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        三次B樣條有限體積元法

        2018-06-22 11:26:30秦丹丹申延成黃文竹
        長春工業(yè)大學學報 2018年2期
        關鍵詞:有限元法定義有限元

        秦丹丹, 馮 雪, 申延成, 黃文竹

        (1.空軍航空大學 基礎部, 吉林 長春 130022;2.貴州醫(yī)科大學 生物與工程學院, 貴州 貴陽 550025)

        0 引 言

        由于B樣條函數(shù)是對稱單峰值函數(shù),并且具有光滑性好、緊支集等特點,在插值逼近和微分方程求解問題中有廣泛應用。B樣條函數(shù)的光滑性要優(yōu)于Lagrange和Hermite型樣條函數(shù),并且以B樣條為基函數(shù)的有限元空間只有一組基函數(shù),而Lagrange和Hermite型有限元空間都是兩組基函數(shù),因此,在微分方程的數(shù)值計算中,B樣條函數(shù)是值得研究的。以B樣條為基函數(shù)的有限體積元法生成的剛度矩陣是稀疏的,并且有對稱性和正定性,便于計算實現(xiàn)??梢哉f,B樣條有限體積元法兼具差分法和有限元法的優(yōu)點?;谝陨峡紤],文中構造了三次B樣條有限體積元法。

        1 B樣條的定義與性質

        B樣條函數(shù)有多種定義方法,文中介紹兩種。文中m和n都是正整數(shù)。

        Mm(x)=Mm[xj,xj+1,…,xj+m;x]=

        稱Mm(x)為關于節(jié)點xj,xj+1,…,xj+m的m階m-1次B樣條函數(shù)[1]。

        文中用到的等距B樣條函數(shù)與定義1有所不同,按照下面的遞推關系式給出。

        定義2m階B樣條的卷積定義式[1-2]:

        m≥2,

        其中

        由定義1和定義2得知,兩種定義之間可以相互轉化。

        由定義2能夠推出m階B樣條的相關性質:

        1)正定性與緊湊性,Sm(x)≥0,具有緊支集[0,m];

        2)分段光滑性,Sm(x)是一個分段m-1次多項式,Sm(x)∈Cm-2(-,);

        4)成立積分遞推式

        及代數(shù)遞推式

        其中,m=1,2,…。

        B樣條還具有許多優(yōu)良性質[2]。

        根據(jù)定義2可以計算出三次B樣條的表達式:

        2 基于B樣條的有限體積元法

        考慮兩點邊值問題:

        i=-3,-2,…,n-1。

        為方便處理強加邊值條件,將前三個函數(shù)換成線性組合[3-5]:

        6φ-3(x),

        φ-2(x)-4φ-3(x),

        同時將最后三個基函數(shù)也換成線性組合:

        φn-2(x)-4φn-1(x),

        6φn-1(x)。

        改換前后兩個空間是等價的。任一uh∈Uh可以表示成

        其中,j=0,1,2,…,n。

        a(uh,vh)=(f,vh),

        ?vh∈Vh。

        a(u,v)是對稱正定的雙線性形式,變分形式有唯一解。

        兩點邊值問題的積分守恒形式為:求uh∈Uh,使得

        uh(xi)=ci-3φi-3(xi)+ci-2φi-2(xi)+

        ci-1φi-1(xi)

        需要指出,若用Hermite型三次元求解兩點邊值問題,剛度矩陣的帶寬為7,與三次B樣條有限元是一樣的。但Hermite型三次元在每個節(jié)點有兩個參數(shù),B樣條有限元在每個節(jié)點只有一個參數(shù)(不計邊界以外的擴充點),所以,若用相同的節(jié)點個數(shù),兩種方法的系數(shù)矩陣階數(shù)之比約為2∶1,而二者的收斂階卻相同。從這點來看,B樣條有限元法更有優(yōu)勢。

        3 數(shù)值算例

        取a=0,b=1,p=0,f(x)=4π2sin(2πx),兩點邊值問題的精確解為u(x)=sin(2πx)。用MATLAB編程得到數(shù)據(jù)見表1。

        表1 三次B樣條有限體積元法的誤差與收斂階

        4 結 語

        構造了基于三次B樣條的有限體積元法,該方法有很好的收斂性。在H1半模和L2模下,三次B樣條有限元法分別具有3階和4階收斂精度,三次B樣條有限元法具有最佳L2收斂階。我們發(fā)現(xiàn)B樣條有限元法與傳統(tǒng)有限元法一樣有較高的收斂階,還具有一些優(yōu)于傳統(tǒng)有限元法的性質。

        參考文獻:

        [1] 孫家昶.樣條函數(shù)與計算幾何[M].北京:科學出版社,1982.

        [2] 陳廣生.B樣條函數(shù)的一個性質[J].廣西科學,2008,15(4):381-382.

        [3] 石鐘慈.樣條有限元[J].計算數(shù)學,1979(1):50-72.

        [4] 梁旭彪,簡柏敦,倪光正.B樣條有限元[J].中國電機工程學報,1987(6):11-22.

        [5] 李榮華,馮果忱.微分方程數(shù)值解法[M].北京:高等教育出版社,1995.

        [6] Ronghua Li, Zhongying Chen, Wei Wu. Generalized difference methods for differential equations [M]. [S.l.]: Marcel Dekker,Inc.,2000.

        [7] Wang Tongke. High accuracy finite volume element method for two-point boundary value problem of second order ordinary differential equations [J]. Numer Math., Journal of Chinese Univ.,2002,11(2):213-225.

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