汪遠(yuǎn)遠(yuǎn)， 祖 莉， 黃金寶， 周長光， 歐 屹， 馮虎田(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 南京 210094)

滾珠絲杠副廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)[1-3],進(jìn)給系統(tǒng)是各種數(shù)控設(shè)備的核心組成部分[4-5]。滾珠絲杠副剛性對數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)動態(tài)穩(wěn)定、振動幅度有重要影響[6-7]。隨著滾珠絲杠副速度和載荷的不斷提高，其振動問題愈加突出，嚴(yán)重影響數(shù)控機(jī)床的定位精度，滾珠絲杠副剛度不足問題已成為數(shù)控機(jī)床向高速化、高精度發(fā)展的主要障礙[8]。

目前對滾珠絲杠副剛性的研究大多集中在滾珠絲杠副靜剛度的建模上，采用理論計(jì)算分析靜剛度的影響因素或使用有限元仿真對所建模型的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，而通過剛性試驗(yàn)驗(yàn)證靜剛度數(shù)學(xué)模型正確性的研究卻很少。Takafuji等[9]以雙螺母滾珠絲杠副為研究對象，考慮了絲杠軸、螺母、絲杠螺紋的彈性變形，建立新型滾珠絲杠副靜剛度數(shù)學(xué)模型，并將靜剛度數(shù)學(xué)模型計(jì)算值與試驗(yàn)值比較分析。陳勇將等[10-11]分析滾珠絲杠副剛度影響因素，考慮接觸角的變化及接觸變形影響，建立聯(lián)合載荷下滾珠絲杠副剛度數(shù)學(xué)模型，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證理論模型的可靠性。胡建忠等[12]考慮滾珠、螺母和絲杠滾道的幾何參數(shù)，建立滾珠絲杠副接觸角模型，發(fā)現(xiàn)預(yù)緊力對螺旋升角影響非常小, Wei等[13]以單螺母滾珠絲杠副為研究對象，在軸向載荷加載的過程中，接觸角的變化很小，因此，在測量剛度的時候，螺旋升角和接觸角對剛度的影響非常的小。另外目前在所有滾珠絲杠副的剛性試驗(yàn)研究過程中，僅僅只是針對滾珠絲杠副某一位置處檢測其靜剛度，并未考慮滾珠絲杠副不同位置處剛度值波動的情況。如果滾珠絲杠副在其有效行程內(nèi)的剛度波動范圍過大，那么必將對整個數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定以及定位精度產(chǎn)生嚴(yán)重影響。因此，在研究滾珠絲杠副剛度時，必須考慮其不同位置處的剛度波動情況。

目前，境內(nèi)外同一廠家不同規(guī)格、不同廠家同一規(guī)格的滾珠絲杠副螺母外形尺寸(螺母外徑、法蘭孔徑、法蘭孔距等)均不相同，因此在剛性測量過程中必須加工不同的工裝，這就導(dǎo)致了大量資源浪費(fèi)。另外，滾珠絲杠副剛性的一次測量只能測得一個位置的剛度值，如果要獲得有效行程內(nèi)的剛度波動情況，就必須進(jìn)行多次測量，每次測量都要拆卸工裝、調(diào)整傳感器等一系列工作，這無疑大大增加了工作量。而滾珠絲杠副摩擦力矩的一次測量就可得到有效行程內(nèi)摩擦力矩連續(xù)波動情況，更換絲杠時只需松開尾座、選擇相應(yīng)的連桿即可。由于滾珠絲杠副摩擦力矩測量是空載扭矩，在整個測量行程中，螺旋升角和接觸角是基本沒有什么變化，同時在剛性測量中，軸向載荷的加載對螺旋升角和接觸角的影響非常小，可得雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副摩擦力矩與剛度波動之間的關(guān)系，利用簡單、易測的摩擦力矩變化趨勢來表征滾珠絲杠副的剛度波動情況，評價滾珠絲杠副在有效行程內(nèi)的動態(tài)穩(wěn)定特性，本文首先對雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的滾珠進(jìn)行動力學(xué)分析，建立預(yù)緊力與接觸剛度的關(guān)系式，結(jié)合滾珠絲杠副預(yù)緊力與摩擦力矩平衡方程，建立關(guān)于摩擦力矩的接觸剛度數(shù)學(xué)模型，最終通過試驗(yàn)驗(yàn)證理論分析的正確性。

