余學(xué)鋒， 于 杰， 張紅清

(63870部隊， 陜西 華陰 714200)

1 引 言

常規(guī)武器鑒定試驗過程可分為鑒定試驗數(shù)據(jù)獲取和鑒定試驗數(shù)據(jù)處理兩大部分，其中在鑒定試驗數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)存在大量的先驗信息(被試品設(shè)計信息、仿真數(shù)據(jù)信息、子系統(tǒng)信息、相似型號信息、專家信息等)和后驗信息(靶場試驗測試信息)。同時，無論是先驗信息還是后驗信息都存在不確定性問題，包括隨機不確定性和認知不確定性。因此，在鑒定試驗數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)有兩大關(guān)鍵問題：一是先驗信息和后驗信息的有效融合；二是多源信息不確定性處理。長期以來，Bayes理論以其能夠充分利用多源信息進行統(tǒng)計驗證推斷而被廣泛用于處理精確化測量的先驗信息[1,2]和靶場試驗信息。但由于Bayes理論是基于概率論基礎(chǔ)，在進行統(tǒng)計推斷時一般要進行先驗分布假設(shè)，含有一定的主觀性。因此，在處理數(shù)據(jù)不確定性方面，只適于處理隨機不確定性(外延清晰的信息)，而對于實際中存在的認知不確定性(外延模糊的信息)則很難處理。文獻[3,4]提出了最大熵原理方法，但仍然是在概率論基礎(chǔ)上用樣本數(shù)據(jù)確定概率分布，且不具有多源信息處理能力;文獻[5]提出了隨機和認知不確定性量化的置信區(qū)域法，但同樣只能分析當前隨機不確定性和認知不確定性對測量結(jié)果的影響，不能對多源信息進行融合處理;文獻[6]雖然提出了用可能性理論處理不確定性問題，但主要從理論層面探討了基于可能性理論的測量誤差、測量不確定度的表達處理等，不涉及先驗和后驗信息融合問題。為此，本文提出了采用可能性理論來處理先驗信息和靶場試驗信息融合及不確定性問題，從而更有效地提高鑒定效率以及試驗結(jié)果的可信度。

2 基本原理

2.1 原理和思路

基于可能性理論的先驗信息和后驗信息不確定性融合處理的基本原理是將被處理信息用隨機模糊變量的可能性分布來描述，通過其先驗信息分布和樣本信息分布綜合，根據(jù)可能性理論得出后驗信息分布，最后根據(jù)后驗信息分布去推斷被處理信息的不確定分布。也就是說“先驗分布+樣本→后驗分布”?？赡苄苑植际强赡苄岳碚撝械囊粋€支撐性概念，其重要性類似于概率論中的概率分布。利用可能性理論處理不確定性，往往只需要較少的信息和較低的時間復(fù)雜度。

因此，本文提出的基本思路是用隨機模糊變量代替隨機變量，以近似精度更高且具有統(tǒng)一形式的可能性分布密度函數(shù)替代任意獨立隨機變量的概率密度函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上，通過對應(yīng)的可能性分布計算方法進行先驗信息和靶場試驗測試信息的有機融合。

由可能性理論可知[7,8]，隨機模糊變量(random fuzzy variables，RFV)以及對應(yīng)的可能性分布(possibility distributions，PD)，在表達測量結(jié)果以及相應(yīng)的測量結(jié)果不確定度時，隨機模糊變量定義了一個函數(shù)，該函數(shù)將隨機試驗的每種可能結(jié)果映射成模糊集，來模擬模糊與隨機相耦合的不確定性。隨機模糊變量的可能性分布由兩部分構(gòu)成，如圖1所示。

圖1 隨機模糊變量及其可能性分布

PDrint稱為內(nèi)部PD，代表所有非隨機分量對測量結(jié)果不確定性的貢獻，包括沒有補償?shù)南到y(tǒng)誤差。PDrran稱為隨機PD，代表所有隨機分量對測量結(jié)果不確定性的貢獻，而PDrext稱為外部PD，是由PDrint和PDrran組合而成，代表所有分量對測量結(jié)果不確定性的貢獻。PDrint和PDrran都可以通過有效的測量信息獲得。

