胡安峰, 李怡君, 賈玉帥(1.浙江大學 浙江大學濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 10058；2.浙江大學 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室，杭州 10058；.廣州市建筑質(zhì)量安全監(jiān)測中心，廣州 510600)

地基在動荷載作用下的振動問題是一直是工程領(lǐng)域關(guān)注的重點。在20世紀初，Lamb[1]就對彈性半空間表面作用點源及線源脈沖荷載所產(chǎn)生的擾動問題進行了研究。而實際地基土體并非理想彈性介質(zhì)，而是一種復雜的多相介質(zhì)。1956年，Biot[2-3]研究了飽和多孔介質(zhì)的波動傳播機理，并提出了考慮固液耦合的飽和多孔彈性介質(zhì)波動方程。迄今為止，大多數(shù)學者還是基于該理論對飽和土的動力問題進行研究。Paul[4]采用Laplace-Hankel變換得到了飽和彈性半空間的Lame問題解。Philippacopoulos[5]通過引入勢函數(shù)將波動方程解耦，研究了飽和半空間在表面荷載作用下波動的傳播與消散問題。王立忠等[6]在略去流體相對于土骨架的慣性力，并假定水是不可壓縮的基礎(chǔ)上，給出了飽和彈性半空間在低頻諧和集中力下的積分形式解。陳龍珠等[7]通過積分變換技術(shù)求得了線源和點源兩種情況下的Lame問題積分形式解。

在上述文獻中，研究者多把地基土體當做均勻介質(zhì)，而天然地基土體在地下水位上下的性質(zhì)存在較大差異,基于此，一些學者采用彈性層和飽和半空間分層模型[8-10]來研究其動力響應，即將地下水位以下土體近似地視為飽和半空間，地下水位以上的土體考慮為理想彈性層。不可否認，此模型具有較強的工程背景，但實際上地下水位以上的土體并非理想彈性介質(zhì)，而是具有一定含水率的三相非飽和介質(zhì)，故將地基簡化為上覆非飽和層的飽和半空間模型更接近實際[11]。目前，關(guān)于非飽和介質(zhì)動力理論的研究才剛剛起步。Brutsaert[12]利用等效流體模型將飽和土的Biot波動方程擴展到非飽和土。徐長節(jié)等[13]基于Vardoulakis等[14]提出的非飽和土的動力控制方程，對非飽和土中波的傳播特性進行了分析。徐明江[15]在已有研究的基礎(chǔ)上，重新推導了非飽和土的實用波動方程，并研究了非飽和半空間在任意分布的表面諧振荷載作用下的動力響應問題。

本文基于飽和土及非飽和土的動力控制方程，通過引入位移函數(shù)并利用雙重Fourier變換，結(jié)合邊界條件及連續(xù)條件給出了豎向簡諧荷載作用下上覆非飽和層的飽和地基位移和應力積分形式解。通過將本文退化解與已有文獻的結(jié)果進行對比，驗證了本文解答的可靠性。最后結(jié)合數(shù)值算例，分析了上覆非飽和土層的飽和度、厚度以及地表透氣透水條件等因素對地表豎向位移幅值與孔壓變化的影響。

1 飽和土體動力控制方程求解

根據(jù)Biot飽和彈性多孔介質(zhì)理論，在忽略慣性耦合項[16]的條件下，考慮穩(wěn)態(tài)振動，則直角坐標系下飽和土的動力控制方程可表示為

(1a)

(1b)

(1c)

(2a)

(2b)

(2c)

(3)

式中：ui、wi分別為土骨架位移和孔隙水相對于土骨架產(chǎn)生的位移；p為孔隙水壓力；i=x,y,z；(·)、(··)分別表示對時間t的一階、二階導數(shù)；λs=α2M+λ，λ和μs為飽和土骨架的Lame常數(shù)，α和M為考慮兩相材料壓縮性的Biot常數(shù)；ρ=nρf+(1-n)ρs，n為土的孔隙率，ρs和ρf分別為土骨架和孔隙水的質(zhì)量密度；參數(shù)m=ρf/n；b為一個表示土滲透性的參數(shù)，b=ηd/k，其中ηd為流體動力黏滯系數(shù)，k為滲透系數(shù)。