1 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副接觸剛度分析

雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副僅受預(yù)緊力作用時，預(yù)緊力對稱地施加在兩螺母上，且同一滾道上所有滾珠受力情況相同[14]。為了便于分析，在兩螺母上各取一個滾珠，建立滾珠絲杠副剛度模型，如圖1所示。O，O′分別為兩滾珠的球心，(X,Y,Z)為固定坐標(biāo)系，Z軸與絲杠軸線所在的方向一致，A,C點(diǎn)為滾珠與螺母的接觸點(diǎn)，B,D點(diǎn)為滾珠與絲杠的接觸點(diǎn),A′,B′,C′,D′分別為點(diǎn)A,B,C,D在YOZ平面上的投影。在O,O′處建立Frenet坐標(biāo)系(tnb)，t軸方向與螺旋線在O,O′點(diǎn)處的切線方向重合，n軸方向與絲杠在O,O′點(diǎn)徑向方向重合。α表示滾珠與絲杠、螺母的接觸角，β表示滾珠絲杠副的螺旋角。由圖1中絲杠軸線方向受力平衡關(guān)系可得

(1)

式中：Q為接觸點(diǎn)處滾珠受到的法向力；Fp為絲杠螺母的預(yù)緊力；i為滾珠絲杠副滾珠圈數(shù)；Z1為每圈滾珠中有效承載滾珠數(shù)；α為接觸角；β為螺旋角。

圖1 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副在預(yù)緊力作用下的受力分析Fig.1 Mechanical analysis under preload of the double- nut preloaded ball screw mechanism

滾珠與絲杠滾道、螺母滾道間的法向接觸變形，如圖2所示。δs、δn分別為螺母1滾珠與絲杠滾道、滾珠與螺母滾道間的法向接觸變形量。

圖2 滾珠與絲杠滾道、螺母滾道間的接觸變形Fig.2 Normal contact deformation between the ball and the screw or the nut

在預(yù)緊力Fp的作用下，滾珠與絲杠滾道、滾珠與螺母滾道間產(chǎn)生的法向接觸變形可由赫茲接觸理論得

(2)

在預(yù)緊力Fp作用下，單螺母相對絲杠的軸向變形為δFp，滾珠與絲杠、滾珠與螺母間法向接觸變形分別為δs、δn，由圖2幾何關(guān)系得

(3)

聯(lián)立式(1)～式(3)可得單螺母相對絲杠的軸向變形為

(4)

式中：

Yj=1.282[-0.154(sinφ)1/4+1.348(sinφ)1/2-

0.194sinφ]

cosφj=

(5)

滾珠絲杠副預(yù)緊力與摩擦力矩之間的關(guān)系式為[16]

(6)

式中：μ為摩擦因數(shù)；rm為絲杠半徑；rb為滾珠半徑；Mtest為實(shí)際檢測的摩擦力矩。

聯(lián)立式(5)、式(6)得:

(7)

式中：λ=2μ·sinα·(rm+rb·cosα)·(cosβ)2。

圖3 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副在軸向負(fù)載下的軸向變形Fig.3 Axial deformation of the double-nut preloaded ball screw mechanism under the axial load

2 試驗(yàn)

本次試驗(yàn)選取境內(nèi)外相同規(guī)格(境內(nèi)廠家絲杠型號為DGD4010;境外廠家型號為R40-10k4-FDC)的雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副各一根，具體參數(shù)，如表1所示。

2.1 滾珠絲杠副摩擦力矩測量原理

摩擦力矩測量原理，如圖4所示。絲杠一端與伺服電機(jī)相連，另一端固定在尾座中心。螺母的圓周運(yùn)動受到連桿①與懸臂②的約束，且工作臺上設(shè)有支撐單元，支撐單元與絲杠滾道相接觸，可以相對轉(zhuǎn)動，沒有頂死在絲杠滾道上，同時添加一定量潤滑脂，作用只是當(dāng)絲杠轉(zhuǎn)動時，螺母和工作臺可同時沿絲杠軸線方向往返運(yùn)動，因此，可忽略其摩擦。滾珠與滾道間的摩擦力通過連桿傳遞給懸臂，懸臂下方的壓力傳感器③采集到的力值乘以力臂即為滾珠絲杠副摩擦力矩。試驗(yàn)前，使用100號潤滑油[17]讓絲杠跑合5 min，確保滾珠絲杠副充分潤滑;試驗(yàn)過程中，絲杠以100 r/min的轉(zhuǎn)速進(jìn)行摩擦力矩測量。