采用可能性理論對測試信息的不確定性進行表征后，還需對先驗和后驗信息進行融合，參照貝葉斯方法在處理測試信息融合方面的思路，通過建立條件可能性分布的方法，并使用條件可能性分布獲得測量結(jié)果最終信息。

2.2 條件可能性分布

從概率論角度來看，武器裝備的先驗信息和靶場試驗測試信息的有機融合可以看作是兩個隨機變量相依性關(guān)系，而描述這種相依性最有力的工具就是條件分布與條件期望。只要構(gòu)造出它們的聯(lián)合分布就可獲得最終測量結(jié)果以及測量不確定度。

由此可以構(gòu)造它們的聯(lián)合分布，如果能夠得到隨機變量X的密度函數(shù)pX(x)及在X給定條件下Y的條件密度函數(shù)p(y|x)，則由其乘積的積分可得Y的邊緣分布：

(1)

也就是說，如果能夠得到先驗信息所代表的隨機變量X的分布pX(x)，以及在給定條件下現(xiàn)場測試信息(后驗信息)所代表的隨機變量Y的條件分布p(y|x)，則通過一系列數(shù)學(xué)運算，可以獲得最終實際結(jié)果的分布(Y的邊緣分布)。

同樣，當采用可能性理論處理先驗和后驗信息融合時，則用可能性分布取代概率分布，先驗信息和后驗信息融合則采用可能性條件分布與可能性隸屬函數(shù)。在可能性理論框架下，概率論下的隨機變量X和Y就變?yōu)镽FV。由可能性相關(guān)理論可以得到條件可能性分布數(shù)學(xué)表達式[9]：

T[rX(x),rY(y,x)] =T[rY(y),rX(x|y)]

=rX,Y(x,y)

(2)

式中：rX(x)和rY(y)分別是其可能性分布邊緣密度函數(shù);rY(y|x)和rX(x|y)分別為可能性分布的條件密度函數(shù);rX,Y(x,y)為可能性分布聯(lián)合密度函數(shù)。而T為可能性分布下的算子，稱為t模，或稱T為[0,1]上的三角范數(shù)。

由式(2)可以看出，概率分布下的算術(shù)乘積運算，在可能性分布中變成了取T算子(t模)運算。也就是說在不確定性分布表達上，概率分布與可能性分布的主要不同是在可能性分布中引用了T算子(t模)。或者說，可以通過T算子實現(xiàn)由概率分布到可能性分布的變換。

現(xiàn)在從一般T算子中選擇一個專用的T*算子(t模)，式(2)可以寫為[10]：

T*[rX(x),rY(y|x)] =T*[rY(y),yX(x|y)]

=rX,Y(x,y)

(3)

rX(x|y)=F*[rX,Y(x,y),rY(y)]

(4)

式中：F*是T*算子的逆運算。

可以看出，只要知道被測試對象(參數(shù))先驗信息X(rX(x))的可能性分布，以及在給定條件下后驗信息Y(rY(y|x))的條件可能性條件分布，選擇合適的T*算子(t模)，就可獲得被測試對象(參數(shù))的聯(lián)合可能性分布rX,Y(x,y)。按照最大熵原則，測試得到的數(shù)據(jù)可用來導(dǎo)出對所估計的可能性分布的約束集，而所估計分布的熵在約束集的約束下達到最大，就可得到被測試對象(參數(shù))的邊緣可能性分布結(jié)果[11]。

最大熵法的基礎(chǔ)是Jaynes原理，最優(yōu)的可能性分布是使熵在根據(jù)已知的信息附加的約束條件下最大。后驗信息的可能性邊緣分布rY(y)表達式為：

(5)

式中：sup表示在可能性理論中的邊緣分布在給定約束條件下的上確界運算。

顯然，如何選擇最合適的T*算子(t模)完全取決于表達不確定性信息的隨機模糊變量r(不確定分量)的可能性分布情況，因此，隨機模糊變量r的內(nèi)部和外部可能性分布將直接關(guān)系到T*算子(t模)的選擇。

