駱莉芳 陳益智 陳燕梅

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510006;2.惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,廣東 惠州 516007)

1 引言

由于上三角非負(fù)矩陣的行列式很容易計(jì)算得出,也可以化為Normal Hermite形式,所以上三角非負(fù)矩陣從而被廣泛地研究,其相關(guān)研究成果讀者可參考文獻(xiàn)[1-8].在上三角非負(fù)矩陣的研究中,單位上三角非負(fù)矩陣已成為其研究的一個(gè)重要對(duì)象,能否將其分解成一些原子矩陣的乘積,并且在求得其最小的原子因式分解長(zhǎng)度中起著非常重要的作用[1].關(guān)于非負(fù)矩陣因式分解的問(wèn)題最早是文獻(xiàn)[2]在1963年開(kāi)始研究的.文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4-5]分別研究了矩陣半群的因式分解問(wèn)題.文獻(xiàn)[6]把矩陣的因式分解理論應(yīng)用到了整數(shù)值矩陣半群中,給出了這類(lèi)矩陣的一些重要性質(zhì),并探討了這類(lèi)矩陣在什么意義下是可以唯一分解的,同時(shí)他們還提出了6個(gè)公開(kāi)問(wèn)題,有待進(jìn)一步的解決.文獻(xiàn)[7-8]主要研究三階及n階上三角非負(fù)矩陣半群的分解,并且部分解決了文獻(xiàn)[6]中的公開(kāi)問(wèn)題1-問(wèn)題4.本文將繼續(xù)探究三階上三角非負(fù)矩陣.

類(lèi)似于文獻(xiàn)[6-7],下面對(duì)本文所涉及到的預(yù)備知識(shí)進(jìn)行介紹.

設(shè)N是一個(gè)正整數(shù)集,N0=N∪{0},用T3(N0)表示N0上的由所有行列式大于零的3階上三角非負(fù)矩陣所構(gòu)成的矩陣半群.對(duì)于本文出現(xiàn)而未提及的概念及術(shù)語(yǔ),讀者可參考文獻(xiàn)[6-8].

定義 1.1[1]若S是一個(gè)含單位矩陣I的矩陣半群.對(duì)于A∈S,

(1)若存在B∈S使得AB=BA=I成立,則稱(chēng)A為S的一個(gè)單位.

(2)若A不是S的單位,由A=BC可推出B或C是S上的一個(gè)單位，則稱(chēng)A為S的一個(gè)原子.

(3)若S上的每個(gè)非單位元素都可以分解成S上一些原子的乘積,則將S稱(chēng)為原子半群.

定義 1.2[1]如果S是一個(gè)原子半群,A為S上任意的非單位元素.記

為A的原子因式分解長(zhǎng)度集,用它來(lái)表示A在S中可以有限分解成一系列原子矩陣的乘積形式的一切可能的分解長(zhǎng)度的集合.記l(A)=min{T(A)}表示A的最小的原子因式分解長(zhǎng)度.

2 三階單位上三角非負(fù)矩陣

2.1 最小的原子因式分解長(zhǎng)度

引理 2.1[1]設(shè)S為T(mén)3(N0)中所有單位上三角非負(fù)矩陣所構(gòu)成的矩陣半群,則任意的A∈S是原子當(dāng)且僅當(dāng)A=Xij=I3+Eij(1

借助上述引理,下面將介紹本文最主要的結(jié)果,即

定理 2.1記S為T(mén)3(N0)中所有三階單位上三角非負(fù)矩陣所構(gòu)成的矩陣半群,則對(duì)任意的

(1)當(dāng)c≤ab時(shí),有l(wèi)(A)=a+b;(2)當(dāng)c>ab時(shí),有l(wèi)(A)=a+b+c?ab.

