喬凌霄， 陳江寧， 陳文會， 張 麗， 田景志

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院， 陜西 西安 710072； 2. 西安輕工業(yè)鐘表研究所有限公司， 陜西 西安 710061； 3.中航動力股份有限公司 計量中心， 陜西 西安 710021)

1 引 言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，精密機(jī)械、空間技術(shù)和軍事科學(xué)等許多領(lǐng)域?qū)Τ軋A形工件提出了越來越高的要求。采用誤差分離技術(shù)，即從測量數(shù)據(jù)中分離出圓度誤差，可以很好地應(yīng)用于高精密回轉(zhuǎn)軸系的檢測。目前誤差分離技術(shù)比較成熟，主要分離方法包括多步法、多點(diǎn)法和反向法。多點(diǎn)法需要多個機(jī)械特性相似的測頭，很難保證測量數(shù)據(jù)的一致性；反向法只能反映一個方向的敏感誤差；而多步法存在諧波抑制的問題[1～3]。在多步法的基礎(chǔ)上，本文提出了頻域混合補(bǔ)償法。將多步法中的諧波進(jìn)行頻域補(bǔ)償，更精確地分離出圓度誤差。通過實(shí)驗(yàn)對多步法和頻域混合補(bǔ)償法進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了該方法的可行性，運(yùn)用最小二乘法對分離結(jié)果進(jìn)行評定并做出分析比較。

2 頻域混合補(bǔ)償法基本原理

2.1 測量方案

在高精密主軸系統(tǒng)的回轉(zhuǎn)誤差測量中，由于主軸橫截面的圓度誤差通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于主軸回轉(zhuǎn)誤差，如果用傳感器測頭直接對主軸的橫截面外輪廓進(jìn)行測量，由于截面的圓度誤差比主軸回轉(zhuǎn)誤差大出一個數(shù)量級，將無法進(jìn)行誤差分離。因此，在對高精密主軸系統(tǒng)進(jìn)行測量時，一般需要借助標(biāo)準(zhǔn)球進(jìn)行測量,測量系統(tǒng)示意圖如圖1所示。

圖1 測量系統(tǒng)示意圖

本文采用混合多步法的測量方法，即分別以三步、四步、五步為基準(zhǔn)的方法。圖2為三步法測量采樣示意圖，測頭分別以0°、120°、240°為固定起點(diǎn)測量一圈的數(shù)據(jù)。每隔1°采集一個點(diǎn)，因此一圈的采樣點(diǎn)數(shù)為360個，共獲取3組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)360個值。

圖2 三步法測量采樣示意圖

三步法具體測量步驟如下：

① 測頭以0°方向?yàn)槠鹗键c(diǎn)開始測量，操作儀器使主軸均勻地旋轉(zhuǎn)360°，每1°讀取一次讀數(shù)并記錄，儀器測量n圈，并計算出全部數(shù)據(jù)的平均值作為第1組的數(shù)據(jù)。

② 測頭保持不動，設(shè)置儀器參數(shù)，使球與軸一起相對于零度轉(zhuǎn)動120°，轉(zhuǎn)動后球的偏心會同時改變，操作儀器再次做調(diào)心的步驟，儀器測量n圈，計算出平均值作為第2組的數(shù)據(jù)。

③ 重復(fù)上述測量步驟，測頭保持不動，設(shè)置儀器參數(shù)，使球與軸一起相對于零度轉(zhuǎn)動240°，調(diào)心，計算平均值，得到第3組的數(shù)據(jù)。

同理，四步法分別取0°、90°、180°、270°為起點(diǎn)，五步法分別取0°、72°、144°、216°、288°為起點(diǎn)。重復(fù)三步法的步驟，僅需改變轉(zhuǎn)動的角度。

2.2 誤差分離過程

在主軸回轉(zhuǎn)誤差的測量中，誤差分離技術(shù)被用于將標(biāo)準(zhǔn)球形狀誤差(圓度誤差)及標(biāo)準(zhǔn)球安裝帶來的偏心誤差從測量數(shù)據(jù)中分離并剔除。

主軸理想軸心的徑向誤差無法通過直接測量獲得，本文試驗(yàn)中采用了將標(biāo)準(zhǔn)球安置在主軸上，通過測量主軸轉(zhuǎn)動過程中標(biāo)準(zhǔn)球橫截面的外輪廓來間接獲得。因此,得到的誤差除了剔除主軸回轉(zhuǎn)誤差外，還混入了標(biāo)準(zhǔn)球的形狀誤差(圓度誤差)、偏心誤差，又由于使用了不同起點(diǎn)多次測量的測量方法而混入了角度偏轉(zhuǎn)誤差。

實(shí)際測量中，由于機(jī)器自動調(diào)角將角度偏轉(zhuǎn)誤差控制在可以忽略的范圍內(nèi)、又可不考慮角度回轉(zhuǎn)誤差，因此，最終需要分離的誤差成分為：主軸回轉(zhuǎn)誤差(徑向)、圓度誤差、偏心誤差。即：

Sn(i)=S(i)-R

(1)

