張 健，謝智雄

(河海大學(xué)機電工程學(xué)院，江蘇常州213022)

0 引 言

弧形閘門支臂結(jié)構(gòu)的安全影響著整個弧形閘門的安全，根據(jù)國內(nèi)外對弧形閘門事故的調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)：弧形閘門產(chǎn)生破壞的主要原因就是閘門支臂結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)破壞，并且有文獻指出，只要動水壓力的激振能量不是很大，閘門不容易出現(xiàn)整體框架結(jié)構(gòu)的振動，但是支臂發(fā)生單獨振動的可能性卻是很大的，因而有必要對弧形閘門支臂結(jié)構(gòu)的非線性振動做進一步的分析研究。

混沌來源于非線性，在非線性振動過程中有可能存在混沌現(xiàn)象，在線性系統(tǒng)中不會產(chǎn)生?；煦绱嬖谟谀承┐_定性的系統(tǒng)中，而且不需要任何附加的隨機因素。混沌振動具有以下的一些特點：由確定性因素產(chǎn)生，具有有界性，具有非周期性，對初始條件具有極端敏感性。本文通過有界性和非周期性來判斷弧形閘門支臂結(jié)構(gòu)振動是否存在混沌現(xiàn)象，并通過功率譜圖和Lyapunov指數(shù)進一步確認了支臂結(jié)構(gòu)振動確實存在混沌現(xiàn)象。

1 閘門支臂結(jié)構(gòu)動力微分方程的建立

根據(jù)文獻[1]，在一定開度下，弧形閘門泄流產(chǎn)生的動力荷載可以轉(zhuǎn)化為周期性變化的動水荷載，在考慮到考慮非線性影響因素后，其動力屈曲方程的一般形式為

(1)

式中，A，B，C是與梁的動力屈曲模態(tài)有關(guān)的常數(shù)矩陣；I為單位陣；f為廣義坐標列陣；Φ(t)為周期函數(shù)；α、β為荷載參數(shù)。

方程(1)是一個齊次非線性微分方程，而混沌只會發(fā)生在非線性系統(tǒng)中，因而研究方程(1)是有可能發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象的。

1.1 支臂結(jié)構(gòu)的計算簡圖

根據(jù)國內(nèi)外一些實測結(jié)果，將支臂結(jié)構(gòu)按照兩端鉸接壓桿計算得到的自振頻率值與實測頻率值很接近，因此可以將支臂結(jié)構(gòu)按照簡支梁模型來分析。本文將支臂看成是兩端鉸接的壓桿，在軸向干擾力的作用下進行動力穩(wěn)定性分析，支臂結(jié)構(gòu)的計算模型如圖1所示。

圖1 支臂結(jié)構(gòu)計算模型

1.2 支臂結(jié)構(gòu)動力學(xué)微分方程的建立

對于圖1所示的支臂結(jié)構(gòu)的計算模型，在荷載的作用下支臂將產(chǎn)生橫向彎曲，根據(jù)文獻[3]發(fā)現(xiàn)支臂阻尼對支臂振動主要不穩(wěn)定區(qū)域的影響較小，可忽略阻尼對支臂振動的影響。

根據(jù)支臂結(jié)構(gòu)的計算模型，由動力平衡條件，建立無阻尼動力微分方程為

(2)

式中，E為彈性模量；I為截面慣性矩；p0+ptcos(θt)為周期性變化動水荷載；A為支臂橫截面面積；α為支臂的傾角；m為支臂的質(zhì)量；v為支臂的撓度。

(3)

由式(3)可得

(4)

(5)

于是可得到無量綱形式的動力學(xué)微分方程

(6)

2 支臂結(jié)構(gòu)振動的混沌現(xiàn)象

混沌是發(fā)生在確定性非線性系統(tǒng)中的貌似隨機的無規(guī)則運動，看似混亂無序，但是又頗有規(guī)律。由于系統(tǒng)的非線性，在滿足一定條件的振動系統(tǒng)中，即使是在受到規(guī)則的激勵后也會產(chǎn)生貌似無規(guī)則的永不重復(fù)的振動響應(yīng)。混沌產(chǎn)生的主要原因就是系統(tǒng)對初始條件的十分敏感性，即使初始條件有微小的差別也有可能使得系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象?；煦邕\動的形態(tài)是十分復(fù)雜的，很難通過解析計算來描述，本文主要是通過計算機的數(shù)值仿真來實現(xiàn)對混沌現(xiàn)象的描述。