(4)

式中：Φ，Ψ為任意函數(shù)，式(1)、式(2)和式(3)經(jīng)整理后可得

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

根據(jù)Cauchy-Reimann條件，由式(5a)﹑ (5b)可得

(6a)

(6b)

定義算子

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

將上面定義的算子代入式(5c)﹑式(5d)和式(6a)、式(6b)得

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

由式(8b)和式(8c)可得

(9)

引入位移函數(shù)F(x,y,z)，并令

(10a)

(10b)

(10c)

則式(8b)﹑式(8c)自動滿足，將式(10)代入式(8a)得

(11)

定義雙重Fourier變換及相應的逆變換為

(12a)

(12b)

對式(7)和式(11)進行雙重Fourier變換，兩式經(jīng)整理后可得

(13)

式中：c1=μs(λs+2μs)；

c2=[a6+(a5+a7)(λs+2μs)+(λs+μs)2(ξ2+η2)+a1a4μs]；

c3=[a6(a5+a7)+a5a7(λs+2μs)-

a1a4(λs+2μs)(ξ2+η2)+a7(λs+μs)2(ξ2+η2)+

2a1a4(λs+μs)(ξ2+η2)+a1a4a5]；

c4=a5a6a7-a1a4a6(ξ2+η2)；a5=-(λs+2μs)(ξ2+η2)+a2；

a6=-μs(ξ2+η2)+a2；a7=-(ξ2+η2)-a3

與式(13)相應的特征方程是

c1λ6+c2λ4+c3λ2+c4=0

(14)

解上述特征方程可得到6個特征根：±λ1，±λ2，±λ3(Re[λj]≥0,j=1,2,3)，故式(13)的解可表示為

(15)

對式(8d)進行雙重Fourier變換可得

(16)

求解式(16)可得

(17)

對式(10)進行雙重Fourier變換并將式(15)代入，整理后可得

(18a)

(18b)

(18c)

式中：

結(jié)合式(16)﹑式(18a)可得

(19a)

(19b)

由飽和土的本構(gòu)方程可得

(20a)

(20b)

(20c)

對式(20)進行雙重Fourier變換后， 將式(18)﹑式(19)代入可得

(21a)

(21b)

(21c)

式中：

b1j=-λs(ξ2+η2)Φj+(λs+2μs)λjUj-αPj，

b24=-iμsξλ0，b2j=-iμsη(λjΦj+Uj)，

b34=iλ0μsη，b3j=-iξμs(λjΦj+Uj)

式(18b)﹑式(18c)、式(19a)、式(19b)及式(21a)～(21c)即為直角坐標系下飽和土半空間穩(wěn)態(tài)動力響應在變換域內(nèi)的一般解，式中Cj、Dj(j=1～4)為待定系數(shù)。

2 非飽和土動力控制方程求解

基于連續(xù)介質(zhì)力學理論的守恒定律及Bishop等[17]非飽和土有效應力公式，通過聯(lián)立非飽和土本構(gòu)關(guān)系，運動方程，及連續(xù)性方程，可得到非飽和土動力控制方程表達式

(22a)

(22b)

(22c)

(22d)

(22e)

A24=-A25=-Sr(1-Sr),

采用與求解飽和土的動力響應類似的方法，得到直角坐標系下非飽和土半空間穩(wěn)態(tài)動力響應在變換域內(nèi)的一般解為

(23a)

(23b)

(23c)

(23d)

(23e)

(23f)

(23g)

(23h)

式(23a)～式(23h)中Aj,Bj(j=1～5)為待定系數(shù)，其余各參數(shù)的表達式見附錄A。

3 邊界條件及連續(xù)條件

設(shè)上覆非飽和土層的厚度為h，豎向簡諧荷載F0作用在地表區(qū)域Ω內(nèi)，如圖1所示。荷載幅值為1 kN，頻率ω=1 Hz。假定上覆非飽和層與飽和半空間孔隙率相同，且交界面處不透氣不透水，則地表的邊界條件及交界面處的連續(xù)條件可表示為