3 可能性分布的建立

3.1 內(nèi)部可能性分布的建立

當把先驗和后驗信息看做是隨機模糊變量時，其可能性分布的獲取和構(gòu)造是一個至關(guān)重要的問題。由圖1可知，隨機模糊變量的可能性分布由兩部分組成，即內(nèi)部可能性分布和隨機可能性分布。隨機模糊變量的內(nèi)部可能性分布描述了所有非隨機分量對測量結(jié)果不確定性的貢獻，包括沒有補償?shù)南到y(tǒng)誤差。這類信息集合的數(shù)學(xué)運算采用相應(yīng)的T*算子(最小t模)以及最大熵原則，使得在只掌握部分信息的情況下對系統(tǒng)狀態(tài)進行推斷時，在所有滿足給定約束條件的眾多可能性隸屬函數(shù)中，信息熵最大的可能性隸屬函數(shù)為最佳(即偏差最小)。這是可做出的唯一不偏不倚的選擇，任何其它選擇都意味著添加了額外約束或改變了原有假設(shè)條件，而這些約束和假設(shè)條件根據(jù)所掌握的既有信息是無法得到的[12]。

最大熵原理或最小特異性原則所對應(yīng)的T*算子(最小t模)，適宜用于表征這類信息集合的數(shù)學(xué)運算。因此式(2)就變?yōu)閇13]：

(6)

用隨機模糊變量X的可能性分布代表被測試量值的先驗信息分布，Y隨機模糊變量的可能性分布代表被測試量值的后驗信息分布，ym是當前測量值，如圖2、圖3所示。

圖2 先驗信息隨機模糊變量可能性分布

圖3 后驗信息隨機模糊變量可能性分布

(7)

(8)

這意味著，如果后驗測試結(jié)果不能對先驗分布提供任何信息，沒有交集，那么先驗分布就仍然表示對總體分布的未知。

3.2 隨機可能性分布建立

隨機可能性分布描述了由于隨機不確定分量導(dǎo)致的對測量結(jié)果不確定性的貢獻，根據(jù)文獻[12]的有關(guān)分析，當熵值達到最小時，對可能性分布的限制最少，可能性分布的邊界點為所包含在矩約束中的最大信息量。也就是說，在測量信息的隨機分量分布區(qū)域內(nèi)(近平衡態(tài))，當測量信息熵產(chǎn)生取極小值時，可能性分布一定處于與外界約束條件相適應(yīng)的確定狀態(tài)。

因此，將采用最大特異性準則(最小熵原則)處理這類信息集合的數(shù)學(xué)運算以及確定相應(yīng)的T*算子(Frankt模)[14]。參照概率論方法中隨機分量的置信概率取值為0.95，對應(yīng)可能性分布的α截集為α=0.05，因此得到T*算子(Frankt模)為[15]：

(9)

式中：γ=0.05。

此時式(2)就變?yōu)椋?/p>

(10)

式(4)就變?yōu)椋?/p>

(11)

也就是說，與內(nèi)部(系統(tǒng)分量)可能性分布類似，如果分別知道先驗信息隨機分量可能性分布和后驗信息的隨機分量條件可能性分布，就可通過式(10)獲得它們的隨機分量聯(lián)合可能性分布。盡管整個數(shù)學(xué)原理推導(dǎo)過程復(fù)雜，但基于可能性分布的先驗信息和靶場試驗測試信息的融合處理實際操作過程卻比較簡單。

4 實際應(yīng)用

彈藥保溫車驗收項目，主要檢測保溫車內(nèi)控制溫度不確定度。先驗信息為保溫車技術(shù)指標及廠家出廠測試結(jié)果，溫度控制精度為Δθ=±0.01×θset℃，其中θset是設(shè)置溫度值。溫度穩(wěn)定性為σθ=0.03℃。從可能性理論可以把Δθ看作是先驗信息隨機模糊變量分布中的內(nèi)部PD即PDrint，而把σθ看作是先驗信息隨機模糊變量分布中的隨機PD即PDrran。在靶場測試時選擇測試點溫度為θset=50 ℃，因此可以得到先驗信息隨機模糊變量分布見圖4(點畫線)所示。

