算過(guò)程變得非常復(fù)雜，最后重建的曲面上將產(chǎn)生大量的控制頂點(diǎn)，造成了數(shù)據(jù)量膨脹，并且隨著截面數(shù)目的增加，該問(wèn)題變得更加顯著。

針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于如何在不犧牲曲面精度的條件下減少截面線上的控制頂點(diǎn)數(shù)，做了大量的研究[1-12]。文獻(xiàn)[1]將其轉(zhuǎn)化為帶約束的能量最小化問(wèn)題，使用法向量的梯度作為能量值，用水平集函數(shù)表示曲面，通過(guò)求該問(wèn)題的解來(lái)得到曲面；文獻(xiàn)[2]提出一種基于預(yù)制模板的曲面重建方法，通過(guò)放縮和變換進(jìn)行原始輪廓與模板之間的匹配，隨后通過(guò)重新參數(shù)化來(lái)得到控制頂點(diǎn)；文獻(xiàn)[3]中Piegl和Tiller通過(guò)直接尋找一條理想的節(jié)點(diǎn)矢量來(lái)減少控制頂點(diǎn)的數(shù)量，該方法在減少數(shù)據(jù)冗余上效果顯著，但得到的曲面形狀是否精確非常依賴于節(jié)點(diǎn)矢量的設(shè)置是否理想；文獻(xiàn)[4]中Liu等引入了細(xì)分方法來(lái)改善截面上數(shù)據(jù)點(diǎn)大量增加的問(wèn)題；文獻(xiàn)[5]中，Shamsuddin在上文的基礎(chǔ)上提出了一種改良的向心參數(shù)化方法，先尋找控制頂點(diǎn)數(shù)最多的截面線，在誤差容忍的范圍內(nèi)來(lái)減少曲線上的控制頂點(diǎn)數(shù)，用求得的節(jié)點(diǎn)矢量調(diào)整剩余的截面線，達(dá)到減少控制頂點(diǎn)數(shù)的目的；文獻(xiàn)[6]中，曲學(xué)軍等基于統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律進(jìn)行了分析，從而確定初始節(jié)點(diǎn)向量，合理地控制了生成的曲面上的控制頂點(diǎn)數(shù)目；文獻(xiàn)[7-8]提出一種可調(diào)節(jié)區(qū)間的方法來(lái)調(diào)整控制頂點(diǎn)，在彈性區(qū)間內(nèi)尋找盡量相近的節(jié)點(diǎn)并合并，能夠有效地減少數(shù)據(jù)冗余，也能獲得較為滿意的參數(shù)化結(jié)果，但該方法受噪聲的影響較大；文獻(xiàn)[9-11]通過(guò)重采樣重新取點(diǎn)，并進(jìn)行重新參數(shù)化，從而求得一系列匹配點(diǎn)對(duì)，減少了節(jié)點(diǎn)矢量相容過(guò)程中的大量節(jié)點(diǎn)插入；文獻(xiàn)[12]先構(gòu)造低階的插值曲線和曲面來(lái)擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)，隨后逐漸升階來(lái)逼近待建曲面，避免了數(shù)據(jù)的參數(shù)化和節(jié)點(diǎn)向量選取不當(dāng)造成的形狀扭曲問(wèn)題，但缺乏擬合復(fù)雜曲面的能力。以上方法都是通過(guò)構(gòu)造合適的公共節(jié)點(diǎn)向量來(lái)實(shí)現(xiàn)曲線的相容性擬合，雖然相對(duì)之前的方法能夠有效地減少控制頂點(diǎn)的數(shù)目，曲面得到了壓縮，但是NURBS曲面需使用矩形網(wǎng)格的控制點(diǎn)這一缺點(diǎn)沒(méi)有得到根本解決，這使得很多的控制點(diǎn)存在的意義只是為了滿足拓?fù)渖系南拗疲](méi)有提供實(shí)際有意義的幾何信息，最后構(gòu)造出的曲面依然存在大量的冗余控制點(diǎn)。目前針對(duì)這種情況的研究較少，文獻(xiàn)[13-16]采用T樣條曲面來(lái)構(gòu)造曲面，控制網(wǎng)格中可以存在T型的控制頂點(diǎn)，從而可以基于節(jié)點(diǎn)向量不同的截面線直接進(jìn)行曲面擬合，有效地改善節(jié)點(diǎn)插入帶來(lái)的數(shù)據(jù)量增大問(wèn)題，同時(shí)保留了良好的局部控制能力，不過(guò)T樣條曲面在進(jìn)行網(wǎng)格化和處理曲面拼接上更加麻煩。

