李 行，賀 帥，王曉明,2，于 鵬

（1.中國科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100039）

0 引言

隨著空間光學(xué)的發(fā)展，空間相機(jī)的分辨率要求越來越高，要求空間相機(jī)具有大的相對(duì)孔徑和越來越長(zhǎng)的焦距，這給相機(jī)支撐提出了越來越嚴(yán)格的要求。桁架式結(jié)構(gòu)能夠使各支桿在多種約束條件下均能最大限度地承受載荷，易于合理有效地分配各桿的承載能力，實(shí)現(xiàn)消熱設(shè)計(jì)，且具有剛度大、整體性好、抗振能力強(qiáng)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方便拆裝等諸多優(yōu)點(diǎn)，因此越來越多的應(yīng)用在大型空間相機(jī)中[1～4]。

要實(shí)現(xiàn)整機(jī)的高結(jié)構(gòu)尺寸穩(wěn)定性和高剛度，實(shí)現(xiàn)良好成像，需要計(jì)算其固有頻率[5～7]。計(jì)算固有頻率時(shí)可以采用有限元進(jìn)行分析[8]，但建立系統(tǒng)有限元模型往往比較耗時(shí)且不便于桁架的優(yōu)化處理。本文以某桁架支撐結(jié)構(gòu)的光學(xué)載荷為研究對(duì)象[9]，推導(dǎo)了桁架支撐結(jié)構(gòu)下的大質(zhì)量載荷的模態(tài)計(jì)算公式，接著將公式用于光學(xué)載荷的模態(tài)計(jì)算并對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 桁架支撐結(jié)構(gòu)

整個(gè)系統(tǒng)由光學(xué)載荷、桁架桿（6根）、安裝基座等構(gòu)成，三維模型如圖1所示。光學(xué)載荷的剛度遠(yuǎn)大于桁架桿剛度時(shí)，光學(xué)載荷可以看做剛體，而桁架桿為變形體，可以采用梁?jiǎn)卧刃А榱颂岣呦到y(tǒng)的剛度，桁架桿通過鈦合金預(yù)埋件與其兩端剛性聯(lián)接。

圖1 桁架支撐結(jié)構(gòu)及光學(xué)載荷三維模型

系統(tǒng)定坐標(biāo)系B-OXYZ原點(diǎn)與光學(xué)載荷質(zhì)心重合，Y軸方向平行于安裝基座且平分B1與B6連接點(diǎn)，Z軸沿著光軸方向，具體方向如圖1所示（為方便顯示，坐標(biāo)系顯示在模型外面）。6根桁架桿上下連接點(diǎn)在定坐標(biāo)系B-OXYZ的位置如表1所示。

表1 桁架桿位置

桁架支撐桿為圓柱梁，圓柱梁半徑為2mm，其材料為鋁合金7A09（彈性模量71000MPa，泊松比0.33）。光學(xué)載荷質(zhì)量為14.38645kg，載荷相對(duì)坐標(biāo)系B-OXYZ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如表2所示。

表2 載荷相對(duì)坐標(biāo)系B-OXYZ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg.m2)

2 理論建模

本文光學(xué)載荷不是主要研究對(duì)象，可以采用大質(zhì)量載荷模擬。為了使討論更具一般性，本文先對(duì)一般的桁架支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論建模，如圖3所示。

圖2 桁架支撐結(jié)構(gòu)圖

建立定坐標(biāo)系0-OXYZ與載荷質(zhì)心坐標(biāo)系C-OXYZ，其中定坐標(biāo)是整個(gè)系統(tǒng)的慣性坐標(biāo)系，動(dòng)坐標(biāo)系初始方向與定坐標(biāo)系相同。桁架桿1等效為梁?jiǎn)卧?，梁?jiǎn)卧鴺?biāo)系X軸方向沿著桁架桿的軸向，其1i端固定時(shí)其剛度矩陣K1為：