弧形閘門在發(fā)生振動時，支臂會產(chǎn)生動力不穩(wěn)定區(qū)域，當非線性振動系統(tǒng)不穩(wěn)定時，就有可能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，因此在研究混沌振動之前，要先解決系統(tǒng)振動穩(wěn)定性問題。根據(jù)一些調(diào)查弧形閘門失事報告經(jīng)過解析分析得出結(jié)論：在把支臂作為兩端鉸接的軸心壓桿，所施加的軸向干擾力為p(t)，當干擾力的頻率θ等于支臂的橫向振動固有頻率Ω的2倍時，支臂將發(fā)生參數(shù)共振，喪失穩(wěn)定。在本文中分析混沌振動時不妨取θ=2Ω，此時當施加的軸向干擾力的某些參數(shù)發(fā)生改變時，系統(tǒng)就有可能會發(fā)生混沌現(xiàn)象。

(7)

將以上數(shù)據(jù)整理后代入一階微分方程組(7)，采用MATLAB程序利用四階龍格庫塔方法進行數(shù)值分析，繪制相圖、時程曲線圖、功率譜圖并計算Lyapunov指數(shù)，通過這些方法進行混沌的數(shù)值識別，當圖像滿足一定的條件時，即可判定該系統(tǒng)是否出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象?；煦绲南鄨D不是單獨的一條封閉的曲線，而是一個具有往復(fù)性并且局限在某一區(qū)域內(nèi)的圖形；混沌運動是非周期性運動，功率譜譜線是類似于噪聲的連續(xù)譜線，但是利用功率譜圖還是很難區(qū)分真正的混沌運動和隨機運動的；而Lyapunov指數(shù)就能避免這個問題，只要當Lyapunov指數(shù)中有一個值是正值，此時就產(chǎn)生了混沌運動。

在實際工程中，脈動壓力幅值(即pt)是一個變量，因此在本文中以c為變量，通過選擇不同的值，利用程序繪制出相應(yīng)的圖像。

取c=5，相圖和時程曲線如圖2、3所示。

圖2 相圖

圖3 時程曲線

顯然，相圖是一個環(huán)面，時程曲線圖是一個規(guī)則的周期圖像，因而這是一個周期運動。此時弧形閘門支臂沒有產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

取c=14，相圖和時程曲線如圖4、5所示。

圖4 相圖

圖5 時程曲線

顯然，相圖是局限在一定區(qū)域內(nèi)的不重復(fù)圖像，時程曲線圖是一個類似噪聲無規(guī)律譜線圖，因而在此時系統(tǒng)有可能出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象。

取c=14.8，相圖、時程曲線圖如圖6、7所示。

圖6 相圖

圖7 時程曲線

顯然，相圖是局限在某一區(qū)域內(nèi)永不重復(fù)的圖像，時程曲線圖是一種類似于噪聲的無規(guī)律譜線，因而可以判斷系統(tǒng)有可能存在混沌現(xiàn)象。

為驗證此時系統(tǒng)的確存在混沌現(xiàn)象，繪制功率譜圖和計算Lyapunov指數(shù)如圖8、9所示。

圖8 功率譜

圖9 Lyapunov指數(shù)

功率譜圖是一種類似于噪聲的無規(guī)律連續(xù)譜線，因而可判斷系統(tǒng)有可能存在混沌現(xiàn)象。

3 結(jié) 語

利用MATLAB程序數(shù)值模擬的方法，通過計算機繪制出的相圖、時程曲線圖、功率譜圖以及Lyapunov指數(shù)發(fā)現(xiàn)弧形閘門支臂結(jié)構(gòu)在動水荷載的激勵下可能會產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。在本文中，周期倍化是產(chǎn)生混沌的途徑，當c較小的時候，支臂結(jié)構(gòu)在激勵下做周期振動，隨著c數(shù)值的增大，支臂非線性振動系統(tǒng)中產(chǎn)生了混沌。通過數(shù)值模擬的方法發(fā)現(xiàn)了混沌產(chǎn)生的途徑，對弧形閘門支臂結(jié)構(gòu)的混沌振動有了更加直觀的認識。

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