圖1 上覆非飽和層飽和半空間計算模型簡圖Fig.1 Model of the saturated half-space with an unsaturated superstratum

(24a)

(24b)

(24c)

(24d)

(24e)

(24f)

(24g)

(24h)

(24i)

pl(x,y,h)+pg(x,y,h)-p(x,y,h)=0

(25a)

(25b)

(25c)

對于透氣透水非飽和土層頂面，有

pl(x,y,0)=0

(26a)

pg(x,y,0)=0

(26b)

對于不透氣不透水非飽和土層頂面，有

(26c)

(26d)

由于波的輻射特性，飽和半空間動力響應解中的正指數(shù)項將被舍棄，即C1=C2=C3=C4=0。根據(jù)以上分析，邊界和連續(xù)條件個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)，故可以求出未知系數(shù)Ai、Bi和Dj(i=1～5，j=1～4)。

對式(24)～式(26)中的邊界條件及連續(xù)條件進行Fourier變換，將變換域內(nèi)各動力響應分量的表達式代入，得到如下的方程

Kν=f

(27)

式中：

ν=(A1A2A3A4A5B1B2B3

B4B5D1D2D3D4)Τ

式中：Bij(i=1,2,3;j=1,2,3)的表達式見附錄B。

由式(27)可得：ν=[K]-1f

(28)

式中：[K]-1為矩陣K的逆矩陣。

當向量ν確定后，將待定系數(shù)Ai、Bi和Dj代入各響應分量表達式，即可得到變換域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)響應的積分形式解答。

4 算例分析

采用快速傅里葉變換(FFT)法對變換域內(nèi)的位移﹑應力和孔壓響應表達式進行數(shù)值Fourier逆變換。根據(jù)Cai等[18]的建議，選取和-16 m-1≤η≤16 m-1為積分區(qū)間，積分點為2 048×2 048，可滿足精確性要求。

4.1 數(shù)值計算結(jié)果驗證

當Sr=1時，非飽和介質(zhì)的動力控制方程可以退化為飽和多孔介質(zhì)的動力控制方程，分層地基退化為均質(zhì)飽和地基。陳龍珠通過Fourier變換與Hankel變換得到了飽和地基Lame問題的積分形式解。圖2給出了本文的退化解與陳龍珠解的對比。其中飽和土的物理參數(shù)取值為

λs=1.29×107N/m2,μs=1.94×107N/m2,n=0.6,ρf=1 000 kg/m3，ρs=2 700 kg/m3,M=2.1×109N/m2,α=1。

從圖2可知，本文結(jié)果與陳龍珠的解吻合得較好，驗證了本文求解方法的可靠性。

圖2 本文解與陳龍珠解的對比Fig.2 Comparison with the results of Chen Longzhu

圖3 本文解與楊峻解的對比Fig.3 Comparison with the results of Yang Jun

4.2 數(shù)值計算算例分析

非飽和土是一種由土骨架、孔隙水和孔隙氣體三種介質(zhì)組成的混合物，其中土骨架的物理參數(shù)取值如下：λu=1.29×107N/m2，μu=1.94×107N/m2，ρu=2 700 kg/m3，Ku=3.6×1010N/m2，n=0.6。兩種孔隙介質(zhì)的參數(shù)取值，如表1所示。為了研究方便，假設(shè)其它物理參數(shù)取值不受飽和度變化的影響。

表1 非飽和土孔隙介質(zhì)參數(shù)Tab.1 Parameters of pore water and gas

圖4給出了地表豎向位移響應在水平方向的分布圖。從圖4可知，上覆非飽和層飽和度越大，地表豎向位移幅值越大。同時，隨著距荷載作用點距離的增加，荷載引起的振動波會發(fā)生衰減，距離越遠衰減越大。此外，對比圖4(a)和圖4(b)可以發(fā)現(xiàn)，相同飽和度下地表透氣透水時的豎向位移要比不透氣不透水時的位移大。這是因為地表處于透氣透水條件時，靠近地表附近的非飽和土層的孔隙水壓力更容易消散，造成作用在土骨架上的有效應力增加，最終導致地表的豎向位移也相應變大。