表1 滾珠絲杠副參數(shù)表Tab.1 The ball screws parameters

1-連桿; 2-懸臂; 3-壓力傳感器圖4 摩擦力矩測量原理Fig.4 The measuring principle of friction torque

2.2 滾珠絲杠副靜剛度測量原理

目前滾珠絲杠副靜剛度測量有很多不足之處，如測量過程中絲杠發(fā)生旋轉(zhuǎn)，位移傳感器與絲杠軸線間距離不固定，每次測量中絲杠被測長度不確定，傳感器不方便調(diào)節(jié)等[18]。針對上述滾珠絲杠副靜剛度測量不足之處，為了減小間接測量帶來的誤差，對滾珠絲杠副靜剛度測量系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，如圖5所示。該測量系統(tǒng)主要由移動橫梁、壓力傳感器、絲杠防轉(zhuǎn)裝置、剛度測量裝置組成。

圖5 滾珠絲杠副靜剛度測量系統(tǒng)Fig.5 The static stiffness measuring system of the ball screws

針對滾珠絲杠副靜剛度測量過程中絲杠發(fā)生旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，本文設(shè)計(jì)了絲杠防轉(zhuǎn)裝置結(jié)構(gòu)，如圖6所示。上壓盤1與連桿4通過螺釘連接，連桿4與下壓盤2中對應(yīng)的孔相配合，絲杠5與下壓盤2之間通過平鍵6連接，鋼球3起到軸向負(fù)載Fa的傳遞作用。因此，當(dāng)移動橫梁緩慢加載時，通過連桿4與平鍵6的作用，可以防止絲杠發(fā)生旋轉(zhuǎn)。

1-上壓盤； 2-下壓盤； 3-鋼球； 4-連桿； 5-絲杠； 6-平鍵圖6 滾珠絲杠副防轉(zhuǎn)裝置Fig.6 The anti-rotation device of the ball screws

針對目前滾珠絲杠副測量過程中，位移傳感器與絲杠軸線間距離不固定，每次測量中絲杠被測長度不確定，傳感器調(diào)節(jié)不方便等問題，根據(jù)滾珠絲杠副剛性測量原理，設(shè)計(jì)新型剛度測量裝置，測量裝置，如圖7所示。該裝置主要由彈性錐套2、絲杠測量基準(zhǔn)3、螺母測量裝置4、螺母固定裝置6、傳感器夾具7組成。接觸式位移傳感器8通過傳感器夾具7垂直固定，位移傳感器數(shù)量為3，120°均勻分布，且3個傳感器分布在以絲杠軸線為中心的同一分度圓上，確保每個傳感器距離絲杠軸線距離相等。彈性錐套2把絲杠測量基準(zhǔn)3固定于絲杠上，確保位移傳感器沿絲杠軸線方向不產(chǎn)生位移。螺母測量裝置4通過連接件5固定于螺母上，絲杠螺母通過螺釘與螺母固定裝置6連接，使螺母測量裝置4固定不動。絲杠測量基準(zhǔn)3與螺母測量裝置4之間加等高塊，保證每次靜剛度試驗(yàn)中被檢測的絲杠長度相等。

1-絲杠； 2-彈性錐套； 3-絲杠測量基準(zhǔn); 4-螺母測量裝置； 5-連接件； 6-螺母固定裝置； 7-傳感器夾具； 8-位移傳感器

圖7 滾珠絲杠副剛度測量裝置

Fig.7 The stiffness measuring device of ball screws

3 結(jié)果分析與討論

根據(jù)BSISO3408-4，在計(jì)算軸向靜剛度時，滾珠絲杠副是否有預(yù)載很重要，剛度計(jì)算公式適用于所有有預(yù)載的滾珠絲杠副。本次靜剛度試驗(yàn)測量的是雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的綜合剛度，它包括絲杠軸剛度、接觸剛度及絲杠軸、螺母在外加負(fù)載徑向分量作用下的剛度，它們之間的關(guān)系為