Sn(i)=q+h(i)+rn(i)

(2)

式中：Sn(i)為n組測量誤差；S(i)為測量所得的原始數(shù)據(jù)；R為標(biāo)準(zhǔn)半徑(標(biāo)準(zhǔn)球橫截面半徑與測量臂臂長之和，由儀器給出)；q為偏心誤差；h(i)為主軸回轉(zhuǎn)誤差；rn(i)為n組圓度誤差。

2.2.1 剔除偏心誤差

測量誤差中的一次諧波分量表示為標(biāo)準(zhǔn)球偏心誤差，可以通過傅里葉變化求出測量誤差中的一次諧波分量，減去此分量，從而剔除測量誤差中的偏心誤差[1]。

求出一次傅里葉級數(shù)系數(shù)：

(4)

將計算結(jié)果展開成一次傅里葉級數(shù):

(5)

剔除偏心所造成的一次諧波分量

(6)

2.2.2 分離圓度誤差

分離圓度誤差的關(guān)鍵在于理解標(biāo)準(zhǔn)球的輪廓是不變的，因此標(biāo)準(zhǔn)球上圓度誤差的值是固定的。在測量數(shù)據(jù)中，由于每次測量的起點(diǎn)不同，故每組圓度誤差之間只有相位變換的差別。

即，若設(shè)第n組圓度誤差為rn(i)、起點(diǎn)相位為in，則有如下的關(guān)系：

rn(i)=r1(i-in)

(7)

將第一組圓度誤差(相移前的圓度誤差)定義為總圓度誤差。則有：

r0(i)=r(i)

(8)

對于主軸回轉(zhuǎn)誤差而言，每一輪數(shù)據(jù)測量雖然對標(biāo)準(zhǔn)球做了相移，但是主軸仍然是以原來的零點(diǎn)開始旋轉(zhuǎn)的，因此，每一組數(shù)據(jù)中的主軸回轉(zhuǎn)誤差是固定的。根據(jù)主軸回轉(zhuǎn)誤差的這個特點(diǎn)，并結(jié)合文中提到的圓度誤差的特點(diǎn)，可以得到式(9)中的關(guān)系[4～11]：

(9)

式中:M表示測量組數(shù)。

此時設(shè)置權(quán)函數(shù)g=(g0,g1,…,gM-1)，使等式(9)兩邊同時乘g可得到：

=g0[r0(i)+h(i)]+g1[r1(i)+h(i)]+

…+gM-1[rM-1(i)+h(i)]

=[g0r0(i)+g1r1(i)+…+gM-1rM-1(i)]+

[g0h(i)+g1h(i)+…+gM-1h(i)]

(10)

由式(10)化簡可得到：

(11)

(12)

SX(k) =DFT[g0r0(i)+g1r1(i)+…+gM-1rM-1(i)]

=g0R0(k)+g1R1(k)+…+gM-1RM-1(k)

(13)

SX(k)=R0(k)G(k)

(14)

r0(i)=IDFT[R0(k)]

(15)

式中：SX(k)為Sx(i)進(jìn)行離散傅里葉變換后的結(jié)果；G(k)是誤差分離的權(quán)函數(shù)；IDFT為離散傅里葉變換的逆變換。

則有：

(16)

根據(jù)式(15)與(16)可求得圓度誤差r0(i),根據(jù)式(6)可求得主軸回轉(zhuǎn)誤差為：

(17)

2.2.3 諧波分析與補(bǔ)償

根據(jù)式(17)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k=nM時，G(k)=0。這說明，用上述步驟所求得的圓度誤差丟失了采樣圈數(shù)M的整數(shù)倍次的諧波分量，再經(jīng)過式(18)的運(yùn)算，這些諧波分量就混入了所求的主軸回轉(zhuǎn)誤差中，造成了所求值與真實(shí)值存在的差異，這就是所謂的諧波抑制。

根據(jù)GB 7235—2004規(guī)定:圓度誤差測量時儀器的頻率響應(yīng)范圍為1～50 upr[12]。當(dāng)諧波次數(shù)大于50時諧波抑制的影響可以忽略不計，由于3×4×5=60>50，因此可取M為3、4、5分別計算圓度誤差，再通過補(bǔ)償?shù)玫皆谠试S精度內(nèi)的圓度誤差。

經(jīng)過以上所列出的步驟按順序分別求出3次轉(zhuǎn)位時的圓度誤差的DFT:R3(k)，4次轉(zhuǎn)位時的圓度誤差的DFT:R4(k)，5次轉(zhuǎn)位時的圓度誤差的DFT:R5(k)。

在3次轉(zhuǎn)位時求得的圓度回轉(zhuǎn)誤差中，丟失了3、6、9、12、…次諧波；在4次轉(zhuǎn)位時求得的圓度回轉(zhuǎn)誤差中，丟失了4、8、12、20、…次諧波；在5次轉(zhuǎn)位時求得的圓度回轉(zhuǎn)誤差中，丟失了5、10、15、20、…次諧波。