(a)地表透氣、透水

(b)地表不透氣、不透水圖4 非飽和土飽和度對豎向位移的影響Fig.4 Influence of the saturation on the vertical displacement

在實際工程中，由于受降雨、干旱等多種因素的影響，地下水位的高度會發(fā)生變化，相應地，上覆非飽和土層的厚度會隨之變化。圖5給出了地表透氣透水條件下地表位移響應隨非飽和層厚度變化的曲線圖。從圖5可知，隨著非飽和層厚度的不斷增大，地表豎向位移快速地減小，且飽和度越大，位移響應受厚度變化的影響越明顯；當非飽和層厚度達到一定數(shù)值時，地表的豎向位移響應趨于穩(wěn)定。因此，非飽和層厚度在一定的變化范圍內(nèi)對地表豎向位移影響明顯，而這一范圍與非飽和土飽和度以及荷載的大小等多種因素有關(guān)。

圖5 上覆非飽和層厚度對地表豎向位移的影響Fig.5 Influence of the thickness of unsaturated soils on vertical displacement

圖6為非飽和土層的孔隙水壓力沿深度的分布圖。對比圖6(a)和圖6(b)可以發(fā)現(xiàn)，當?shù)乇硗笟馔杆畷r，沿深度方向孔隙水壓力由零快速增加到峰值然后逐漸減小，此時孔隙水壓力的峰值發(fā)生在離地表較近的位置；當?shù)乇聿煌笟獠煌杆畷r，沿深度方向孔隙水壓力由峰值逐漸得減小，此時孔隙水壓力在地表達到最大。此外，從兩圖中還可以看出相同飽和度下地表透氣透水時的孔隙水壓力峰值小于不透氣不透水時的孔隙水壓力峰值。

5 結(jié) 論

本文采用解析的方法研究了上覆非飽和層的飽和半空間在諧振荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應問題。通過引入位移函數(shù)并利用積分變換法，得到了上覆非飽和土的飽和半空間的動力響應問題的一般解。最后通過數(shù)值算例分析，得到以下結(jié)論：

(1)上覆非飽和土層的飽和度對分層地基的動力響應有顯著的影響，飽和度越大，地表位移幅值也越大；此外，相同飽和度下地表透氣透水時的豎向位移要比不透氣不透水時的位移大。

(a)地表透氣、透水

(b)地表不透氣、不透水圖6 地表透氣透水情況對非飽和層孔隙流體壓力的影響

Fig.6 Influence of the drainage-exhaust situation of foundation surface to the pore water pressure in unsaturated soils

(2)地下水位變化會引起上覆非飽和層厚度的變化，當非飽和層厚度較小時,隨著厚度的不斷增大，地表豎向位移快速地減?。划敺秋柡蛯雍穸冗_到一定數(shù)值時，隨著厚度的增大地表豎向位移變化趨于穩(wěn)定。

(3)當?shù)乇硗笟馔杆畷r，孔壓響應沿深度方向由零快速增加到峰值然后逐漸減??；當?shù)乇聿煌笟獠煌杆畷r，沿深度方向孔壓由峰值逐漸減小。相同飽和度下地表透氣透水時的孔隙水壓力峰值小于不透氣不透水時的孔隙水壓力峰值。

參 考 文 獻

[1] LAMB H. On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1904, 203:1-42.

[2] BIOT M A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. higher frequency range[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2005, 28(2):179-191.

[3] BIOT M A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media[J]. Journal of Applied Physics, 1962, 33(4): 1482-1498.

[4] PAUL S. On the disturbance produced in a semi-infinite poroelastic medium by a surface load[J]. Pure & Applied Geophysics, 1976, 114(4):615-627.

[5] PHILIPPACOPOULOS A J. Lamb’s problem for fluid-saturated, porous media[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1988, 78(2):908-923.

[6] 王立忠, 陳云敏, 吳世明,等. 飽和彈性半空間在低頻諧和集中力下的積分形式解[J]. 水利學報, 1996(2):84-88.