證明由單位上三角非負(fù)矩陣的原子因式分解中原子矩陣類(lèi)型是X12或X13或X23知,

從而X12和X13的乘積可以交換,X23和X13的乘積也可以交換,而X12和X13的乘積不可以交換.于是,A的任一因式分解必具有如下分解形式:

其中,c′,ai,bi∈N0,i=1,2,···,m. 這里,

注意到A的原子因式分解長(zhǎng)度為

從而0≤c且c′∈N0,那么根據(jù)最小數(shù)原理可得,c′的最小值是存在的.因此,若要計(jì)算l(A),只需計(jì)算出c′的最小值便可.即若存在一組特解使得c′取得最小值,記該最小值為m,則可得到

由于對(duì)于任意的A∈S,其上三角元素a,b,c之間僅包含了下列三種數(shù)量關(guān)系,即c=ab或c>ab或c

(I)當(dāng)c=ab時(shí),在(2)式中可取一組特解使得c′=0.而 0≤c′≤c,則c′的最小值為m=0.從而得到A的最小原子因式分解長(zhǎng)度為l(A)=a+b.

(II)當(dāng)c>ab時(shí),由于

則c?ab≤c′≤c.從而在(2)式中可取一組特解使得c′=c?ab.則c′的最小值為m=c?ab,則A的最小原子因式分解長(zhǎng)度為

(III)當(dāng)c0.從而a≥1且b≥1.由于c

情形1當(dāng)c

(i)當(dāng)a≥b時(shí),有a≥c,在(2)式中可取一組特解

使得c′=0,則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長(zhǎng)度為l(A)=a+b.

(ii)當(dāng)a

使c′=0,則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長(zhǎng)度為l(A)=a+b.

所以當(dāng)c

情形 2當(dāng) max{a,b}1且a>1.則

(i)當(dāng)a≥b時(shí),在(2)式中可取一組特解

其中,i∈{2,3,···,k?1,k+1,k+2,···,b?1},且 []表示取整符號(hào).使得c′=0.則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長(zhǎng)度為

(ii)當(dāng)a

其中,i∈{2,3,···,k,k+2,···,a?1},使得c′=0.則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長(zhǎng)度為l(A)=a+b.

所以當(dāng)max{a,b}

綜上所述,對(duì)任意單位上三角非負(fù)矩陣A,當(dāng)c≤ab,有l(wèi)(A)=a+b;當(dāng)c>ab時(shí),有

注2.1文獻(xiàn)[8]中只是得出部分單位上三角非負(fù)矩陣的最小原子因式分解長(zhǎng)度,而本文中的定理2.1針對(duì)T3(N0)中的單位上三角矩陣半群中的任意矩陣A,都給出了計(jì)算A的最小原子因式分解長(zhǎng)度l(A)的公式,并且證明方法也不同于文獻(xiàn)[8],從而完善了文獻(xiàn)[8]中相應(yīng)的結(jié)論.

特別地,在定理2.1的證明過(guò)程中,若將各情形下的特解代入分解式(1)中,便可得到全部的單位上三角非負(fù)矩陣A的其中一個(gè)具有最小的原子因式分解長(zhǎng)度的分解.

定理 2.2記S為T(mén)3(N0)中所有三階單位上三角非負(fù)矩陣所構(gòu)成的矩陣半群,則對(duì)于任意的

(1)當(dāng)c=ab時(shí),A的其中一個(gè)具有最小的原子因式分解長(zhǎng)度的分解為:

(2)當(dāng)c>ab時(shí),A的最小原子因式分解長(zhǎng)度為l(A)=a+b+c?ab,且A的其中一個(gè)具有最小的原子因式分解長(zhǎng)度的分解為:

(3)當(dāng)c

(i)若a≥b,則A的其中一個(gè)具有最小的原子因式分解長(zhǎng)度的分解為:

(ii)若a

(4)當(dāng)max{a,b}

(i)若a≥b,則A的其中一個(gè)具有最小的原子因式分解長(zhǎng)度的分解為:

其中

(ii)若a

其中

注 2.2定理2.2分情形詳細(xì)探討了三階單位上三角非負(fù)矩陣A具有最小原子因式分解長(zhǎng)度的其中一種分解.

2.2 應(yīng)用舉例

對(duì)于任意的三階單位上三角非負(fù)矩陣下面將針對(duì)定理2.1中的其中一個(gè)情形,即max{a,b}

例2.1設(shè)由于a=3,b=2,c=5,根據(jù)定理2.1,得到max{a,b}b,則根據(jù)(7)式可得A的其中一個(gè)具有最小的原子因式分解長(zhǎng)度的分解為:

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