為了避免NURBS方法中構(gòu)建曲面需要進(jìn)行的節(jié)點(diǎn)矢量相容的過(guò)程，同時(shí)能夠直接通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)插值來(lái)構(gòu)造更精確的待建曲面，本文提出了一種雙方向融合插值的C1參數(shù)曲面重建方法，利用融合的思想來(lái)構(gòu)造截面曲線并處理曲面拼接，取得了較好的冗余量減少的效果。

2 融合曲面重建方法

本文提出的雙方向融合插值的C1參數(shù)曲面重建方法共分兩步，第一步插值截面上相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造曲線段，然后引入融合算法[17-18]將曲線段進(jìn)行拼接，以得到光滑的截面輪廓曲線；第二步，插值相鄰截面的輪廓曲線構(gòu)建一系列曲面片，再次使用融合算法將所有曲面片進(jìn)行拼接，從而得到一個(gè)光滑的待建曲面。該方法可以基于原始數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目不同的截面進(jìn)行分段插值曲面重建，不會(huì)產(chǎn)生由于節(jié)點(diǎn)插入帶來(lái)的大量的數(shù)據(jù)冗余以及復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程；本方法同時(shí)采用了融合的思想來(lái)處理分段曲線、曲面的拼接，改良了傳統(tǒng)參數(shù)曲線、曲面拼接方法需要邊界條件的缺陷。

2.1 問(wèn)題描述

給出一個(gè)物體的一組截面數(shù)據(jù)，表示為Ci,(i=1,2,…,n-1,n)，第i個(gè)截面Ci上的數(shù)據(jù)點(diǎn)表示為Pi,j,(i=1,2,…,n-1,n;j=1,2,…,mi)；根據(jù)這組截面數(shù)據(jù)插值構(gòu)建截面曲線Fi(u),(i=1,2,…,n-1,n)，然后構(gòu)建一個(gè)參數(shù)曲面S(u,v),(u∈[0,1],v∈[0,1])，S(u,v)通過(guò)所有截面曲線，并且達(dá)到C1光滑。

2.2 插值構(gòu)造截面曲線

對(duì)于給定的截面數(shù)據(jù)，本方法構(gòu)造截面曲線的過(guò)程為首先將每個(gè)截面上的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行弦長(zhǎng)參數(shù)化，然后將同一截面上每三個(gè)相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，構(gòu)造若干條待融合的曲線段；最后將相鄰的曲線段兩兩融合，并把最終產(chǎn)生的融合曲線段首尾相接，產(chǎn)生光滑的截面曲線。

2.2.1 截面數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化

本方法使用弦長(zhǎng)參數(shù)化的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化，確定截面上各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)值。取沿截面線的參數(shù)方向?yàn)閡向，沿各截面排列的參數(shù)方向?yàn)関向。則Pi,j的參數(shù)值為：

2.2.2 局部插值構(gòu)造曲線段

隨著插值數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的增加，高階的多項(xiàng)式插值會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，產(chǎn)生劇烈的震蕩。為了保證更精確的還原待建曲面上的自然形狀，減少曲面上的扭曲和形變，本方法先對(duì)截面數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行局部插值構(gòu)造曲線段，然后將其拼接得到截面線。依次將截面上所有相鄰的三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi,j,Pi,j+1,Pi,j+2進(jìn)行插值，用Pi,j(u)表示得到的曲線段。公式如下：

其中，i=1,2,…,n,j=1,2,…,mi-2,u∈[ui,j,ui,j+2]。

2.3 構(gòu)造融合曲線

傳統(tǒng)方法中的曲線拼接需要獲得待拼接曲線的切矢、導(dǎo)矢等微分信息，計(jì)算相當(dāng)麻煩；基于融合思想的曲線拼接是指將起點(diǎn)與終點(diǎn)相同的若干曲線段直接通過(guò)融合函數(shù)進(jìn)行融合，不需要邊界的微分信息即可完成曲線的光滑拼接。本方法采用的融合函數(shù)如下：