WANG Lizhong, CHEN Yunmin, WU Shiming, et al. A solution to saturated elastic half-space under harmonic force of low frequency[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 1996(2):84-88.

[7] 陳龍珠，陳勝立，梁發(fā)云. 飽和地基豎向振動的衰減特性[J]. 上海交通大學學報，2002，36(3)：376-381.

CHEN Longzhu, CHEN Shengli, LIANG Fayun. Vibration attenuation of saturated strata by vertical surface loads[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2002，36(3)：376-381.

[8] 楊峻, 吳世明. 彈性層和飽和半空間體系穩(wěn)定動力響應[J]. 土木工程學報, 1997(3):39-48.

YANG Jun, WU Shiming. Steady state response of elastic soil layer and saturated layered half-space[J].China Civil Engineering Journal, 1997(3):39-48.

[9] 孫宏磊, 蔡袁強, 陳成振. 列車荷載作用下路軌系統(tǒng)及飽和彈性半空間上覆蓋土層的動力響應[J]. 巖土工程學報, 2009, 31(6):922-928.

SUN Honglei, CAI Yuanqiang, CHEN Chengzhen. Dynamic response of railways on layered half-space subjected to moving train load[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2009, 31(6):922-928.

[10] GRUNDMANN H, LIEB M, TROMMER E. The response of a layered half-space to traffic loads moving along its surface[J]. Archive of Applied Mechanics, 1999, 69(1):55-67.

[11] 劉洪波，劉潔，聞敏杰.深埋圓形隧洞非飽和土-襯砌結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力特性[J].振動與沖擊,2016,35 (13):36-41.

LIU Hongbo,LIU Jie,WEN Minjie.Dynamic characteristics of unsaturated soil and lining system with a deeply embedded circular tunnel[J].Journal of Vibration and Shock,2016,35 (13):36-41.

[12] BRUTSAERT W. The propagation of elastic waves in unconsolidated unsaturated granular mediums[J]. Journal of Geophysical Research, 1964, 69(2): 243-257.

[13] 徐長節(jié), 史焱永. 非飽和土中波的傳播特性[J]. 巖土力學, 2004, 25(3):354-358.

XU Changjie, SHI Yanyong. Characteristics of wave propagation in unsaturated soils.[J]. Rock and Soil Mechanics, 2004, 25(3):354-358.

[14] VARDOULAKIS I, BESKOS D E. Dynamic behavior of nearly saturated porous media[J].Mechanics of Materials, 1986, 5(1): 87-108.

[15] 徐明江. 非飽和土地基與基礎(chǔ)的動力響應研究[D]. 廣州：華南理工大學，2009.

[16] 劉志軍, 夏唐代, 黃睿，等. Biot理論與修正的Biot理論比較及討論[J]. 振動與沖擊, 2015，34(4):148-152.

LIU Zhijun, XIA Tangdai, HUANG Rui, et al. Comparison and discussion for Biot theory and modified Biot one[J].Journal of Vibration and Shock, 2015，34(4):148-152.

[17] BISHOP A W, ALPAN I, BLIGHT G E, et al. Fractors controlling the strength of partly saturated cohesive soils[C]//Research Conf on Shear Strength of Cohesive Soils. London, 1960.

[18] CAI Y, SUN H, XU C. Steady state responses of poroelastic half-space soil medium to a moving rectangular load[J]. International Journal of Solids and Structures, 2007,44(22): 7183-7196.

附錄A

c45=μu(η2-ξ2)

c55=-λuξη+ξη(λu+2μu),

c65=λuξη-ξη(λu+2μu)(j=1,2,3,4);

d12=a32(iωbl-ω2ρl),d13=iωbl+a33(iωbl-ω2ρl),

d21=a41(iωbg-ω2ρg),d23=iωbg+a43(iωbg-ω2ρg),

d6=-μu(ξ2+η2)+d3,d7=-(ξ2+η2)-d11,

d8=-(ξ2+η2)-d22,d11=a31(iωbl-ω2ρl),

附錄B