當(dāng)丟失的諧波分量次數(shù)n是3的倍數(shù)、不是4的倍數(shù)時，按照上文所述，將R4(k)中的n次諧波分量補(bǔ)入R3(k)缺少的3的倍數(shù)、不是4的倍數(shù)次的諧波分量。即令：

R3n(k)=R4n(k)

當(dāng)丟失的諧波分量次數(shù)n是3與4的公倍數(shù)，即12的倍數(shù)次諧波分量時，可以看到，將R3(k)中的n諧波分量用R5(k)中的n次諧波補(bǔ)償。即令：

R3n(k)=R5n(k)

因此補(bǔ)償后的圓度誤差僅丟失了n是3×4×5=60的倍數(shù)時的n次諧波分量。

3 實(shí)驗(yàn)過程與分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過某公司的Talyrond 265圓度儀進(jìn)行采集，具體采集方法上文已經(jīng)詳細(xì)介紹。共采集10組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)360個點(diǎn)，總共3 600個數(shù)據(jù)點(diǎn)。采集數(shù)據(jù)后，分別用三步法、四步法、五步法以及頻域混合多步法對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理與仿真分析。

3.1 偏心誤差分離前后仿真分析

對4種誤差分離方法采用同樣的方法進(jìn)行偏心誤差的剔除。為了更直觀地感受偏心誤差分離前與分離后的區(qū)別，對偏心誤差分離前的數(shù)據(jù)進(jìn)行了仿真，見圖3。圖3中的外圓為原始數(shù)據(jù)仿真，半徑為10 μm的基圓，內(nèi)圓是傳感器采集的數(shù)據(jù)。

圖3 偏心誤差分離前后的仿真圖

通過對比可以看出，圖3(a)偏心誤差分離前，數(shù)據(jù)主要集中在左半平面，數(shù)據(jù)輪廓的圓心大致位于90°到180°之間，圖3(b)的數(shù)據(jù)分布于原點(diǎn)附近，數(shù)據(jù)輪廓的圓心與原點(diǎn)基本重合，偏心誤差明顯已經(jīng)剔除。

3.2 多步法仿真分析

為了對比不同方法，本文也用多步法進(jìn)行了誤差分離。分別使用三步法、四步法、五步法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。由于這3種方法原理一致，以下僅給出了三步法的誤差分離實(shí)驗(yàn)仿真分析。

圖4、圖5分別是圓度誤差和主軸回轉(zhuǎn)誤差在極坐標(biāo)系下的仿真圖，為了方便觀察加了半徑為 200 nm 的基圓。

圖4 圓度誤差

圖5 主軸回轉(zhuǎn)誤差

圖6、圖7分別是圓度誤差和主軸回轉(zhuǎn)誤差在直角坐標(biāo)系下的仿真圖，可以看到圓度誤差最大幅值約為78 nm，主軸回轉(zhuǎn)誤差的最大幅值約為80 nm。

圖6 圓度誤差

圖7 主軸回轉(zhuǎn)誤差

3.3 頻域混合補(bǔ)償法仿真分析

經(jīng)過誤差分離后得到了獨(dú)立的主軸回轉(zhuǎn)誤差和圓度誤差，兩組數(shù)據(jù)都是360個離散的點(diǎn)，圖8、圖9分別是圓度誤差和主軸回轉(zhuǎn)誤差在極坐標(biāo)系下的仿真圖，為了方便觀察加了半徑為200 nm的基圓。

圖8 圓度誤差

圖9 主軸回轉(zhuǎn)誤差

圖10、圖11分別是圓度誤差和主軸回轉(zhuǎn)誤差在直角坐標(biāo)系下的仿真圖，可以看到圓度誤差最大幅值約為37 nm，主軸回轉(zhuǎn)誤差的最大幅值約為80 nm。

3.4 圓度誤差與主軸回轉(zhuǎn)誤差的評定

圖10 圓度誤差

圖11 主軸回轉(zhuǎn)誤差

為了驗(yàn)證頻域混合補(bǔ)償法的優(yōu)良性，分別用三步法、四步法、五步法進(jìn)行了誤差分離，對得到的圓度誤差及主軸回轉(zhuǎn)誤差采用了最小二乘圓法[13～17]進(jìn)行了誤差評定，評定結(jié)果見表1。

表1 不同方法的誤差評定結(jié)果 nm

圓度誤差評定值與標(biāo)準(zhǔn)球的圓度誤差值40 nm間的差值分別為118 nm、113 nm、145 nm; 而頻域混合補(bǔ)償法分離出的圓度誤差評定值為54 nm，與給出的圓度誤差40 nm僅相差14 nm，可以看出頻域混合補(bǔ)償法對誤差的分離效果明顯優(yōu)于多步法的誤差分離效果。

4 結(jié) 論

頻域混合多步法誤差分離技術(shù)的應(yīng)用極大地提高了精密測量精度,很好地消除了多步法圓度誤差分離時出現(xiàn)的諧波抑制,基本可以實(shí)現(xiàn)圓度誤差和主軸回轉(zhuǎn)誤差的完全分離。

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