在靶場驗收測試中采用的是Hart 1560堆棧式測溫儀和標準鉑電阻溫度傳感器，其技術(shù)指標為：Δθ=±(0.15+0.002θ)℃，溫度和電阻變換模型為：R=R0[1+aθ+bθ2]。實際測量值為θm=49.62℃，測量重復(fù)性為σm=0.01℃，同理可以得到測試信息隨機模糊變量的可能性條件分布PDrθ|θm見圖4(實線)所示。

按照可能性分布運算法則，可得到保溫車內(nèi)控制溫度誤差在當前測量條件下的可能性分布如圖5所示。從圖5可以看出，最終評估結(jié)果的隨機模糊變量可能性分布由先驗信息構(gòu)成的隨機模糊變量可能性分布(點畫線)與測試信息構(gòu)成的隨機模糊變量可能性分布(實線)通過求所有數(shù)據(jù)集合的最小融合區(qū)間得到?？梢钥闯觯环矫?，通過靶場測試，精確了先驗信息(技術(shù)指標及廠家出廠測試結(jié)果)中的不確定部分；另一方面，借助先驗信息，排除了不可能出現(xiàn)的溫度測量范圍，減少了現(xiàn)場測試工作量。

圖4 先驗信息分布和后驗信息分布

圖5 融合后的可能性分布和測量點

由圖5可以得到測量結(jié)果的可能性間隔以及相應(yīng)的可能性置信水平(1-α)，為了與以往基于概率論的測試報告估計結(jié)果一致，其95%置信概率對應(yīng)隨機模糊變量可能性分布的α截集為α=0.05，對應(yīng)的可能性區(qū)間為θ=(49.68±0.19)℃。對應(yīng)不同的溫度測試點，采用可能性條件分布均可獲得其相應(yīng)的不確定度范圍。

在實際應(yīng)用過程中，還存在2種情況：一是測量值沒有落在最終評估結(jié)果的隨機模糊變量可能性分布中，這往往是因為當前測量所用設(shè)備不滿足測量設(shè)備與被測量的不確定度比為1/3的要求；二是先驗可能性分布與后驗可能性分布沒有重疊，這說明一定有信息集合存在較大的隨機或認知不確定性。對于這2種情況的出現(xiàn)都要對先驗和后驗信息進行重新分析挖掘，對現(xiàn)場測試設(shè)備進行更換，以滿足測試要求。

5 結(jié) 論

通過實例分析證實，基于可能性理論的測試信息融合及不確定性處理方法符合靶場鑒定試驗測試信息需求，既發(fā)揮了先驗信息的主觀能動性，又充分尊重試驗所得數(shù)據(jù)的不確定信息，求解方法直觀、簡單，物理意義明確。特別是在多源數(shù)據(jù)集中、當非隨機分量相對于隨機分量而言對測量結(jié)果不確定度的貢獻占有主導(dǎo)地位時，本文提供的測后信息的條件可能性分布確定方法是一種簡單有效的方法。

以可能性理論為基礎(chǔ)的先驗信息和試驗測試信息的有機融合及不確定性處理方法，是以隨機模糊變量以及相應(yīng)的條件可能性分布為核心的測試數(shù)據(jù)處理分析方法。它摒棄了傳統(tǒng)的測量數(shù)學(xué)模型(如真值、誤差等)，代之以集合、分布、信息摘、信息傳遞等現(xiàn)代信息論模型。在獲取被估計量的先驗信息可能性分布的基礎(chǔ)上，結(jié)合當前實際測試結(jié)果以及條件可能性分布算法和最大熵原理，獲得被估計量的最終可能性分布及測量結(jié)果的不確定度范圍，具有良好的實用性和有效性。

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