(8)

式中：Rcd為雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副接觸剛度，Rtest為綜合剛度測量值，Rs為絲杠軸剛度，Rns為單螺母在外加負(fù)載徑向分量作用下的剛度，Rs、Rns可根據(jù)BSISO3408-4計(jì)算，本文使用的兩種型號滾珠絲杠副的Rs經(jīng)計(jì)算皆為6 932 N/μm，型號為DGD4010、R4010K4FDC的滾珠絲杠副Rns經(jīng)計(jì)算分別為17 800 N/μm、13 150 N/μm)，根據(jù)該關(guān)系式可求出接觸剛度測量值。

兩種型號的雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副摩擦力矩測量值，如圖8所示。從圖8可知，型號為DGD4010的滾珠絲杠副摩擦力矩值波動范圍為1.42～2.16 N/m；型號為R4010K4FDC的滾珠絲杠副的摩擦力矩波動范圍為1.08～1.33 N/m。圖9為式(7)所得的接觸剛度理論值與接觸剛度測量值對比。型號為DGD4010的滾珠絲杠副的理論接觸剛度波動范圍為1 451～1 669 N/μm,實(shí)測接觸剛度波動范圍為1 437～1 567 N/μm；型號為R4010K4FDC的滾珠絲杠副的理論接觸剛度波動范圍為1 324～1 418 N/μm,實(shí)測接觸剛度波動范圍為1 318～1 406 N/μm，滾珠絲杠副接觸剛度測量值曲線與理論值曲線基本吻合，充分驗(yàn)證了所建接觸剛度數(shù)學(xué)模型的正確性，因此可通過測量雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的摩擦力矩來反映其有效行程內(nèi)的剛度波動情況。

圖8 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副摩擦力矩測量值Fig.8 Test values of friction torque of the double-nut preloaded ball screw mechanism

圖9 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副接觸剛度理論值與測量值Fig.9 Calculated and measured values of contact stiffness of the double-nut preloaded ball screw mechanism

需要說明的是，型號為DGD4010的滾珠絲杠副的第1個測量點(diǎn)處接觸剛度測量值比第二個測量點(diǎn)處接觸剛度測量值低，而從理論曲線的變化趨勢來看，第一測量點(diǎn)處的接觸剛度理論值比第二測量點(diǎn)處的接觸剛度理論值高，如圖9所示。在接觸剛度測量中，型號為DGD4010的滾珠絲杠副的第1個測量點(diǎn)處5次測量值重復(fù)性好，且對5次測量值取均值，測量結(jié)果真實(shí)可靠?？赡苁怯捎谠撾p螺母預(yù)緊滾珠絲杠副(DGD4010)的第1個測量點(diǎn)處的導(dǎo)程誤差或材料等原因，導(dǎo)致此處的滾珠產(chǎn)生的軸向變形較大，使得螺母的整體軸向變形增大，最終使得該點(diǎn)的接觸剛度較低。

4 結(jié) 論

本文通過對雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副滾珠進(jìn)行動力學(xué)分析，建立預(yù)緊力與接觸剛度的關(guān)系式，結(jié)合滾珠絲杠副預(yù)緊力與摩擦力矩平衡方程，建立雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副關(guān)于摩擦力矩的接觸剛度模型，最終通過試驗(yàn)驗(yàn)證了接觸剛度數(shù)學(xué)模型的正確性。試驗(yàn)結(jié)果表明：

(1) 當(dāng)雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的軸向外加載荷<23/2倍預(yù)緊力時，雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的接觸剛度與摩擦力矩的三分之一次方成正比。

(2) 可通過測量雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的摩擦力矩來反映其有效行程內(nèi)的剛度波動情況。

(3) 可簡單、快速的獲得雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副接觸剛度波動情況，能夠快速的進(jìn)行雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的初步篩選。

參 考 文 獻(xiàn)

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