趙露

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江 寧波 315211)

1 引言

一般來說,大多數(shù)非線性方程都是關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)的方程,它們描述了單一方向的波.例如,KdV方程,Burgers方程等,這些模型均是沿x軸正向傳播.Boussinesq方程是關(guān)于時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)的方程,它沿x軸正向和負(fù)向兩個(gè)方向傳播.然而,在1994年,文獻(xiàn)[1]第一次提出了雙模KdV(TKdV)方程,它是關(guān)于時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)的方程,描述了沿同一方向傳播的兩個(gè)不同的波的傳播.這兩個(gè)波具有相同的耗散關(guān)系,不同的像速,線性和非線性參數(shù).雙模KdV方程定義如下:

其中u(x,t)是場(chǎng)函數(shù),ci(i=1,2)表示像速度,αi為非耗散系數(shù),βi為耗散系數(shù),且x,t,α,β滿足

經(jīng)過特殊的變換,方程(1)可以約化為:

其中

可以看出,當(dāng)s=0時(shí),TKdV方程(1)就約化為了標(biāo)準(zhǔn)形式的KdV方程.

文獻(xiàn)[2-12]中給出了TKdV方程(2)的一些性質(zhì).其他的雙模方程也已經(jīng)被研究,例如雙模mKdV方程[13],雙模KP方程[14],雙模Burgers方程[15]和雙模耦合的KdV方程[16]等[17-20].本文將研究Jordan KdV(JKdV)方程組:

該方程組首次在文獻(xiàn)[21]中提出.其中,當(dāng)u=v=w時(shí),JKdV方程組(4)可約化為標(biāo)準(zhǔn)的KdV方程.根據(jù)Korsunsky在文獻(xiàn)[1]中提出的方法,構(gòu)造新的雙模Jordan KdV(TJKdV)方程組,即

當(dāng)s=0時(shí),TJKdV方程組(5)可以約化為JKdV方程組(4).

本文結(jié)構(gòu)安排如下:第二節(jié),利用簡(jiǎn)化的雙線性方法[22-25],找到了TJKdV方程組(5)的多孤子解存在的條件.第三節(jié),利用tanh/coth方法和tan/cot方法找到TJKdV方程組的其他精確解.

2 多孤子解

在本節(jié)中,將利用簡(jiǎn)化的雙線性方法研究雙模Jordan KdV(TJKdV)方程組的多孤子解.把方程組

代入方程組(5)中并比較線性項(xiàng)與非線性項(xiàng),得到耗散關(guān)系

因此

利用cole-hopf變換

其中R1,R2,R3為待定常數(shù).對(duì)于單孤子解我們令函數(shù)f(x,t)為:

把方程(9),(10)代入TJKdV方程組(5)并求解R1,R2,得到當(dāng)

時(shí),單孤子解存在.把(11)式與(10)式代入方程組(9),可得TJKdV方程組(5)的單孤子解如下:

對(duì)于二孤子解,令

把方程(9),(12)代入TJKdV方程組(5)并求解a12,可得當(dāng)

時(shí),二孤子解存在.利用同樣的方法可以得到a23,a13的具體表達(dá)式,即

因此二孤子解為

為了得到三孤子解,令

其中θi(i=1,2,3)由(8)式?jīng)Q定,aij(1≤i

把方程(9)和方程(14)代入TJKdV方程組(5)并求解a123,得到

3 其它的精確解

經(jīng)過第2節(jié)的討論,我們知道孤子解存在只是針對(duì)特殊的α,β值,而對(duì)于一般的非耗散參數(shù)α與耗散參數(shù)β值,孤子解是否存在,我們并未討論,并且這也是迄今為止未解決的問題.而在接下來的研究中,將會(huì)對(duì)一般的α和β的值來求TJKdV方程組的精確解.

3.1 tanh/coth方法

在本節(jié)中,我們將會(huì)利用tanh/coth方法來求TJKdV方程組的精確解.設(shè)

把(15)代入方程組(5),在所得方程中平衡非線性項(xiàng)與耗散項(xiàng)可得

則

3.1.1 βα

把方程組(16)代入TJKdV方程組(5)并比較所得方程中tanh(kx?ct)的各次冪的系數(shù),得到

由 (17)式及 (16),得解

若設(shè)

與tanh(kx?ct)方法的步驟相似,可求得奇異解

3.1.2 β=α

把方程組(16)代入TJKdV方程組(5)并令β=α,在所得方程中比較tanh(kx?ct)的各次冪的系數(shù),可以得到

這里的a0,b0,b1為非零常數(shù),由(21)及(16)式,得解

其中c由(21)式?jīng)Q定.

若設(shè)

與tanh(kx?ct)方法的步驟相似,可求得奇異解

其中a0,b0,b1為非零常數(shù),c由(21)式?jīng)Q定.

3.2 tan/cot方法

在本節(jié)中,利用tan/cot方法來求TJKdV方程組的精確解.設(shè)

把(25)式代入方程組(5),在所得方程中平衡非線性項(xiàng)與耗散項(xiàng)可得

則

下面分兩種情況討論.

3.2.1 βα

把方程組(26)代入TJKdV方程組(5)并比較所得方程中tan(kx?ct)的各次冪的系數(shù),得到

由 (27)及 (26)式,得解

其中a0,a1,c1為非零常數(shù),c滿足(28)式.

若設(shè)

與tan(kx?ct)方法的步驟相似,可求得奇異解

其中a0,a1,c1為非零常數(shù),c滿足(28)式.

3.2.2 β=α

把方程組(26)代入TJKdV方程組(5)并令β=α,在所得方程中比較tan(kx?ct)的各次冪的系數(shù),可以得到

這里的a0,b1,b2為非零常數(shù),因此可得解

其中a0,b0,b1為非零常數(shù),c滿足(31)式.

若設(shè)

與tan(kx?ct)方法的步驟相似,可求得奇異解

其中a0,b0,b1為非零常數(shù),c滿足(31)式.

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