上平臺(tái)位移0XO=[x,y,z,rx,ry,rz]，則上平臺(tái)與桁架桿1相連的P1點(diǎn)位移為：

其中Rp1為質(zhì)心位移與P1點(diǎn)位移之間的變換矩陣，其值為：

Rp1計(jì)算過程如下：

圖3 質(zhì)心繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)A點(diǎn)位移影響

圖4中OA為剛體桿，其中O點(diǎn)在坐標(biāo)系原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（m,n,l）。OA在O-x-y平面上的投影如圖4右所示，其中A點(diǎn)投影到a（m,l）點(diǎn)。其中：

當(dāng)OA繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)ry角度時(shí)，a點(diǎn)移動(dòng)距離dxy為：

則a點(diǎn)在x軸位移，也即A點(diǎn)在x軸方向的位移dxry為：

同理可以得到OA繞x與z軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)A點(diǎn)在x向的位移分別為：

因此當(dāng)O點(diǎn)發(fā)生[x,y,z,rx,ry,rz]位移時(shí)，A點(diǎn)在x軸向的位移dAx為：

同理可得：

剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度都一樣，即：

寫成矩陣形式即

在坐標(biāo)系1j-OXYZ下的描述為：

其中是坐標(biāo)系0-OXYZ相對(duì)坐標(biāo)系1j-OXYZ的變換矩陣。因此桁架桿1在 P1處的作用力：

其在坐標(biāo)系0-OXYZ下的描述為：

根據(jù)公式將P1點(diǎn)處的作用力向載荷質(zhì)心等效后的作用力Pf1為：

類似可以得到其余腿在上平臺(tái)發(fā)生位移后對(duì)上平臺(tái)的作用力，因此上平臺(tái)受到的合力：

其中m是上平臺(tái)質(zhì)量，I3×3為單位矩陣，J3×3為上平臺(tái)繞質(zhì)心坐標(biāo)系C-OXYZ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因此系統(tǒng)的總剛度矩陣K與質(zhì)量矩陣M分別為：由K和M即可求得系統(tǒng)的桁架支撐結(jié)構(gòu)的前6階固有頻率，即：

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證固有頻率計(jì)算公式的準(zhǔn)確性，采用有限單元法對(duì)基于桁架支撐的光學(xué)載荷進(jìn)行模態(tài)分析，并比較有限單元法分析結(jié)果與理論計(jì)算值的差別。整體有限元模型如圖4所示。

圖4 整機(jī)有限元模型

利用Nastran分析得到的固有頻率及通過理論計(jì)算得到的結(jié)果如表3所示，系統(tǒng)的前六階振型如圖6所示，理論分析得到的特征向量如表4所示。

表3 理論分析結(jié)果與有限元分析結(jié)果

圖5 前6階振型圖

表4 前6階特征向量

表3可知，理論分析得到的前六階固有頻率與利用有限單元法分析得到的結(jié)果比較接近，最大誤差為2.14%，最小誤差為1.06%。圖4中1階振型主要是光學(xué)載荷質(zhì)心繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)與沿Y軸平動(dòng)的耦合振動(dòng)，第2階振型是繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)與沿X軸平動(dòng)的耦合振動(dòng)，第3、4階振型分別繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)和Y軸振動(dòng)，第5階是光學(xué)載荷繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，第6階是光學(xué)載荷Z向平動(dòng)，由表4中所示的特征向量也可以得到相同結(jié)果。

4 結(jié)論

本文推導(dǎo)了基于桁架支撐結(jié)構(gòu)的光學(xué)載荷的模態(tài)計(jì)算公式。理論分析與有限元分析的前6階固有頻率最大誤差為2.14%，理論分析的振型與有限元分析的振型一致，說明本文推導(dǎo)的模態(tài)計(jì)算公式的合理性。本文推導(dǎo)的公式具有一般性，將梁的剛度矩陣換成柔性結(jié)構(gòu)的等效剛度矩陣可以適合柔性支撐結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的基頻計(jì)算。

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