其中，F(xiàn)(t)和G(t)為待融合曲線，H(t)為融合后的曲線，t∈[t0,t1]。

使用公式（2）對(duì)上一步求得曲線段Pi,j(u)、Pi,j+1(u)的參數(shù)u方向上的公共部分進(jìn)行融合，公式如下：

其中，i=1,2,…,n,j=1,2,…,mi-3,u∈[ui,j+1,ui,j+2]。

將公式（3）中得到的曲線段與Pi,1(u)上u∈[0,ui,2]的部分和Pi,mi-2(u)上u∈[umi-1,1]的部分首尾拼接，即可得到一條C1光滑的截面曲線，表達(dá)式為：

其中，i=1,2,…,n。

對(duì)于封閉的截面曲線同樣可以使用該方法進(jìn)行構(gòu)造，只需在首尾相接的位置再插值一條曲線，然后按以上步驟進(jìn)行融合即可。

2.4 融合曲面重建

NURBS曲面的構(gòu)造方法為先將各截面曲線的節(jié)點(diǎn)矢量合并，得到公共節(jié)點(diǎn)矢量；然后通過(guò)反求控制頂點(diǎn)得到曲面的矩形網(wǎng)格，從而得到待建曲面。為避免節(jié)點(diǎn)矢量相容的過(guò)程，本方法先將相鄰的三條截面曲線進(jìn)行插值來(lái)構(gòu)造曲面片，隨后將相鄰曲面片參數(shù)上的公共部分進(jìn)行融合以完成拼接，從而得到待建曲面。

2.4.1 插值截面曲線構(gòu)造曲面片

將各截面曲線進(jìn)行v方向上的參數(shù)化，確定各截面曲線的參數(shù)值。公式如下：

依次將每三條相鄰的截面樣條曲線進(jìn)行插值，用Si(u,v)表示初步得到的曲面片。公式如下：

其中，i=1,2,…,n-2,v∈[vi,vi+2],u∈[0,1]。

2.4.2 構(gòu)造融合曲面

傳統(tǒng)的曲面拼接需要曲面的拼接部分切平面相同才能達(dá)到C1的連續(xù)，但是融合曲面的構(gòu)造只需要兩個(gè)曲面在參數(shù)域存在公共部分即可，而不需要考慮邊界的信息，融合后得到的曲面根據(jù)融合函數(shù)的不同可以達(dá)到不同階數(shù)的連續(xù)。將公式（5）中得到的曲面片的公共部分進(jìn)行融合，然后將得到的融合曲面拼接，從而得到最終的待建曲面。本方法采用的融合函數(shù)如下：

其中，F(xiàn)(s,t)和G(s,t)為待融合曲面，H(s,t)為融合后的曲面，t∈[t0,t1]。

使用公式（6）將公式（5）中求得的曲面片進(jìn)行融合，公式如下：

其中，i=1,2,…,n-3，v∈[vi+1,vi+2]，u∈[0,1]。

融合過(guò)程如圖1所示，圖1（a）中為用公式（5）插值相鄰的截面曲線后得到的兩個(gè)參數(shù)上存在公共部分的曲面片，圖1（b）為施加公式（6）中的融合函數(shù)后得到的曲面片。

圖1 曲面片的融合過(guò)程

3 算法應(yīng)用實(shí)例及分析

為驗(yàn)證本算法的有效性，建立實(shí)驗(yàn)對(duì)一系列實(shí)物模型進(jìn)行了曲面重建。圖2為經(jīng)過(guò)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量后得到的截面數(shù)據(jù)點(diǎn)，圖3為經(jīng)過(guò)本算法實(shí)現(xiàn)的應(yīng)用實(shí)例。圖3（a）、圖3（b）為國(guó)際象棋的棋子的重建模型，圖3（a）中的模型上有29行，共約1.22×103個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，圖3（b）中的模型上有24行，共約1.08×103個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。從結(jié)果可以看出重建后的曲面光滑，原始模型的局部特征得以保留；圖3（c）為一個(gè)花瓶的重建模型，該原始數(shù)據(jù)包含0.82×103個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，存在一定的噪音，重建完成后的曲面雖然存在些微形變，但是整體依然反映了原始模型的外形；圖3（d）為一根彎管的重建模型，采樣后得到約1.04×103個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，從實(shí)例可以看出該重建曲面形狀得到了較好的控制，并且保證了曲面的光滑，沒(méi)有出現(xiàn)明顯的曲面形變和扭曲。

圖4為一個(gè)箕型曲面的原始數(shù)據(jù)和通過(guò)本方法得到的重建結(jié)果，該原始數(shù)據(jù)有約2.29×103個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。如圖4（a）所示，該原始數(shù)據(jù)的采樣點(diǎn)數(shù)在各個(gè)輪廓上并不相等，并且分布很不均勻；從圖4（b）中的融合曲面重建結(jié)果可以看到曲面表面光滑，并且沒(méi)有出現(xiàn)明顯的扭曲，從而證明了本方法在針對(duì)每行原始數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)差距較大且分布不均勻時(shí)，能達(dá)到較好的重建效果。

圖2 原始數(shù)據(jù)

圖3 一組算法應(yīng)用實(shí)例

圖4 箕型曲面重建實(shí)例

表1至表5顯示的數(shù)據(jù)為基于幾種方法將圖2（a）～（d）、圖4（a）中的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行曲面重建后得到的曲面上的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的對(duì)比。本文以Piegl方法得到的曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)作為基準(zhǔn)來(lái)判斷各方法進(jìn)行曲面重建后數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的冗余量減少效果。表中數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)原始掃描數(shù)據(jù)點(diǎn)在每個(gè)截面上點(diǎn)數(shù)并不相同并且分布不太均勻時(shí)，本方法與Piegl等傳統(tǒng)方法對(duì)比，數(shù)據(jù)量增長(zhǎng)相對(duì)更少，而傳統(tǒng)方法因?yàn)楣?jié)點(diǎn)的大量增加導(dǎo)致了控制點(diǎn)數(shù)的膨脹，帶來(lái)了較多的數(shù)據(jù)冗余。

表1 圖2（a）與幾種方法數(shù)據(jù)冗余量減少的對(duì)比

表2 圖2（b）與幾種方法數(shù)據(jù)冗余量減少的對(duì)比

表3 圖2（c）與幾種方法數(shù)據(jù)冗余量減少的對(duì)比

表4 圖2（d）與幾種方法數(shù)據(jù)冗余量減少的對(duì)比

表5 圖4（a）與幾種方法數(shù)據(jù)冗余量減少的對(duì)比

表6為在實(shí)現(xiàn)了圖2（a）～（d）、圖4（a）中的曲面重建的基礎(chǔ)上，使用Geomagic Studio軟件提供的曲面偏差分析，將原物體的表面曲面模型與幾種方法重建曲面的比較結(jié)果。從表中數(shù)據(jù)可以看出，融合曲面重建方法在大大減少了控制頂點(diǎn)冗余的同時(shí)，保證了待建曲面的重建精度，與已有方法相比并沒(méi)有出現(xiàn)明顯的誤差量增加。

表6 曲面重建結(jié)果的重建精度對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

為了避免NURBS曲面構(gòu)建過(guò)程中的節(jié)點(diǎn)矢量相容的過(guò)程，改善NURBS曲面控制點(diǎn)必須位于矩形網(wǎng)格上的缺陷，提出了一種雙參數(shù)方向上融合插值的C1曲面重建方法，先后分段插值以構(gòu)造曲線段、曲面片，采用了融合的思想進(jìn)行曲線、曲面拼接，最后得到光滑的待建曲面。本方法雖然目前限于沒(méi)有分支結(jié)構(gòu)的曲面重建，但是依然可以用于擬合大量的實(shí)物模型。融合曲面的構(gòu)造不需要考慮邊界信息，可以直接進(jìn)行曲面拼接，不僅能得到光滑的待建曲面，而且能夠有效地減小計(jì)算量。

在將來(lái)的工作中，針對(duì)單個(gè)截面數(shù)據(jù)點(diǎn)列參數(shù)化時(shí)，如果數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)較少可能會(huì)引起截面線扭曲變形的問(wèn)題，本方法將尋求一種更佳的參數(shù)化方法來(lái)提高精度；同時(shí)如何將本方法延伸到C2以至Cn精度的曲面重建，也是下一步值得探討和研究的。

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